《函数的表示方法》课件

第3章

函数的概念与性质3.1.2函数的表示方法01函数的表示方法02分段函数的定义与图像03函数的实际应用04复合函数的概念与解析式函数的表示方法1函数的表示方法1在初中我们已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图像法.【1】解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如y=2x+3【2】列表法，就是列出表格表示两个变量之间的对应关系.【3】图像法，就是画出函数图像来表示两个变量之间的对应关系.用什么方法来表示函数呢？用列表法，不用计算，看表就知道函数值用解析法，便于研究函数性质用图像法，容易表示出函数的变化情况函数的表示方法1某种笔记本的单价是5元，买m(m∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法来表示函数y=f(m).【解析法】y=5m,m∈{1,2,3,4,5}【列表法】函数可以表示如下表：笔记本数m12345钱数y510152025【图像法】函数图像可以表示如图：252015105012345my函数的表示方法1【1】解析法必须标明函数的定义域在用三种方法表示函数时要注意：【2】列表法必须罗列出所有的自变量与函数值之间的对应关系【3】图像法必须搞清楚函数图像是“点”还是“线”

并不是所有函数都能用解析法表示，如某地一年中每天的最高气温是日期的函数，该函数就不能用解析法表示；也不是所有函数都可以用列表法表示，如函数f(x)=x.分段函数的定义与图像2分段函数的定义与图像2【题】画出函数y=|x|的图像【解】由绝对值的概念，有y=-x，x＜0，x，x≥0.画出图像如图：

像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车的计费，个人所得税的计算等等.在自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数叫做分段函数.分段函数的定义与图像2（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首

先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每

段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合

的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.分段函数的定义与图像2几种常见的分段函数：（1）符号函数：

（2）含绝对值符号的函数：

（3）自定义函数：

（3）取整函数：

分段函数的定义与图像2如图，把直截面半径为25的圆柱形木头锯成直截面为矩形的木料，如果矩形的一边长为t，面积为W，把W表示成t的函数.【解】因为圆的直径是25×2=50，矩形的一边长是t，25t所以与它相邻的另一边长就是

矩形的面积

又因为矩形的边长小于圆的直径，所以0＜t＜50

分段函数的定义与图像2画出函数【解法一】由绝对值的概念可知，所以函数的图像如图所示：

的图像.

【解法二】(翻折法)先画出函数

的图像，然后把图像中位于横轴下方的部分翻转到上方即可.

123412函数的实际应用3函数的实际应用3【例题1】下表是卢老师所在的初中某班三名同学在初三学年度6次历史测试的成绩

及班级平均分表.请你对这三位同学在初三学年的历史学习情况做一个分析.【分析】从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学

的成绩变化情况.如果将每位同学的成绩和测试序号之间的函数关系分别用

图像表示出来，就可以直观的看到他们成绩变化的情况.函数的实际应用3【分析】从图像中我们可以直观地看到：吴思远同学的成绩一直稳定在班级的前茅，

吴畅畅同学的成绩波动较大，杨勇同学的成绩整体有下降趋势，但三位同

学的成绩基本上都大幅领先于班级平均水平.函数的实际应用3【例题2】某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定(1)5km以内(含5km)，票价2元；(2)5km以上，每增加5km，票价增加1元(不足5km按5km算)

如果某条线路的总里程为20km，请写出票价与里程之间的函数解析式，

并画出图像.【解】设票价为W元，里程为t千米，由题意可

写出解析式为：

图像如图：

510152054321·····复合函数的概念与解析式4复合函数的概念与解析式4【概念】设函数的定义域为A，值域为B，函数的定义域为C，

值域为D.如果B∩C≠∅，那么对于B∩C内的任意一个经过，有唯一

确定的与之对应.则变量和之间通过变量形成一种函数关系，

这种函数成为复合函数.记为.其中为自变量，为中间

变量，为因变量(函数).例如，如果，，那么就有

即

题型①——复合待定系数法已知一次函数满足，求的解析式.

由题意设

则

所以

解得

或

所以

或

题型②——换元法和配凑法已知，求

【换元法】由题意令，则

所以

即

【配凑法】

因为

所以

题型③——自变量及倒数题型①已知函数满足，求的解析式.

在已知等式中，将换成，得

与已知方程联立，得，消去

得

题型③——自变量及倒数题型②已知，其中，求的解析式.

在原式中用替换，得

与已知方程联立，得，

消去，得

1234567891011A级必备知识基础练1.某天早上,小明骑车上学,从家出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间相对充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图象是(

)C解析

选项A,D第一段都是匀速前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图象上升的速度先快后慢,故选C.12345678910112.已知函数f(x),g(x)对应值如下表:x01-1f(x)10-1x01-1g(x)-101则g[f(g(-1))]的值为(

)A.1 B.0 C.-1 D.无法确定C解析

g(-1)=1,则f[g(-1)]=f(1)=0,则g[f(g(-1))]=g(0)=-1.12345678910113.已知f(2x-1)=2x2+3,则f(3)=(

)A.5 B.11 C.18 D.21B12345678910114.若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)-2f(-x)=5x+1,则f(x)=(

)A.x+1 B.x-1

C.2x+1 D.3x+3A解析

因为3f(x)-2f(-x)=5x+1,所以3f(-x)-2f(x)=-5x+1,解得f(x)=x+1.12345678910115.将长度为2的一根铁丝折成其中一边长为x的矩形,矩形的面积y关于x的函数关系式是y=x(1-x),则函数的定义域为(

)A.R

B.{x|x>0}C.{x|0<x<2} D.{x|0<x<1}D12345678910116.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是

.

f(x)=3x+2解析

f(3x+2)=9x+8,设t=3x+2,代入得到f(t)=3t+2.故f(x)的解析式是f(x)=3x+2.12345678910117.已知f(x)为二次函数,其图象的顶点坐标为(1,3),且过原点,则f(x)的解析式为

.

f(x)=-3x2+6x

解析

(方法1)由于函数图象的顶点坐标为(1,3),则设f(x)=a(x-1)2+3(a≠0).∵函数图象过原点(0,0),∴a+3=0,∴a=-3.故f(x)=-3(x-1)2+3,即f(x)=-3x2+6x.12345678910111234567891011B级关键能力提升练9.若函数y=f(x)对任意x∈R,均有f(x+y)=f(x)+f(y),则下列函数中可以为y=f(x)解析式的是(

)A.f(x)=x+1 B.f(x)=2x-1C.f(x)=2x D.f(x)=x2+xC解析

若f(x)=2x,则f(x+y)=2(x+y),f(x)+f(y)=2x+2y=2(x+y),其他选项都不符合,故选C.12345678910119.已知f(x+1)=2x-3,且f(a)=3,则a=

.

4解析

f(x+1)=2x-3=2(x+1)-5,所以f(x)=2x-5,由f(a)=2a-5=3,得a=4.123