2025-2026学年宁夏银川市第一中学高一（下）期中数学试（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年宁夏银川市第一中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.已知向量，若∥，则m=（）A.-4 B.-6 C.6 D.42.已知复数，则z的虚部为（）A.2 B.2i C.4 D.4i3.已知向量，且向量在向量上的投影向量为，则=（）A. B. C. D.4.在复平面内，向量对应的复数为-1+4i,向量对应的复数为-3+i,则向量对应的复数为（）A.-4-5i B.-4+5i C.-2-3i D.2+3i5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，且四棱锥C-BDD1B1的体积为6，则AB=（）A.1 B.2 C.3 D.46.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则△ABC的面积为（）A.1 B. C.2 D.7.直三棱柱ABC-A1B1C1中，，，AA1=2，则直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为（）A. B.8π C. D.20π8.斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角∠ADB=β，∠ACB=α（如图2），主塔AB的高度为h,则CD间的距离为（）

A. B.

C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.下列叙述正确的是（）A.已知直线l和平面α，若有两个不同点A，B，满足点A∈l,点B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α

B.若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面

C.如果直线a∥b,则a平行于经过b的任何平面

D.已知α∥β，m⊂α，B∈β，则在β内过点B存在唯一一条与m平行的直线10.已知复数z=（m2-m-2）+（m2-1）i,其中m∈R，i是虚数单位，则（）A.当m=-1时，z为纯虚数 B.当m=1时，z∈R

C.当m=2时， D.当m=-2时，|z|=2511.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，则（）A.

B.当a=2b时，△ABC为直角三角形

C.当a+b=4时，△ABC面积的最大值为1

D.当△ABC为锐角三角形时，的取值范围是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，已知D是BC边上一点，且，设，则用表示=

.13.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2，CD=AD=1，点P在线段BC上，则的最小值为

.

14.如图所示，若，点D与B分别在直线AC两侧，且AD=DC=2，则BD长度的最大值为

.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.

（1）求A；

（2）若b=3，△ABC的面积为，求△ABC的周长.16.(本小题15分)

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，，面PBC∩面PAD=l,E是PD的中点.

（1）求证：l∥AD；

（2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点N，使MN∥平面PAB？说明理由.17.(本小题15分)

如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是AA1、A1B1的中点.

（1）求异面直线EF与BC1所成角的大小；

（2）直线A1C分别交平面AB1D1于点G，交平面BC1D于点H，求证：A1G=GH=HC.18.(本小题17分)

如图，在△ABC中，D是BC的中点，O是线段AD上的动点，；过O点的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.设，.

（1）若，.求x,y的值；

（2）若，求2m+n的最小值；

（3）若△ABC是边长为2的等边三角形，△APQ的面积为，求实数λ的取值范围.19.(本小题17分)

布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利•布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是△ABC内一点，若∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ，则称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角.如图，在△ABC中，记它的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ，请完成以下问题：

（1）若，求∠APC的大小及tanθ的值；

（2）已知的条件下，解下列两个问题：

①若，求a2+b2+c2的值；

②若a=2，求S.

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】BC

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】证明见解析；

存在，理由见解析．

17.【答案】

证明：如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接AO1，

则平面AB1D1∩平面ACC1A1=AO1，

所以A1C与平面AB1D1的交点在AO1上，

故A1C∩AO1=G，

同理，连接AC交BD于点O，连接C1O交A1C于点H，

则点H为A1C与平面BC1D的交点．

下面证明A1G=GH=HC，

如图，矩形ACC1A1中，O1，O分别是A1C1，AC的中点．

所以AO∥O1C1，AO=O1C1，

所以四边形AO