1.4.1 充分条件与必要条件

.4.1充分条件与必要条件基础练 巩固新知夯实基础1.(多选)下列语句是命题的是()A.3是15的约数 B.x2+2x+1≥0C.4不小于2 D.你准备考北京大学吗?2.“x>0”是“x≠0”的()A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件3.“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既是充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件4.使不等式－5x＋3≥0成立的一个充分不必要条件是()A．x<0 B．x≥0C．{3,5} D．x≤eq\f(3,5)5.设p:-1≤x<2,q:x<a,若q是p的必要条件,则a的取值范围是()A.a≤-1 B.a≤-1或a≥2C.a≥2 D.-1≤a<26.“|x|<3”是“x<3”的条件.

7.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围是.

8.试判断下列各题中,p是q的什么条件.(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;(2)p:m<-3,q:方程x2-x-m=0无实根;(3)p:a>b,q:a>b+1.能力练综合应用核心素养9.一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<110.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的 ()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．既是充分条件又是必要条件 D．既不充分也不必要条件11.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A．x＋y＝2 B．x＋y>2C．x2＋y2>2 D．xy>112.已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要不充分条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件又是必要条件D．既不充分也不必要条件13.不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．14.已知p:A={x|-1≤x≤5},q:B={x|-m<x<2m-1},若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是.

15.已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 16.已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a. 【参考答案】1.ABC2.A解析：“x>0”⇒“x≠0”,反之不一定成立.3.A解析：对顶角必相等．4.A解析：由－5x＋3≥0，得{x|x≤eq\f(3,5)}，选项A中x的范围为其真子集，选A.5.C解析：因为q是p的必要条件,所以p⇒q,在数轴上画出-1≤x<2,借助数轴可知a≥2.6.充分解析：由|x|<3,解得-3<x<3,由-3<x<3⇒x<3,但由x<3-3<x<3,故“|x|<3”是“x<3”的充分条件.7.a≤18.解：(1)因为x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0x-2=0,所以p是q的充分条件,不是必要条件.(2)因为x2-x-m=0无实根时,Δ=(-1)2-4×(-m)=1+4m<0,即m<-14,所以q:m<-1所以p⇒q,qp,即p是q的充分条件,不是必要条件.(3)因为a>b+1⇒a>b,而a>ba>b+1,所以p是q的必要条件,不是充分条件.9.C解析∵一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一正根和一负根．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,x1x2<0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4－4a>0，,\f(1,a)<0))⇔a<0，本题要求的是充分不必要条件．由于{a|a<－1}{a|a<0}，故答案为C.10.A解析：x2＋y2≥4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，即|x|≥2且|y|≥2，而x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，但x2＋y2≥4不一定推出x≥2且y≥2.故A正确．11.B解析：对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意．12.A解析：本题主要考查连锁关系的充分性、必要性的判断，由题意知，p⇒r⇒s⇒q，故p⇒q，但qeq\a\vs4\al(⇒/)p，故选A.13.a>2解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1){x|(a＋x)(1＋x)<0}，故有a>2.14.m>3解析：因为p是q的充分条件,所以A⊆B,如图,则-m<-1综上,m的取值范围为m>3.15.解p：－2≤x≤10.q：x2－2x＋1－m2≤0⇔[x－(1－m)][x－(1＋m)]≤0(m>0)⇔1－m≤x≤1＋m(m>0)．因为q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m>－2,1＋m≤10))，解得m≤3.又m>0，所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}．16.解依题意a>0.由条件p：|x－1|>a得x－1<－a，或x－1>a，∴x<1－a，或x>1＋a.由条件q：2x2－3x＋1>0，得x<eq\f(1,2)，或x>1.要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a≤\f(1,2)，,1＋a>1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a<\f(1,2)，,1＋a≥1，))解得a≥eq\f(1,2).令a＝1，则p：x<0，或x>2，此时必有x<eq\f(1,2)，或x>1.即p⇒q，反之不成立．∴a＝1.A级必备知识基础练1.[探究点一·2024河南高一期中]“x>1”是“x>2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.[探究点一]不等式“x>y”成立,是不等式“|x|>|y|”成立的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.[探究点一]设a,b∈R,则“a>b”是“|a|≥b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.[探究点二·2024河北高一期末]a<0,b<0的一个必要条件是()A.a+b<0 B.ab>2C.a-b>0 D.a2-b2<05.[探究点三]求证:b=0是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件.B级关键能力提升练6.已知实数a,b,c,则b2=ac是ab=bA.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件7.若a,b为实数,则“a>b>0”是“1a<1bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.[2024江苏连云港高一期末]设x,y∈R,则“xy+1≠x+y”的充要条件是()A.x,y不都为1B.x,y都不为1C.x,y都不为0D.x,y中至多有一个是19.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是;若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是.

10.已知ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0是a+b=1的充要条件.C级学科素养创新练11.已知a≥12,设二次函数y=-a2x2+ax+c,其中a,c均为实数.证明:当0≤x≤1时,均有y≤1成立的充要条件是c≤3答案：1.B由x>1x>2,反之,由x>2⇒x>1,所以“x>1”是“x>2”的必要不充分条件.故选B.2.D由1>-2,但1<|-2|=2,所以由“x>y”不能推出“|x|>|y|”;又|-2|>|1|,但-2<1,所以由“|x|>|y|”不能推出“x>y”,即不等式“x>y”成立是不等式“|x|>|y|”成立的既不充分也不必要条件.故选D.3.A因为“|a|≥b”的充要条件为“a≥b或a≤-b”,所以“a>b”是“|a|≥b”的充分不必要条件,故选A.4.A因为a<0,b<0,所以a+b<0,所以“a+b<0”是“a<0,b<0”的一个必要条件.若a=-1,b=-1,不能得到ab>2,a-b>0,a2-b2<0,故选A.5.证明①充分性:如果b=0,那么y=kx,当x=0时,y=0,函数图象过原点.②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点,所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,即b=0.综上,b=0是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件.6.C由ab=bc可得b2=ac,反之不成立,如当b=c=0时,满足b2=ac,但ab=bc不成立,故b27.A若a>b>0,则1a<1b成立,所以满足充分性;若1a<1b,当a>0,b>0时,满足a>b>0;当a<0,b>0时,不满足;当a<0,b<0时,b<a<0,所以不满足必要性.综上,“a>b>0”是8.B因为xy+1≠x+y,即xy+1-x-y≠0,即(x-1)(y-1)≠0,即等价于x≠1且y≠1,故“xy+1≠x+y”的充要条件是x,y都不为1,故选B.9.{a|a≤0}{a|a≥0}因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0.10.证明①必要性:因为a+b=1,所以a+b-1=0.所以a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a+b-1)(a2-ab+b2)=0.②充分性:因为a3+b3+ab-a2-b2=0,所以(a+b-1)(a2-ab+b2)=0,又ab≠0,所以a≠0