复数的概念课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第十章复数10.1.1复数的概念《人教B版2019高中数学必修第四册》探究新知

探究新知

探究新知

实数a与i的和记作a+i，且实数0与i的和为i；实数b与i的积记作bi，且实数0与i的积为0，实数1与i的积为i．一般地，当a与b都是实数时，称a+bi为复数.复数一般用小写字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R),(以下如不特别声明,谈到z=a+bi等类似表达式时,均默认为a,b∈R.)其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作Re(z)=a,Im(z)=b.探究新知所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C={z|z=a+bi,a,b∈R}例如，2+(-3)i∈C,这是一个实部为2且虚部为-3的复数，为了简单起见，2+(-3)i通常简写为2-3i;再例如，-1-2i∈C,，这是一个实部为-1

且虚部为

-2

的复数.不难看出，任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数.例如，复数3是一个实数，复数1-i是一个虚数，而复数-2i是一个纯虚数.探究新知例1

分别求实数x的取值，使得复数z=(x-2)+(x+3)i（1）是实数；

（2）是虚数；

（3）是纯虚数．分析

因为x是实数，所以z的实部是x-2，虚部是x+3.然后由复数z=a+bi是实数、虚数与纯虚数的条件可以确定x的值.解（1）当x+3=0,即x=-3时，复数z是实数.

（2）当x+3≠0,即x≠-3时，复数z是虚数.

（3）当x-2=0且x+3≠0,即x=2时,复数z是纯虚数.探究新知两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1=z2.这就是说，如果a,b,c,d都是实数，那么

a+bi=c+di⇔a=c且b=d.特别地，当a,b都是实数时，

a+bi=0的充要条件是

a=0且b=0

应当注意，两个不相等的实数，一定有大小之分（从而也就一定能用大于号或小于号连接），但是两个复数，如果不全是实数，一般不规定它们之间的大小，只能说它们相等或不相等.例如，2+i与3+i,2与2i之间都不规定大小．特别地，不能将虚数与0比较大小，因此也就不能说虚数是正数还是负数．探究新知例2

分别求满足下列关系的实数x与y的值．(1)(x+2y)-i=6x+(x-y)i;(2)(x+y+1)-(x-y+2)i=0.

小结1.虚数单位i

定义：i叫做虚数单位，规定：i2=-1

实数的运算律（交换、结合、分配律）对i仍然成立.2.复数的定义与代数形式

复数：形如z=a+bi(a,b∈R)的数叫复数.

名称：a：实部，记Re(z)=ab：虚部，记Im(z)=b(虚部是实数，不含i).

复数集：全体复数构成的集合，记作C={z|z=a+bi,a,b∈R}.小结

练习A

②写出实数集R与复数集C之间的关系，并用维恩图表示N,Z,Q,R,C之间的关系.实数⫋复数NZQRC练习A③分别写出下列各复数的实部与虚部.(1)-3+2i; (2)3-5i; (3)-7 (4)8i.(1)-3+2i：实部为-3，虚部为2(2)3-5i：实部为3，虚部为-5(3)-7：实部为-7，虚部为0(4)8i：实部为0，虚部为8④已知(x-2)+yi=0，求实数x与y的值.根据复数相等的条件：实部和虚部分别相等解得x=2,y=0练习A⑤已知z1的实部是1，z2的实部为0，则z1=z2可能成立吗？为什么？已知z1的实部是1，z2的实部是0.根据复数相等的充要条件：两个复数相等当且仅当它们的实部相等且虚部相等.这里z1和z2的实部不相等，所以z1=z2不可能成立.练习B

练习B②

分别求实数m的取值范围，使得复数z=(m+2)+(m-6)i（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．

练习B③分别求满足下列关系的实数x与y的值.(1)(x+y-3)+(x-y-1)i=3+3i;(2)(x+y+1)-(x-2y+1)i=0.复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等.(1)(x+y-3)+(x-y-1)i=3+3i

x+y-3=3x+y=6

x-y-1=3x-y=4两式相加：2x=10⇒x=5，代入得y=1∴x=5,y=1

⇒

同理，可解（2）得x=−1,

y=0练习B④写出复数是正实数的一个充要条件．实部a>0且虚部b=0⑤记所有虚数组成的集合为I，所有纯虚数组成的集合为P，分别写出下列集合之间的关系，并作出对应的维恩图.（1)I与P；（2)I与C；（3)I,R与C．P⫋IPII⫋CICI⫋R⫋CICR巩固提升1.（多选题）下列命题正确的是（

）A.若a∈R，则（a+1)i是纯虚数B.若a，b∈R，且a>b,则a+i>b+iC.若（x2-4）+（x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=2D.实数集是复数集的真子集解析：

A选项，当a=-1时错误B选项，虚数不能比较大小，错误所以C,D正确CD巩固提升2.当实数m为何值时，复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是：①纯虚数；②实数m2-2m-7=1m2+5m+6≠0解析：

①若复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数，则

解得m=4解析：

②若复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是实数，则

解得m=-2m2-2m-7>0m2+5m+6=0巩固提升3.若2m+(1-m2)i<0,其中i为虚数单位，则实数m的值为

.2m<0,1-m2=0,解析：

因为2m+(1-m2)i<0，所以

解得m=-1.-1巩固提升4.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则“m=3”是“z为纯虚数”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,则有解得m=3,因此“m=3”是“z