河南省部分重点中学2025-2026学年高三下学期第二次模拟联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省部分重点中学2025-2026学年高三下学期第二次模拟联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z1−i=1+i，则z10A.−1 B.1 C.−i D.i2.已知集合A=xx≤a，B=xx−2<0，若A⊆B，则实数A.0,2 B.0,2 C.−∞,2 D.−∞,23.抛物线2x2+y=0的焦点坐标为A.0,−12 B.0,−18 C.4.平面向量a,b满足a+b=a−A.0 B.4 C.6 D.85.已知sinα+cosα=12，α∈A.4+73 B.4−736.已知单调递增等比数列{an}的前9项积为1，且a4+a6=52，若数列{log2A.5 B.9 C.10 D.127.已知点Px0,y0是曲线y=lnA.1 B.2 C.2 D.8.点P为棱长是2的正方体ABCD−A1B1C1D1的外接球上一动点，O为底面ABCDA.3 B.2 C.6+1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知α,β,γ是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下面说法正确的是(

)A.若α⊥β，β⊥γ，则α//γ B.若α⊥γ，β//γ，则α⊥β

C.若m⊥α，n//α，则m⊥n D.若m⊥n，n⊥α，则m//α10.将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)图象向左平移π12A.函数f(x)的最小正周期为π

B.函数f(x)为奇函数

C.函数f(x)在区间[−5π12,0]单调递增

D.函数f(x)在图象11.已知数列an，a1=1，满足an+1A.an为单调递增数列

B.an为周期数列

C.a1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.x3+3x2+3x+113.如图，设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，且14.平面内有两组相交平行线，一组有10条，一组有5条，且每组中相邻两平行直线间距离均为1，则从这两组直线构成的平行四边形中任取一个，取到的平行四边形恰为菱形的概率为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在▵ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA(1)求角C的取值范围；(2)当角C取最大值时，边AB上存在一点D，满足CD=1，求▵ABC周长的取值范围．16.(本小题15分)中国航天“十五五”规划核心是从航天大国迈向航天强国、从大国重器转向万亿级支柱产业、从近地领先走向深空领跑.为实现发动机科研突破，我国某航天研究院对甲、乙、丙三款新型发动机关键部件进行可靠性测试，单次测试中，部件连续稳定工作时长达到1200小时及以上，即可判定为“一级可靠性部件”.为预测本次测试中获评“一级可靠性部件”的数量及最优部件型号，收集了三款部件过往的测试数据(单位：小时)，如下所示：甲部件：1380，1350，1280，1250，1230，1210，1190，1170，1150，1120乙部件：1360，1310，1260，1220，1180，1160丙部件：1420，1330，1170，1140(1)求收集到的甲部件测试数据的第80%分位数;(2)假设用频率估计概率，且甲、乙、丙三款部件的测试结果相互独立.设X为甲、乙、丙三款部件中获评“一级可靠性部件”的总数量，求X的概率分布列和数学期望E(X)．17.(本小题15分)

如图，三棱台ABC−A1B1C1的下底面ABC是边长为6的正三角形，上底面A1B1C1(1)证明：△A1(2)已知E为棱CC1上一动点，BD=2DC，若DE/​/平面ABB118.(本小题17分)已知双曲线E:x2a2−(1)求双曲线E的标准方程；(2)点O为坐标原点，过点F2,0的直线l与双曲线E交于M,N(ⅰ)若▵OMN的面积为233(ⅱ)双曲线E的左右顶点分别为A，B，直线AM与直线BN交于点P，记直线AM，BN，PF的斜率分别为k1、k2、k3，探究19.(本小题17分)已知函数f(x)=aln(1)当a<0时，判断f(x)在区间(0,π2(2)若f(x)在区间(0,π)单调递增，求正整数a的最小值;(3)当a取(2)中的最小值时，已知存在x1，x2∈(0,π)，且x1≠x2参考答案1.A

2.C

3.B

4.B

5.D

6.C

7.A

8.C

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.20

13.514.84515.解：(1)因为cosA所以根据正弦定理，得cos由余弦定理，得b化简得2c又cosC=a2所以cosC∈因为0<C<π，所以角C的取值范围是0,π(2)当角C最大时，C=π3，且a=b，所以设▵ABC的边长为x，因为点D在边AB上，所以xsinπ3由CD=1，所以32x≤1x≥1，解得即▵ABC周长的取值范围为3,2

16.解：(1)将甲部件测试数据从小到大排列，

得1120，1150，1170，1190，1210，1230，1250，1280，1350，1380，

又10×80%=8为整数，

所以数据的第80%分位数为第8个数据和第9个数据的平均数，1280+13502=1315．

(2)甲部件：数据共10个，大于等于1200小时的是1210，1230，1250，1280，1350，1380，共6个，频率为35．

乙部件：数据共6个，大于等于1200小时的是1360，1310，1260，1220，共4个，频率为23．

丙部件：数据共4个，大于等于1200小时的是1420，1330，共2个，频率为12．

由频率估计概率得，甲部件为“一级可靠性部件”的概率为35，

乙部件为“一级可靠性部件”概率为23，

丙部件为“一级可靠性部件”的概率为12．

设：甲部件为“一级可靠性部件”为事件A1，乙部件为“一级可靠性部件”为事件A2，丙部件为“一级可靠性部件”为事件A3．

P(X=0)=P(A1A2A3X0123P13131所以X的数学期望E(X)=1×31017.解：(1)由题意，AA1⊥平面ABC，

则可过点C1作C1O//AA1交棱AC于点O，则C1O⊥平面ABC，

又AC⊂平面ABC，得C1O⊥AC，

∵A1C1=3，AC=6，∴O为棱AC的中点，

又因为△ABC为等边三角形，所以BO⊥AC，

又C1O∩BO=O，C1O、BO⊂平面C1BO，

∴AC⊥平面C1BO，

又BC1⊂平面C1BO，∴AC⊥BC1，

又∵AC//A1C1，则A1C1⊥BC1，

所以△A1BC1为直角三角形;

(2)以点O为原点，分别以OB，OC，OC1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0,0,0)，A(0,−3,0)，A1(0,−3,3)，B(33,0,0)，C(0,3,0)，C1(0,0,3)，

CC1=(0,−3,3)，AB=(33,3,0)，AA1=(0,0,3)，

又BD=2DC，所以D(3,2,0)，

因为E为棱CC1上一动点，

可设CE=λCC1=(0,−3λ,3λ).

则18.解：(1)由已知得渐近线方程为bx±ay=0，右焦点F2,0，知c=2且2ba2+b故双曲线的标准方程为x2(2)(ⅰ)【法一】当直线l的斜率不存在时，直线l方程为x=2，代入双曲线方程x2求得y2=13，不妨设M2,3故▵OMN的面积S▵OMN=1当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx−2将其与双曲线方程联立：x23则Δ=144k4+41−3k则x1+x故MN=而点O到直线y=kx−2的距离h=故▵OMN的面积为：S▵OMN整理得kk解得k=±所以直线l方程为y=±综上当S△OMN=233时，直线【法二】当直线l的斜率不存在时，与上同法得到直线x=2符合题意；当直线l的斜率存在时，与上同法得到：x1因y1故▵OMN的面积S▵OMN即k整理得15k2=1，解得k=±15综上当S△OMN=233时，直线【法三】由题意设直线l的方程为x=my+2m≠±x直线l与双曲线E交于M,N两点，所以Δ=16m另设Mx则y1+y故MN点O到直线x=my+2的距离h=2故▵OMN的面积S▵OMN即−4m解得m=0或m2所以当S△OMN=233时，直线【法四】由题意设直线l的方程为x=my+2m≠±x直线l与双曲线E交于M,N两点，所以Δ=16m另设Mx1,则y1+y故▵OMN的面积S▵OMN即−4m解得m=0或m2所以当S△OMN=233时，直线(ⅱ)由题意知A−3,0，x又因为直线l与双曲线交于两点，则m2≠3，设Mx1,则y1+y所以直线AM，BN的方程分别为y=y1x联立y=y1得x=2m则可设点P32,y0，故可得所以k1所以k1+k

19.解：(1)法一：当a<0时，由f(x)=alnx−sinx+1(a∈R)得f(π2)=alnπ2<0，

又当x→0时，f(x)→+∞，

又因为函数f(x)在(0,π2)连续，所以f(x)在区间(0,π2)定存在零点．

法二：当a<0时，由f(x)=alnx−sinx+1(a∈R)可知f(π2)=alnπ2<0，

取x=1e得f(1e)=−a−sin1e+1，

因为a<0⇒−a>0，−sin1e+1>0，

故f(1e)>0，又函数f(x)在(0,π2)连续，所以f(x)在区间(0,π2)定存在零点．

(2)因为f′(x)=ax−cosx=a−xcosxx，

又f(x)在区间(0,π)单调递增，故f′(x)=a−xcosxx≥0在区间(0,π)恒成立，

即a≥xcosx恒成立．

设g(x)=xcosx，x∈(0,π)，则g′(x)=cosx−xsinx.

当x∈[π2,π)时，cosx≤0，xsinx>0，所以g′(x)=cos