2.1 不等关系与不等式第1课时

.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式基础练 巩固新知夯实基础1.若某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，则用不等式表示为()A．v≤120km/h或d≥10mB．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(v≤120km/h，,d≥10m))C．v≤120km/hD．d≥10m2.若x<y<0，设M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则()A．M>NB．M<NC．M≤N D．M≥N3.若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是()A．y1<y2 B．y1＝y2C．y1>y2 D．随x值变化而变化4.(多选题)下列不等式恒成立的是()A．a2＋2>2a B．a2＋1>2aC．a2＋b2≥2(a－b－1) D．a2＋b2>ab5.完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20000元．设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是()A．4x＋5y≤200B．4x＋5y<200C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<2006.已知两实数a＝－2x2＋2x－10，b＝－x2＋3x－9，a，b分别对应数轴上两点A，B，则点A在点B的(填“左边”或“右边”)．7.比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．8.已知a>b>c>0，试比较eq\f(a－c,b)与eq\f(b－c,a)的大小；能力练综合应用核心素养9.已知三角形的任意两边之和大于第三边，设△ABC的三边长为a，b，c，将上述文字语言用不等式(组)可表示为()A．a＋b>c B．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c,a＋c>b))C．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c≥b,b＋c≥a)) D．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>c,a＋c>b,b＋c>a))10.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是()A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=011.下列不等式:①a2+3>2a;②a2+b2>2(a-b-1);③x2+y2>xy.其中恒成立的不等式的个数为()A.0 B.1 C.2 D.312.(多选题)若x<a<0，则下列不等式不一定成立的是()A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>ax13.已知b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式，当b>a>0且m>0时，.14.已知|a|<1，则eq\f(1,1＋a)与1－a的大小关系为.15.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长为18m,靠墙的一边长为xm.(1)若要求菜园的面积不小于110m2,试用不等式组表示其中的不等关系;(2)若矩形的长、宽都不能超过11m,试求x满足的不等关系.16.已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小．

【参考答案】1.B解析：考虑实际意义，知v≤120km/h，且d≥10m.2.A解析：M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)，又∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0，∴M>N.3.C解析：y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以y1>y2.故选C.4.AC解析：对于A，a2＋2－2a＝(a－1)2＋1>0，故A成立；对于B，因a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，故B不成立；对于C，a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故C成立；对于D，a2＋b2－ab＝(a－eq\f(b,2))2＋eq\f(3,4)b2≥0，故D不成立，故选AC．5.A解析：由题意，可得400x＋500y≤20000，化简得4x＋5y≤200，故选A．6.左边解析：∵a－b＝－2x2＋2x－10－(－x2＋3x－9)＝－2x2＋2x－10＋x2－3x＋9＝－x2－x－1＝－(x＋eq\f(1,2))2－eq\f(3,4)<0，∴a<b，∴点A在点B的左边．7.解：(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4).因为(x＋eq\f(1,2))2≥0，所以(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)>0，所以(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)>0，所以2x2＋5x＋3>x2＋4x＋2.8.解：eq\f(a－c,b)－eq\f(b－c,a)＝eq\f(aa－c－bb－c,ab)＝eq\f(a2－ac－b2＋bc,ab)＝eq\f(a2－b2－a－bc,ab)＝eq\f(a－ba＋b－c,ab).因为a>b>c>0，所以a－b>0，ab>0，a＋b－c>0.所以eq\f(a－ba＋b－c,ab)>0，即eq\f(a－c,b)>eq\f(b－c,a).9.D解析：由三角形三边关系及题意易知选D．10.B11.B解析：∵a2+3-2a=(a-1)2+2>0,∴a2+3>2a,即①正确;∵a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴②错误;∵x2+y2-xy=x-y2∴③错误,选B.12.ACD解析：∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2，∴x2>ax>a2，故选项B一定成立，故选ACD．13.eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b)解析：变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了，所以当b>a>0且m>0时，eq\f(a＋m,b＋m)>eq\f(a,b).14.eq\f(1,1＋a)≥1－a解析：由|a|<1，得－1<a<1.∴1＋a>0,1－a>0.∴eq\f(\f(1,1＋a),1－a)＝eq\f(1,1－a2).15.(1)因为矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m,所以0<x≤18,这时菜园的另一边长为30-x所以菜园的面积S=x·15-x2,依题意有S≥110,即x(2)因为矩形的另一边长15-x2≤11,所以x≥8,又0<x≤18,且x≤11,所以8≤x≤1116.解析：x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))).∵x<1，∴x－1<0.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，∴(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4)))<0，∴x3－1<2x2－2x.A级必备知识基础练1.[探究点二]已知0<x<1,0<y<1,记M=xy,N=x+y-1,则M与N的大小关系是()A.M<NB.M>NC.M=ND.M与N的大小关系不确定2.[探究点二]设M=2a(a-2)+7,N=(a-2)(a-3),则有()A.M>N B.M≥NC.M<N D.M≤N3.[探究点三(角度1)·2024江苏扬州高一月考]对于实数a,b,c,下列命题中正确的是()A.若a>b,则a2>b2B.若a>b(ab≠0),则1C.若a>b,则ac2>bc2D.若ac2>bc2,则a>b4.[探究点三(角度1)]设x<a<0,则下列不等式一定成立的是()A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax5.[探究点一](多选题)下列说法错误的是()A.某人月收入x(单位:元)不高于2000元可表示为“x<2000”B.小明的身高为x(单位:米),小华的身高为y(单位:米),则小明比小华矮可表示为“x>y”C.变量x不小于a可表示为“x≥a”D.变量y不超过a可表示为“y≥a”6.[探究点三(角度1)·2024广东广州高一期中](多选题)若a,b,c为实数,且0<a<b,则下列命题正确的是()A.1a<1bC.a-c<b-c D.ac2≤bc27.[探究点三(角度3)·2024广东揭阳高一期末]已知a,b∈R,且-5<a<2,1<b<4,则3a-b的取值范围是.

8.[探究点一、二]有甲、乙两位股民,分两次同时以a,b两种不同价格(单位:元/股)买入同一种股票.甲的买入方式为:每次买入10000元的股票;乙的买入方式为:每次买入股票2000股.请根据两人所买股票的平均每股价格,判断哪一位的买入方式比较合算?9.[探究点三(角度2)]证明下列不等式:(1)已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc;(2)已知a>b>0,c<d<0,求证:3aB级关键能力提升练10.(多选题)下列四个条件中,能推出1a<1A.a<0<b B.b<a<0C.b<0<a D.0<b<a11.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式中一定成立的是()A.xy>yz B.xz>yzC.xy>xz D.x|y|>z|y|12.(多选题)若正实数x,y满足x>y,则有下列结论,其中正确的有()A.xy<y2 B.x2>y2C.yx<y+mx+13.(多选题)设x,y为实数,满足1≤x≤4,0<y≤2,则下列结论错误的是()A.1<x+y≤6 B.1<x-y≤2C.0<xy≤8 D.xy≥14.能说明“若a>b,则1a<1b”为假命题的一组a,b的值依次为15.[2024江苏高一期中]已知a≥1,试比较M=a+1−a和N=16.[2024广东高一月考]一般认为,民用住宅的窗户面积必须小于地板面积,但窗户面积与地板面积的比应不小于10%,而且这个比值越大,采光效果越好.设某所公寓的窗户面积与地板面积分别为am2,bm2.(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为220m2,求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米;(2)若同时增加窗户面积和地板面积各nm2,判断这所公寓的采光效果是否变好了,并说明理由.17.已知0<a<b,且a+b=1,试比较:(1)a2+b2与b的大小;(2)2ab与12的大小C级学科素养创新练18.设a≥b≥c,且1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根,则ca的取值范围为.19.对于四个正数x,y,z,w,如果xw<yz,那么称(x,y)是(z,w)的“下位序对”.(1)对于2,3,7,11,试求(2,7)的“下位序对”;(2)设a,b,c,d均为正数,且(a,b)是(c,d)的“下位序对”,试判断cd,答案：1.BM-N=xy-x-y+1=(x-1)(y-1).∵0<x<1,0<y<1,∴x-1<0,y-1<0.∴M-N>0,即M>N.故选B.2.AM-N=(2a2-4a+7)-(a2-5a+6)=a2+a+1=(a+12)2+34>0,∴M>N.故选3.D对于A,由a>b,取a=2,b=-3,则a2>b2不成立,故A错误;对于B,由a>b(ab≠0),取a=1,b=-1,则1a<1b不成立,故B错误;对于C,当c=0时,ac2>bc2不成立,故C错误;对于D,因为ac2>bc2,所以c2>0,故ac2×1c2>bc2×1c2,则a>b4.B∵x<a<0,∴x2>a2.∵x2-ax=x(x-a)>0,∴x2>ax.又ax-a2=a(x-a)>0,∴ax>a2.∴x2>ax>a2.5.ABD对于A,x应表示为x≤2000,故A错误;对于B,x,y应满足x<y,故B错误;C正确;对于D,应表示为“y≤a”,故D错误.6.BCD对于选项A,因为0<a<b,由不等式性质可知,1b<1a,故A错误;对于选项B,因为0<a<b,易知,a2<b2,ab<ba,故B正确;对于选项C,因为0<a<b,由不等式性质可知,a-c<b-c,故C正确;对于选项D,因为0<a<b,显然c2≥0,由不等式可知,ac2≤bc27.{3a-b|-19<3a-b<5}因为a,b∈R,且-5<a<2,1<b<4,所以-15<3a<6,-4<-b<-1,所以-19<3a-b<5.8.解甲所买股票的平均每股价格:x1乙所买股票的平均每股价格:x2两式作差得,a+b2−2aba+b=(9.证明(1)∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc,又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc.(2)∵c<d<0,∴1d<1c<0,∴-1d又a>b>0,∴-ad>-bc,∴ad<10.ABD由0<b<a,得ab>0,不等式b<a两边同时除以ab,得1a<1∵b<a<0,∴a-b>0,ab>0,∴a-bab>0,∴1b−1a>0,又正数大于负数,A正确;∵b<0<a,∴1a>0>1b,∴C11.C因为x>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,所以x>0,z<0.所以由x>0,y>12.BCDA中,由于x,y为正实数,且x>y,两边乘y得xy>y2,故A选项错误;B中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x2>y2,故B选项正确;C中,由于x,y为正实数,且x>y,所以当m>0时,y(x+m)-x(y+m)=m(y-x)<0,则y(x+m)<x(y+m),所以yx<y+mx+m成立,故C选项正确;D中,由于x,y为正实数,且x>y,所以x>x-y>0,取倒数得13.BD∵1≤x≤4,0<y≤2,∴1<x+y≤6,A正确;∵1≤x≤4,-2≤-y<0,∴-1≤x-y<4,B错误;∵1≤x≤4,0<y≤2,∴0<xy≤8,C正确;∵1≤