第五章一元函数的导数及其应用章末检测解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第五章《一元函数的导数及其应用》章末复习检测题一、单选题1．函数在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为，则与的大小关系为（

）A． B．C． D．不能确定2．已知函数在时取得极值，则（

）A．10 B．5 C．4 D．23．函数在上的最大值为2，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知是函数在上的导函数，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．5．定义在R上的函数，若，，，则比较a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．6．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足x－f(x)<0，其中是函数f(x)的导函数.若2f(m－2019)>(m－2019)f（2），则实数m的取值范围为（

）A．(0，2019) B．(2019，＋∞)C．(2021，＋∞) D．(2019，2021)7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（

）A．4 B．8 C．2 D．1二、多选题9．下列说法正确的是（

）A．曲线的切线和曲线可能有两个交点B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点C．若不存在，则曲线在点处无切线D．在点处有切线，不一定存在10．达芬奇的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠链与主人相互映衬，显现出不一样的美与光泽，达芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂项链所形成的曲线称为悬链线.建立适当的平面直角坐标系后，得到悬链线的函数解析式为，双曲余弦函数则以下正确的是（

）A．是奇函数 B．在上单调递减C．， D．，11．关于函数，.下列说法正确的是（

）A．在处的切线方程为B．有两个零点C．有两个极值点D．存在唯一极小值点，且12．已知函数，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．第II卷（非选择题）三、填空题13．已知函数在处可导，若＝1，则_______．14．已知函数的最小值为，则_____．15．已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.16．对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________.四、解答题17．已知函数在处取得极值.（1）求实数的值；（2）当时，求函数的最小值.18．已知函数.（1）若曲线的图象与轴相切，求的值；（2）求曲线斜率最小的切线方程.19．已知函数.（1）当时，讨论的导函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围.20．设函数，是函数的导数.（1）证明：在区间上没有零点；（2）证明：在上，.21．已知函数，.（1）若在处取得极值，求的值；（2）设，试讨论函数的单调性.22．已知函数的图象在处的切线为.(1)若函数，求函数的单调区间；(2)设函数图象上存在一点处的切线为直线，若直线也是曲线的切线，证明：实数存在，且唯一.答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．A由题意结合函数的解析式有：，，则，因为，所以k1>k2.2．A】∵,∴，∵是函数的极值点，∴的实数根，即,解得．.3．D解:由函数的解析式可得:，当≤0时,即时，在内恒成立，函数在区间上单调递增,而,不合题意;当≥2，即时,在内恒成立，函数导函数在区间[0,2]上单调递减,而f(0)=2,满足题意;当，即时，在区间上,函数单调递减,在区间上,函数单调递增，满足题意时有,即:,解得,此时,综上可得,实数的取值范围是[4,+∞).4．A函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，当时，；当时，；当时，.所以，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.5．C根据题意，函数，其导数，即函数为增函数，又由，则有，6．D令h(x)＝，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝∵xf′(x)－f(x)<0，∴h′(x)<0，∴函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵2f(m－2019)>(m－2019)f（2），m－2019>0，∴，即h(m－2019)>h（2）∴m－2019<2且m－2019>0，解得2019<m<2021.∴实数m的取值范围为(2019，2021).7．B①当时，只需时显然成立，时，，令，，可得函数的减区间，增区间为，故有，得；②当时，，有.③当时，，即.故实数的取值范围为.8．B解：的导数为，曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即.由于切线与曲线相切，可联立，得，又，两线相切有一切点，所以有，解得.9．AD曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他公共点，如曲线在处的切线与曲线有另外一个交点,故A正确，B不正确；不存在，曲线在点处的切线斜率不存在，但切线可能存在，为，故C不正确；D选项正确．10．BCD由题意可知，，定义域为所以，所以是偶函数；故选项A错误；函数的导数为，所以当时，，当时，，所以函数，单调递减区间为，单调递增区间为，又，所以函数在上单调递增，由复合函数的单调性可知，在上单调递减，故选项B正确；由基本不等式可知，，当且仅当时取等号；故选项C正确；由C可知，，，所以，使得成立，故选项D正确；11．ABD，，，，切线方程为,即,故A正确；，当时，，当时，，,∴，∴时，，∴单调递增，，，在内，存在唯一的零点,且，且在内，，单调递减；，，单调递增，∴为极值点，且为极小值点.由，∴，∵，∴，∴，∴有唯一的极值点，且为极小值点，且，故C错误，D正确；又∵,结合函数的单调性可知∴有两个零点，故B正确；12．ABC∵是增函数，∴A正确；对于B，构造函数，∴，当时，是减函数，∴，即，B正确；对于C，构造函数，∴，当时，是减函数，∴，即，C正确；对于D，，，因为，所以，因为是增函数，所以，D不正确.13．即14．函数的定义域为，且，令，得.当时，；当时，.所以，函数在取得极小值，亦即最小值，即，因此，.15．对任意都存在使成立，所以得到，而，所以，即存在，使，此时，，所以，因此将问题转化为存在，使成立，设，则，，当，，单调递增，所以，即，所以，所以实数的取值范围是.16．(1)；（2）2013.（1），函数在处取得极值，所以有；（2）由（1）可知：，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故函数在处取得极大值，因此，，，故函数的最小值为.18．（1）或；（2）.（1）函数的导数为，设切点为，可得，解得或，当时，则，可得；当时，.综上可得或；（2），当时，的最小值为，可得切点为，此时切线的方程为，即为.19．(1)当时，的单调递减区间为；当时，的单调递增区间为；(2).（1）当时，，，当时，，的单调递减区间为；当时，，的单调递增区间为.（2），（i）当时，，所以在上单调递增，.（ii）当时，，由，得，①当时，，所以时，，在上单调递增，又由，所以，即在上单调递增，所以有.②当时，，当时，，在上单调递减，又由，所以，所以在上单调递减，所以有，故此时不满足，综上，.20．（1）见解析；（2）见解析.（1），，当时，，因此，函数在区间上没有零点；（2），由，所以恒成立，故只需证明即可．设，，故函数在区间上单调递增，所以．所以当时，，即.21．（1）；（2）答案见解析.（1）因为，所以，因为在处取得极值，所以，解得.验证：当时，，易得在处取得极大值.（2）因为，所以.①若，则当时，，所以函数在上单调递增；当时，，∴函数在上单调递减.②若，，当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，∴函数在上单调递增；当时，易得函数在和上单调递增，在上单调递减.22．(1)函数定义域为，求导得：，因的图象在处的切线为，则有，解得，即，因此，，且，，所以函数的单调递增区间为和.(2)由函数得，，，则切线的方程为，即，设直线与曲线相切于点，由求导得：，则直线的方程也为，即，因此有：，即，整理得：，由(1)知，在区间上递增，又，，于是得方程必在区间上有唯一的根，即方程在上有唯一的根，因，，因此，方程在上唯一的根就是，而，所以存在，且唯一.综合训练一、单项选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.[2023北京东城期末]函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=2x+1,则limΔx→A.-4 B.-2 C.2 D.42.若函数f(x)=x3+ax2+3x-9在x=-3时取得极值,则a等于()A.2 B.3 C.4 D.53.若函数f(x)=ax2x-1(x>1)有最大值-A.1 B.-1 C.4 D.-44.已知函数f(x)=x+1ax在(-∞,-1)上单调递增,则实数a的取值范围是(A.[1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,1]C.(0,1] D.(-∞,0)∪[1,+∞)5.函数f(x)=e|x|6.方程x-lnx-2=0的根的个数为()A.0 B.1C.2 D.37.[2023江苏南京联考]吹气球时,记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r(V),r'(V)为r(V)的导函数.已知r(V)在0≤V≤3上的图象如图所示,若0≤V1<V2≤3,则下列结论正确的是()A.rB.r'(1)<r'(2)C.r(V1+VD.存在V0∈(V1,V2),使得r'(V0)=r8.[2023黑龙江牡丹江期末]设a=13,b=43ln43,c=2ln(sin16+cosA.b<a<c B.c<a<bC.a<c<b D.b<c<a二、多项选择题(在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求)9.[2023重庆沙坪坝期末]如图是函数y=f(x)的导函数的图象,对于下列四个判断,其中正确的是()A.f(x)在(1,2)上单调递减B.f(x)在(2,4)上单调递减C.当x=-1时,f(x)取得极小值D.当x=1时,f(x)取得极大值10.[2023湖南怀化期末]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则下列说法正确的是()A.a+b=0B.a+b=-7C.f(x)一定有两个极值点D.f(x)一定存在单调递减区间11.[2023福建德化一中模拟]设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≥f(x0)B.-x0是f(-x)的极大值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点12.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f32-2x,g(2A.f(0)=0 B.g-12C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)三、填空题13.如图,直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线,则f(4)+f'(4)的值等于.

14.某公司租地建仓库,每月土地占用费y1(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:千米)成反比,而每月库存货物的运费y2(单位:万元)与仓库到车站的距离x(单位:千米)成正比.如果在距离车站10km处建仓库,y1和y2分别为2万元和8万元,那么当仓库建在离车站km处时,两项费用之和最小,最小费用为万元.

15.已知函数y=f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如表所示,y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示.下列关于f(x)的结论:x-1045f(x)1221①函数f(x)的极大值点为0,4;②函数f(x)在[0,2]上单调递减;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点;⑤函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4.其中正确结论的序号是.

16.[2023吉林抚松月考]已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f'(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)>xf'(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.

四、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知函数f(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数f(x)的一个极值点.(1)求函数f(x)的增区间;(2)当x∈[-1,2]时,求函数f(x)的最小值.18.设函数f(x)=x2+bln(x+1).(1)若对定义域内的任意x,都有f(x)≥f(1)成立,求实数b的值;(2)若函数f(x)在定义域上是单调函数,求实数b的取值范围.19.[2023江苏苏州月考]已知函数f(x)=aex-x+1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设x0为函数的极小值点,证明:f(x0)≥3-1a20.如图,假设酒杯杯身的形状为倒立的圆锥,杯深8cm,上口宽6cm,水以20cm3/s的流量倒入杯中,当水深为4cm时,求水面升高的瞬时变化率.21.某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为30元,并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数,2≤a≤5)的管理费,根据多年的管理经验,预计当每件产品的售价为x元时,产品一年的销售量为kex(e为自然对数的底数)万件.已知当每件产品的售价为40元时,该产品一年的销售量为500万件,经物价部门核定,每件产品的售价x(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(单位:万元)与每件产品的售价x(单位:元)的函数关系式;(2)当每件产品的售价为多少元时,该产品一年的利润L(x)最大?并求出L(x)的最大值.22.已知函数f(x)=2ax-bx+lnx(1)若f(x)在x=1,x=12处取得极值①求a,b的值;②若存在x0∈[14,2],使得不等式f(x0)-c≤0成立,求c的最小值(2)当b=a时,若f(x)在(0,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.综合训练1.D∵f'(x0)=2,f'(x0)=limΔx∴limΔx→0f(x0)-2.Df'(x)=3x2+2ax+3.由f(x)在x=-3时取得极值,得f'(-3)=0,即27-6a+3=0,所以a=5.经检验,当a=5时,f'(x)=0有两个不相等的实根,符合题意.故a=5.3.B由函数f(x)=ax2x-1(x>1),则f'(x)=2ax(x-1)-ax2(x-1)2=ax(x-2)(x-1)2.要使得函数f(x)有最大值-4,则a<0.当x∈(1,2)时,f'(x)>0,函数f(x)在(1,2)上单调递增,当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)在(2,+∞)上单调递减,4.D由题意知f'(x)=1-1ax2,由于f(x)在(-∞,-1)上单调递增,则f'(x)≥0在(-∞,-1)上恒成立,即1a≤x2在(-∞,-1)上恒成立.当x<-1时,x2>1,则有1a≤1,解得a≥1或a<5.Cf(x)=e|x|3x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)=-e|x|3x,则f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除B;f(1)=e3<1,排除A;当x>0时,f'(x)=(x-1)ex3x2,当x>16.C令f(x)=x-lnx-2(x>0),则f'(x)=12x−1x=x-22x(x>0).当x∈(0,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,且f(4)=2-ln4-2<0,f(e6)=e3-lne6-2=e3-8>0,f(e-2)=e-1-lne-2-2=1e>0,结合函数零点存在定理可知函数在区间(0,4)上有一个零点,在区间(4,+∞)上也有一个零点,故方程x-7.D对于A,设tanα=r(1)-r(0)1-0,tanθ=r(2)-r(1)2-1,由题图得0<θ<α<π2,所以tanα>tanθ,所以r(1)-r(0)1∴r(V1+V22)=r(32),r(V1)+r(V2)2=r(3)2,由题图得r(32)>r(3)2,所以C错误;对于D,r(V2)-r(V1)V2-V1表示A(V1,r(V1)),B(V2,r(V2))两点连线的斜率,r'8.B(方法1)若x=43,则a=x-1,b=xlnx,令f(x)=xlnx-(x-1),所以f'(x)=lnx+1-1=lnx令f'(x)=0,得x=1,所以在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)>f(1)=0,即43ln43-(43-1)>0,所以43ln4令g(x)=ln(sinx+cosx)-x,则g'(x)=cosx-sinxsinx+cosx-1=-2sinxsinx+cosx,在(0,π2)上,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(16)<g(0)=0,所以ln(sin16+cos16)-16<0,所以ln(sin16+cos16)<(方法2)c=ln(sin16+cos16)2=ln(1+sin13)<sin13<13=a,所以c<a;当0<x<1时,lnx>1-1x⇒b=43ln43>43×(1-39.BC由y=f(x)的导函数f'(x)的图象知,导函数f'(x)在(-2,-1),(2,4)上小于0,f(x)单调递减,在(-1,2),(4,5)上大于0,f(x)单调递增,选项A错误,B正确;函数f(x)在x=-1处取得极小值,选项C正确;x=1时导函数取得极大值,原函数没有取得极大值,原函数在x=2处取得极大值,选项D错误.故选BC.10.BCD由f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f'(x)=3x2+2ax+b,∵函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,∴f'(1)=0,f(1)=10,∴2解得a当a=-3,b=3时,f'(x)=3(x-1)2≥0,∴f(x)在x=1处不存在极值,舍去;当a=4,b=-11时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)·(x-1),∴当x∈(-∞,-113)时,f'(x)>0,当x∈(-113,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,符合f(x)在x=1处取得极值10,则a=4,b=-11,a+b=-7,故A错误,B正确;此时f(x)一定有两个极值点且存在单调递减区间,故C,D正确.故选11.BDx0(x0≠0)是f(x)的极大值点,并不一定是最小值点,故A不正确;f(-x)的图象相当于f(x)的图象关于y轴的对称图象,故-x0是f(-x)的极大值点,故B正确;-f(x)的图象相当于f(x)的图象关于x轴的对称图象,故x0应是-f(x)的极小值点,不能确定-x0的情况,故C不正确;-f(-x)的图象相当于f(x)的图象先关于y轴作对称,再关于x轴作对称得到的图象,-x0是-f(-x)的极小值点,故D正确.故选BD.12.BC∵f(32-2x)是偶函数∴f(32+2x)=f(32-2∴函数f(x)的图象关于直线x=32对称∴f(-1)=f(4).故C正确;∵g(2+x)为偶函数,∴g(2-x)=g(2+x),∴g(x)的图象关于直线x=2对称.∵g(x)=f'(x),g(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(x)的图象关于点(2,t)(t∈R)对称.∵f(x)的图象关于直线x=32对称∴g(x)的图象关于点32,∴f(x)与g(x)均是周期为2的函数.∴f(0)=f(2)=t(不恒等于0),故A错误;g-12=g32=0,∴构造函数f(x)=sin(πx)符合题目要求,g(x)=πcos(πx),而g(-1)=πcos(-π)=-π,g(2)=πcos2π=π,故D错误.故选BC.13.112由题图可得f(4)=5,直线l过点(0,3)和(4,5),则直线l的斜率k=5-34-0=12,又由直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线,则f'(4)=12,14.58依题意,可设每月土地占用费y1=k1x,每月库存货物的运费y2=k2x,k1,k2是比例系数,且均不为0,于是由2=k110,得k1=20;由8=10k2,得k2=45.因此,两项费用之和为y=20x+4x5(x>0),y'=-20x2+45.令y'=0,得x=5或x=-5(舍去).当0<x<5时,y'<0;当x>5时,y'>0,15.①②⑤由f(x)的导函数y=f'(x)的图象知,函数f(x)的极大值点为0,4,故①正确;因为在[0,2]上f'(x)≤0,且不恒为0,故函数f(x)在[0,2]上单调递减,故②正确;由表和图象知-1≤t≤5,所以③不正确;因为极小值f(2)未知,所以函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4,当1<a<2时,函数y=f(x)-a的零点个数可能为2,3,4,所以④不正确,⑤正确.16.(-1,0)∪(0,1)根据题意,令g(x)=f(x)x2,又由f(x)(x≠0)为偶函数,则g(-x)=f(-x)(-x)2=f(x)x2,故g(x)为偶函数,且g'(x)=f'(x)·x2-f(x)·(x2)'x4=f'(x)·x-2f(x)x3.又由当x>0时,xf'(x)<2f(x),即当x>0时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(-1)=f(1)17.解(1)由题意,得f'(x)=6x2-2ax,f'(1)=0,则a=3.所以f(x)=2x3-3x2+4,f'(x)=6x(x-1),当x∈(-∞,0)时,f'(x)>0;当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以函数f(x)的增区间为(-∞,0)和(1,+∞).(2)当x∈[-1,2]时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:x-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2f'(x)+0-0+f(x)-1单调递增极大值单调递减极小值单调递增8当x=-1时,f(-1)=-1,当x=1时,f(1)=2-3+4=3,所以当x∈[-1,2]时,函数f(x)的最小值为-1.18.解(1)由x+1>0,得x>-1,∴f(x)的定义域为(-1,+∞).∵对任意的x∈(-1,+∞),都有f(x)≥f(1),∴f(1)是函数f(x)的最小值,故有f'(1)=0.f'(x)=2x+bx∴2+b2=解得b=-4.经检验,当b=-4时,f(x)在(-1,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.f(1)为最小值.故b=-4.(2)∵f'(x)=2x+bx又函数f(x)在定义域上是单调函数,∴f'(x)≥0或f'(x)≤0在(-1,+∞)内恒成立.若f'(x)≥0,则2x+bx+1≥0在(-1,+∞)即b≥-2x2-2x=-2x+122+12在(-1,+∞)当b=12时,仅在x=-12处f'(x)=0,故b≥若f'(x)≤0,则2x+bx+1≤0在(-1,+∞)内恒成立,即b≤-2x2-2x=-2x+122+12∵-2x+122+12在(∴不存在实数b使f'(x)≤0恒成立.综上所述,实数b的取值范围是1219.(1)解函数f(x)的定义域为R,因为f(x)=aex-x+1,所以f'(x)=aex-1,当a≤0时,f'(x)<0恒成立,f(x)在R上单调递减;当a>0时,令f'(x)=0,得x=-lna.当x<-lna时,f'(x)<0,当x>-lna时,f'(x)>0.综上,当a≤0时,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,+∞),无单调递增区间;当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(-lna,+∞),单调递减区间为(-∞,-lna).(2)证明由(1)知当a>0时,f(x)在x=-lna时取得极小值,且极小值为f(-lna)=2+lna.设函数g(x)=2+lnx-(3-1x)=lnx+1x-1,x>0,g'(x)=x-当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.故g(x)min=g(1)=