高中数学必修第1册第一章知识点总结

第第页必修第一册·第一章《集合与常用逻辑用语》1.元素把研究的对象统称为元素.（用小写字母表示：）2.集合把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母表示：）3.元素的特征确定性、互异性、无序性.①求集合或元素时，一定要检验集合中元素的互异性.4.元素与集合的关系①属于：；②不属于：.5.常用数集①自然数集（包含和正整数）②正整数集或③整数集④有理数集⑤实数集⑥复数集⑦素数集（质数集）6.集合的分类①有限集；②无限集；③空集.7.集合的表示方法①列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用括起来.例如、②描述法：把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为.例如、③图示法（图）：用平面上封闭曲线的内部代表集合.例如8.常见集合的表示方法①方程的解集：②不等式的解集：③函数自变量构成的集合：④函数因变量构成的集合：⑤函数图象上的点构成的集合：⑥方程组的解：或⑦奇数集：⑧偶数集：①做题时，要认清集合中元素的属性（点集、数集、自变量、因变量···），以及元素的范围（、、、···）.9.子集集合中任意一个元素都是集合中的元素.记作：或读作：包含于或包含①任何一个集合是它本身的子集.②若，且，则.10.集合相等若，且，则.①若，且，则.②欲证，只需证，且.11.真子集如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于.记作：或读作：真包含于或真包含①若，且，则.②若，且，则.③和用于集合和集合之间，和用于元素和集合之间.12.空集不含任何元素的集合.符号：①空集是任何集合的子集.②空集是任何非空集合的真子集.③解决有关、等问题时，一定要先考虑的情况，以防漏解.13.子集个数与元素个数的关系设有限集合有个元素,则其子集个数是，真子集个数是，非空子集个数是，非空真子集个数是.14.交集属于集合且属于集合.（和的公共部分）记作：读作：交含义：①；②；③；④；⑤；⑥.15.并集属于集合或属于集合.（包含和的所有元素）记作：读作：并含义：①；②；③；④；⑤；⑥.16.全集研究问题中涉及的所有元素.符号：17.补集由全集中不属于集合的所有元素组成的集合.符号：含义：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧.⑨注意补集思想在解题中的运用，“正难则反”.18.命题可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题；判断为假的语句是假命题.表示：“若，则”、“如果，那么”.其中为命题的条件,为命题的结论.19.充分条件与必要条件①“若，则”是真命题，即，则是的充分条件，是的必要条件；②“若，则”是假命题，即，则不是的充分条件，不是的必要条件.判断充分条件、必要条件的三种方法：①定义法：直接判断“若，则”以及“若，则”的真假；②集合法：利用集合的包含关系判断；③传递法：充分条件、必要条件、充要条件都具有传递性，若，，则.20.充要条件如果“若，则”和“若，则”都是真命题，即既有，又有，则可记作，这时称是的充分必要条件，简称充要条件.充分条件、必要条件的判断：①且是的充分不必要条件②且是的必要不充分条件③是的充要条件④且是的既不充分也不必要条件21.全称量词短语“所有的”“任意一个”通常叫做全称量词.符号：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.“对中任意一个，成立”用符号记为：22.存在量词短语“存在一个”“至少有一个”通常叫做存在量词.符号：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.“存在中元素的，成立”用符号记为：23.全称量词命题和存在量词命题的否定①全称量词命题的否定为：.②存在量词命题的否定为：.①命题的否定的书写：既要转换量词，又要否定结论.②全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题.③一个命题和它的否定，只能是一真一假.第一章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.给出下列四个结论:①7∈R;②Z∈Q;③0∈⌀;④⌀⊆{0},其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.42.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有()A.2个 B.4个 C.6个 D.8个3.[2024河南高一月考]设命题p:∀n∈N,n2<3n+4,则p的否定为()A.∀n∈N,n2>3n+4 B.∀n∈N,n2≥3n+4C.∃n∈N,n2≥3n+4 D.∃n∈N,n2>3n+44.设a∈R,则“a>0”是“|a|>0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.[2024浙江高一校联考]设全集U=R,A={x|-1≤x≤1},B={x∈N|x-3≤0},则图中阴影部分对应的集合是()A.[-1,3] B.{-1,3}C.{x|2≤x≤3} D.{2,3}6.已知命题p:∀x∈R,1-x2≤A.¬p:∃x∈R,1-x2≥1 B.¬p:∀x∈R,C.¬p:∃x∈R,1-x2>1 D.¬p:∀x∈R,7.[2024四川遂宁高一期中]设M={x|x=k2,k∈Z},N=xx=A.M⫋N B.N⫋M C.M=N D.M∩N=⌀8.某班45名学生参加“3·12”植树节活动,每位学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表现,评定为“优秀”“合格”2个等级,结果如下表:项目等级合计优秀合格除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人,则在两个项目中都“优秀”的人数最多为()A.5 B.10 C.15 D.20二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.[2024湖南娄底高一校考]下列命题为真命题的是()A.“∃x∈Z,x4<0”是存在量词命题B.∀x∈R,9x2≥0C.∃x∈N,4x+1<0D.“全等三角形面积相等”是全称量词命题10.设集合A={-3,x+2,x2-4x},且5∈A,则x的值可以为()A.3 B.-1 C.5 D.-311.下列说法正确的是()A.命题“∀x∈R,x2>-1”的否定是“∃x∈R,x2≤-1”B.命题“∃x∈{x|x>-3},x2≤9”的否定是“∀x∈{x|x>-3},x2>9”C.“|x|>|y|”是“x>y”的必要条件D.“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.[2024江苏无锡高一统考]设A,B,C,D是四个命题,A是B的必要不充分条件,A是C的充分不必要条件,D是B的充分不必要条件,那么D是C的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

13.设集合S={x|x>5或x<-1},T={x|a<x<a+8},S∪T=R,则a的取值范围是.14.设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,若k-1∉A,且k+1∉A,则称k是A的一个“孤立元”.集合T={1,2,3,5}中的“孤立元”是;对给定的集合S={1,2,3,4,5,6},由S中的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合有个.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知集合A={x|-4≤x≤-2},集合B={x|x+3≥0}.求:(1)A∩B;(2)A∪B;(3)∁R(A∩B).16.(15分)已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求符合下列条件的a的值.(1)9∈(A∩B);(2){9}=A∩B.17.(15分)[2024山东德州高一]已知A={x|x2-6x+5=0},B={x|ax-1=0}.(1)若a=1,求A∩(∁ZB);(2)从①A∪(∁RB)=R;②A∩B=B;③B∩(∁RA)=⌀这三个条件中任选一个,补充在下面横线上,并进行解答.问题:若,求实数a的所有取值构成的集合C.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(17分)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若B⊆A,求实数m的取值范围;(2)若A⊆B,求实数m的取值范围.19.(17分)设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.答案：1.B①④正确;对于②,Z与Q的关系是集合间的包含关系,不是元素与集合的关系;对于③,⌀是不含任何元素的集合,故③错误,故选B.2.B易知P=M∩N={1,3},P中有2个元素,故P的子集共有22=4个.3.C因为命题p:∀n∈N,n2<3n+4,所以p的否定为:∃n∈N,n2≥3n+4.故选C.4.A由题意可知,a>0⇒|a|>0,|a|>0⇒a>0或a<0,即由|a|>0不能推出a>0,所以“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件.故选A.5.D图中阴影部分表示B∩(∁UA),因为A={x|-1≤x≤1},则∁UA={x|x>1或x<-1},因为B={x∈N|x-3≤0},所以B={0,1,2,3},B∩(∁UA)={2,3},故选D.6.C根据全称量词命题的否定方法得,¬p:∃x∈R,1-x2>1.7.B由题意可知,M=xx=k2,k∈Z,则集合M为所有整数的12构成的集合,N=xx=k+12,k∈Z=xx=2k+12,k∈8.C用集合A表示除草优秀的学生,B表示植树优秀的学生,全班学生用全集U表示,则∁UA表示除草合格的学生,则∁UB表示植树合格的学生,作出Venn图,如图,设两个项目都优秀的人数为x,两个项目都是合格的人数为y,由图可得20-x+x+30-x+y=45,x=y+5,因为ymax=10,所以xmax=10+5=15.故选C.9.ABD“∃x∈Z,x4<0”是存在量词命题,选项A为真命题.∀x∈R,9x2≥0,选项B为真命题.因为由4x+1<0得x<-14,所以选项C为假命题“全等三角形面积相等”是全称量词命题,选项D为真命题.故选ABD.10.BC∵5∈A,若x+2=5,则x=3,此时x2-4x=9-12=-3,不符合题意,故舍去;若x2-4x=5,则x=-1或x=5,当x=-1时,A={-3,1,5},符合题意;当x=5时,A={-3,7,5},符合题意.综上,x=-1或x=5.故选BC.11.ABD对于A选项,命题“∀x∈R,x2>-1”的否定是“∃x∈R,x2≤-1”,故A选项正确;对于B选项,命题“∃x∈{x|x>-3},x2≤9”的否定是“∀x∈{x|x>-3},x2>9”,故B选项正确;对于C选项,由|x|>|y|不能推出x>y,例如|-2|>|1|,但-2<1;由x>y也不能推出|x|>|y|,例如-2<1,而|-2|>|1|;所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故C选项错误;对于D选项,关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根⇔4-4m>0,m<0⇔m<0,所以“m<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正一负根”的充要条件,12.充分不必要因为A是B的必要不充分条件,所以B⇒A,但AB,A是C的充分不必要条件,所以A⇒C,但CA,D是B的充分不必要条件,所以D⇒B,但BD,所以D⇒B⇒A⇒C,但CD,故D是C的充分不必要条件.13.{a|-3<a<-1}借助数轴可知a∴-3<a<-1.14.54因为1+1=2∈T,2+1=3∈T,3-1=2∈T,所以1,2,3都不是T的“孤立元”.因为5-1=4∉T,5+1=6∉T,所以5是T的“孤立元”.不含“孤立元”是指在集合中有与“孤立元”k相邻的元素,所以不含“孤立元”的集合为{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},共4个.15.解由已知得B={x|x≥-3},(1)A∩B={x|-3≤x≤-2}.(2)A∪B={x|x≥-4}.(3)∁R(A∩B)={x|x<-3或x>-2}.16.解(1)因为9∈(A∩B),所以9∈B且9∈A,所以2a-1=9或a2=9,所以a=5或a=3或a=-3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9};当a=3时,a-5=1-a=-2,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},所以a=5或a=-3.(2)由(1)可知,当a=5时,A∩B={-4,9},不符合题意,当a=-3时,A∩B={9},所以a=-3.17.解(1)当a=1时,B={x|x-1=0}={1},又因为A={x|x2-6x+5=0}={1,5},故A∩(∁ZB)={5}.(2)若选①,