2.3 一元二次不等式的应用 第2课时

.3第2课时一元二次不等式的应用基础练 巩固新知夯实基础1.不等式eq\f(4x＋2,3x－1)>0的解集是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x>\f(1,3)或x<－\f(1,2)))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))－\f(1,2)<x<\f(1,3)))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x>\f(1,3)))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x<－\f(1,2)))2.若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}＝∅，则实数a的值的集合是()A．{a|0<a<4} B．{a|0≤a<4}C．{a|0<a≤4} D．{a|0≤a≤4}3.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为 ()A．1 B．－1C．－3 D．34.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．15≤x≤30B．12≤x≤25C．10≤x≤30D．20≤x≤305.若关于x的不等式eq\f(x－a,x＋1)>0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________.6.若不等式x2＋mx＋1>0的解集为R，则m的取值范围是__________．7.解下列分式不等式：(1)eq\f(x＋1,2x－3)≤1；(2)eq\f(2x＋1,1－x)<0.8.当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?能力练综合应用核心素养9.不等式eq\f(x2－2x－2,x2＋x＋1)<2的解集为()A．{x|x≠－2} B．RC．∅ D．{x|x<－2或x>2}10.若不等式mx2＋2mx－4<2x2＋4x的解集为R，则实数m的取值范围是()A．(－2,2) B．(－2,2]C．(－∞，－2)∪[2，＋∞) D．(－∞，2)11.下列结论错误的是 ()A.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为RB.不等式ax2+bx+c=0≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0C.若关于x的不等式ax2+x-1≤0的解集为R，则a≤-D.不等式>1的解集为x<112.对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是()A．1<x<3 B．x<1或x>3C．1<x<2 D．x<1或x>213.在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________.14.已知2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立，则a的取值范围为________．15.已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．16.某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为akW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．【参考答案】1.A解析：eq\f(4x＋2,3x－1)>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>eq\f(1,3)或x<－eq\f(1,2)，此不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))x>\f(1,3)或x<－\f(1,2))).2.D解析：a＝0时符合题意，a>0时，相应二次方程中的Δ＝a2－4a≤0，得{a|0<a≤4}，综上得{a|0≤a≤4}.3.C解析：由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数，∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3.4.C解析：设矩形的另一边长为ym，则由三角形相似知，eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.5.4解析：eq\f(x－a,x＋1)>0⇔(x＋1)(x－a)>0⇔(x＋1)(x－4)>0，∴a＝4.6.－2<m<2解析：由题意知，不等式x2＋mx＋1>0对应的函数的图象在x轴的上方，所以Δ＝(m)2－4×1×1<0，所以－2<m<2.7.解(1)∵eq\f(x＋1,2x－3)≤1，∴eq\f(x＋1,2x－3)－1≤0，∴eq\f(－x＋4,2x－3)≤0，即eq\f(x－4,x－\f(3,2))≥0.此不等式等价于(x－4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))≥0且x－eq\f(3,2)≠0，解得x<eq\f(3,2)或x≥4.∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(3,2)或x≥4)))).(2)由eq\f(2x＋1,1－x)<0得eq\f(x＋\f(1,2),x－1)>0，此不等式等价于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))(x－1)>0，解得x<－eq\f(1,2)或x>1，∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)或x>1)))).8.解①当a2－1＝0时，a＝1或－1.若a＝1，则原不等式为－1<0，恒成立．若a＝－1，则原不等式为2x－1<0即x<eq\f(1,2)，不合题意，舍去．②当a2－1≠0时，即a≠±1时，原不等式的解集为R的条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－1<0，,Δ＝[－a－1]2＋4a2－1<0.))解得－eq\f(3,5)<a<1.综上a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，1)).9.A解析：∵x2＋x＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}．10.B解析：∵mx2＋2mx－4<2x2＋4x，∴(2－m)x2＋(4－2m)x＋4>0.当m＝2时，4>0，x∈R；当m<2时，Δ＝(4－2m)2－16(2－m)<0，解得－2<m<2.此时，x∈R.综上所述，－2<m≤2.11.ABD解析：A选项中，只有a>0时才成立；B选项当a=b=0，c≤0时也成立；D选项x是大于0的.12.B解析：设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，g(a)>0恒成立且a∈[－1,1]⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g1＝x2－3x＋2>0,g－1＝x2－5x＋6>0))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<1或x>2,x<2或x>3))⇔x<1或x>3.13.－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)解析：根据定义得(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)⊗(x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2).14.a<9解析：∵当2≤x≤3时，2x2－9x＋a<0恒成立，∴当2≤x≤3时，a<－2x2＋9x恒成立．令y＝－2x2＋9x.∵2≤x≤3，且对称轴方程为x＝eq\f(9,4)，∴ymin＝9，∴a<9.∴a的取值范围为a<9.15.解设f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，根据题意，画出示意图由图分析可得，m满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝2m＋1<0,f－1＝2>0,f1＝4m＋2<0,f2＝6m＋5>0))解得－eq\f(5,6)<m<－eq\f(1,2).16.解(1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至eq\f(k,x－0.4)＋a，电力部门的收益为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,x－0.4)＋a))(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．(2)依题意，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0.2a,x－0.4)＋a))x－0.3≥[a×0.8－0.3]1＋20%，,0.55≤x≤0.75.))整理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1.1x＋0.3≥0，,0.55≤x≤0.75.))解此不等式，得0.60≤x≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.A级必备知识基础练1.[探究点一(角度2)]不等式x+61-x≥0A.{x|-6≤x≤1} B.{x|x≥1,或x≤-6}C.{x|-6≤x<1} D.{x|x>1,或x≤-6}2.[探究点一(角度1)]若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x∈N*|x≤5},则A∩B等于()A.{1,2,3} B.{1,2}C.{4,5} D.{1,2,3,4,5}3.[探究点一(角度1)]不等式x2-2x-5>2x的解集是()A.{x|x≥5,或x≤-1}B.{x|x>5,或x<-1}C.{x|-1<x<5}D.{x|-1≤x≤5}4.[探究点二]若不等式ax2+bx+6>0的解集为{x|x<-3或x>-2},则()A.a=1,b=-5 B.a=-1,b=5C.a=-1,b=-5 D.a=1,b=55.[探究点一(角度2)]不等式xx-1≥2的解集是A.{x|x<1} B.{x|x≥2}C.{x|1≤x≤2} D.{x|1<x≤2}6.[探究点二·2024江苏连云港高一期中](多选题)设a,b,c为实数,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3},则下列说法正确的是()A.a<0B.ab<0C.ac>0D.a∶b∶c=1∶(-4)∶37.[探究点二](多选题)不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2},对于系数a,b,c,下列结论正确的是()A.a+b=0 B.a+b+c>0C.c>0 D.b<08.[探究点二]二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表:x-3-2-101234y60-4-6-6-406则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是.

9.[探究点三]某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是台.

10.[探究点一(角度1)]求下列不等式的解集:(1)2x2-13x+20>0;(2)7x2+5x+1<0;(3)4x2-4x+1≤0.B级关键能力提升练11.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为()A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1}C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2}12.“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”的一个必要不充分条件是()A.0<a<1 B.0<a<1C.0≤a≤1 D.a<0或a>113.已知a>0,b>0,则不等式-b<1x<a等价于(A.x<-1a或x>B.x<-1b或x>C.-1a<x<0或0<x<D.-1b<x<0或0<x<14.[2024河北唐山高一期中](多选题)已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x13<x<1A.a>0B.c<0C.a+b>0D.关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为{x|-3<x<-1}15.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1,或x>b}.(1)求a,b的值;(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.16.已知集合A={x|x2-4x+3≤0},B=.若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,给出如下三个条件:①{x|a-1≤x≤a},②{x|a≤x≤a+2},③{x|a≤x≤a+3}.请从中任选一个补充到横线上.若问题中的a存在,求出a的取值范围.

C级学科素养创新练17.在R上定义运算:abcd=ad-bc.若不等式x-1a-218.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0的解集为A,其中k∈R.(1)若5∈A,求实数k的取值范围.(2)求不等式的解集A.(3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集A中只有有限个整数?若存在,求出使得A中整数个数最少的k的值;若不存在,请说明理由.答案：1.C不等式x+61-x≥0等价于(x+6)(1-x)≥0,1-2.B∵(2x+1)(x-3)<0,∴-12<x<3又x∈N*且x≤5,则x=1,2.即A∩B={1,2}.3.B由x2-2x-5>2x,得x2-4x-5>0,因为方程x2-4x-5=0的两根为-1,5,所以不等式x2-4x-5>0的解集为{x|x<-1,或x>5}.4.D因为不等式ax2+bx+6>0的解集为{x|x<-3或x>-2},所以-3和-2为方程ax2+bx+6=0的两根,即9a-3b+6=0,4a-2b+6=0,解得a=1,b=5,故选D.5.D不等式xx-1≥2可化为xx-1-2≥0,即2-xx所以不等式的解集为{x|1<x≤2}.故选D.6.BCD∵a,b,c为实数,不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<1或x>3},∴a>0,1和3是方程ax2+bx+c=0的两个根,∴1+3=-ba,1×3=ca,∴b=-4a<0,c=3a>0,∴ab<0,ac>0,a∶b∶c=17.ABC由不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|-1≤x≤2}可得a<0,且方程ax2+bx+c=0的两个根为-1,2,所以-ba=-1+2=1>0,所以b=-a,b>0,故A正确,D错误;由ca=-2,则c>0,故C正确;依题意二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,且二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标是-1,2,因此当x=1时,y=a+b+c>0,故B正确.故选8.{x|x<-2,或x>3}根据表格可以画出二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的图象如图.由图象得关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<-2,或x>3}.9.150依题意得25x≥3000+20x-0.1x2,整理得x2+50x-30000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).因为0<x<240,所以150≤x<240,即生产者不亏本时的最低产量是150台.10.解(1)原不等式对应的方程为2x2-13x+20=0,Δ=(-13)2-4×2×20=9>0,所以该方程的两根为x1=13+34=4,x2=13画出函数y=2x2-13x+20的大致图象,如图,函数图象与x轴的交点为(4,0),(52,0).所以不等式2x2-13x+20>0的解集为x(2)原不等式对应的方程为7x2+5x+1=0,Δ=52-4×7×1=-3<0,所以方程无解.画出函数y=7x2+5x+1的大致图象,如图,图象与x轴无交点.所以不等式7x2+5x+1<0的解集为⌀.(3)4x2-4x+1≤0可化为(2x-1)2≤0,所以2x-1=0,所以x=12.画出函数y=4x2-4x+1的大致图象,如图,函数图象与x轴只有一个交点(12,0所以不等式4x2-4x+1≤0的解集为xx11.B根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).又x☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故x的取值范围是{x|-2<x<1}.12.C因为不等式x2-2ax+a>0的解集为R,所以Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)<0,解得0<a<1.选择的必要不充分条件的范围,应该大于0<a<1包含的范围,显然只有C项满足.故选C.13.B因为-b<1x<a,所以1x>-b,1x<a,解1x>-b,即1x+b=1+bxx>0,即(1+bx)x>0,因为b>0,所以得x<-1b或x>0;解1x<a,即1x综上,x<-1b或x>1故选B.14.BC因为不等式ax2+bx+c>0的解集为x13<x<1,所以13和1是方程ax2+bx+c=0的两个根,由根与系数的关系可得-ba=13+1,ca=13×1,解得a=3c,b=-4c(a<0),故A错误,B正确;a+b=-c>0,故C正确;不等式cx2+bx+a>0变为cx2-4cx+3c>0⇒15.解(1)因为不等式ax2-3x+6