小学五年级数学下册《公因数与最大公因数：基于大单元的概念建构与深度应用》教案

小学五年级数学下册《公因数与最大公因数：基于大单元的概念建构与深度应用》教案

一、教学内容分析

【基础】本节课是苏教版小学数学五年级下册第三单元《公倍数和公因数》中的核心内容。在此之前，学生已经掌握了因数和倍数的意义，能够熟练地找出一个自然数（100以内）的所有因数。这为本节课学习公因数奠定了坚实的基础。公因数和最大公因数的学习，不仅是本单元知识的深化和拓展，更是后续学习约分、计算分数加减法的基础，在整个数与代数领域中起着承上启下的关键作用。

【重要】从知识体系来看，本课内容属于“数论”的初步知识，虽然在实际生活中直接应用较少，但其蕴含的集合思想、推理意识以及数学建模思想，对提升学生的数学核心素养具有重要意义。教材编排遵循了从具体到抽象、从特殊到一般的认知规律，通过“铺长方形”这一直观操作活动引入公因数的概念，让学生在动手实践中感受“公”字的含义，再将生活问题抽象为数学问题，进而探索求两个数最大公因数的方法。这种编排方式不仅降低了认知难度，更凸显了概念的本质。

【核心素养指向】本课教学不仅仅是让学生掌握求最大公因数的技能，更重要的是在过程中培养学生的数感、推理意识和模型意识。通过观察、比较、分析、归纳等活动，让学生经历数学概念的形成过程和数学方法的优化过程，体会数学思考的价值。

二、学情分析

【基础】五年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段。他们对于“因数”的掌握已经较为扎实，能够熟练运用列举法找出一个数的所有因数，这为学习“公因数”提供了必要的知识储备。

【难点预估】然而，本课的难点在于对“公”字内涵的理解以及方法的最优化选择。学生容易分别找出两个数的因数，但难以主动将两者建立关联，形成“公有”的概念。此外，在面对寻找最大公因数的多种方法（如列举法、筛选法、分解质因数法、短除法）时，学生可能会感到困惑，不知道在何种情况下选择何种方法最为简便，容易出现方法混乱或计算失误。特别是对于公因数只有1的两个数（互质数）以及存在倍数关系的两个数，学生往往不能敏锐地观察并运用特殊规律快速求解。

【重要】此外，学生的抽象思维仍有赖于具体表象的支持。因此，在教学中仍需借助直观图形（如集合图、长方形方格）作为思维支架，帮助他们在“直观操作”与“抽象概念”之间架起桥梁，实现思维的有效跨越。

三、教学目标

1.【基础】理解公因数和最大公因数的意义，初步理解并掌握求两个数最大公因数的基本方法（列举法、筛选法），并能解决简单的实际问题。

2.【重要】经历公因数概念的发生过程和求最大公因数方法的探索过程，通过观察、操作、比较、归纳等活动，培养学生的抽象概括能力和合情推理能力。体验解决问题策略的多样化，能根据数字特点选择最优化方法，渗透集合思想。

3.【热点】在自主探索与合作交流的过程中，感受数学与生活的联系，获得成功的体验，树立学好数学的信心。

四、教学重难点

1.【重点】理解公因数与最大公因数的意义，掌握求两个数的公因数和最大公因数的方法。

2.【难点】理解公因数的本质含义，以及能灵活、简洁地找出两个数的最大公因数。

五、教学准备

多媒体课件、长18厘米、宽12厘米的长方形卡纸模拟图（或电子白板上的可拖拽图形）、边长分别为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的小正方形卡片（电子或实物教具）、学生学习单。

六、教学实施过程

（一）唤醒经验，引入新课（约5分钟）

1.复习导入：教师首先出示一组数：8和12。提问：“同学们，在四年级时我们已经认识了因数，谁能快速地告诉大家，8的因数有哪些？12的因数呢？”学生回答后，教师有意识地将8和12的因数分成两列板书。

2.制造冲突，激发兴趣：教师指着板书的两列因数提问：“请大家仔细观察这两组数，你发现了什么有趣的现象？”引导学生发现有些数字在两边都出现了，比如1、2、4。教师顺势追问：“为什么1、2、4会同时出现在8和12的因数里？这说明了什么？”由此引出本节课的核心词——“公”，即“公有”的意思。

3.揭示课题：今天我们就来研究两个数公有的因数，也就是“公因数”。（板书优化后的课题：公因数与最大公因数：基于大单元的概念建构与深度应用）

【设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的因数概念经验。利用观察和比较，自然地引出“公有”这一核心思想，为新课的概念建构做好心理和认知上的铺垫，体现了大单元教学中的知识关联性。】

（二）创设情境，建构概念（约12分钟）

1.【非常重要】情境引入，操作感知：教师利用多媒体呈现一个生活化问题：“学校劳动实践基地有一块长方形的蔬菜种植区，长18分米，宽12分米。学校准备用若干块完全一样的正方形地砖将它铺满（用来划分区域），要求使用的必须是整块数，不能切割。可以选择边长是几分米的地砖？”先请学生猜测，然后利用电子白板上的拖拽功能，让学生尝试用边长6分米和边长4分米的小正方形去铺。

2.探究交流，初步建模：

学生操作后发现，边长6分米的正方形可以正好铺满，而边长4分米的不能。

追问：“为什么边长6分米的可以？这里面藏着什么数学秘密？”引导学生结合除法算式思考：18÷6=3，12÷6=2，说明6既是18的因数，又是12的因数。

再问：“那除了6分米，还可以选边长是几分米的整块地砖呢？”学生小组讨论后，可能会说出1分米、2分米、3分米。引导学生同样用除法验证，并总结出：只要正方形的边长既是18的因数，又是12的因数，就能正好铺满。

3.抽象概括，揭示概念：

教师指出：1、2、3、6这几个数，既是18的因数，又是12的因数，我们就说它们是18和12的“公因数”。

提问：“为什么4不是？5呢？”通过反例，强化“公因数”必须同时是两个数因数的本质属性。

接着，在公因数中，最大的一个是几？（6）引出“最大公因数”的概念。

4.【基础】集合图引入，渗透思想：教师引导学生用集合图（韦恩图）来表示18和12的因数和公因数。先让学生在学习单上独立尝试填写，然后指名板演，最后集体订正。通过集合图，让学生直观地看到两个数各自的因数圈，以及它们相交的公共部分——公因数，进一步体会内圈与外圈的关系。

【设计意图：将抽象的数学概念寓于具体的生活情境中，通过“铺地砖”这一直观操作活动，让学生在做中学。从感性体验上升到理性思考，再抽象出数学概念，最后用集合图进行符号化表达，完整经历概念建构的全过程，有效突破了理解“公”字含义这一难点，并自然渗透了集合思想。】

（三）算法多样，优化策略（约15分钟）

1.【重要】自主探究，寻找方法：出示例题：求8和12的公因数，并找出最大的公因数。教师提出要求：“不借助图形，你有哪些方法可以找出它们的公因数和最大公因数？请试着写一写，然后和同桌交流你的想法。”

2.预设方法展示，思维碰撞：

方法一（列举法）：分别列出8和12的所有因数，再圈出相同的，找出最大的。8的因数：1、2、4、8；12的因数：1、2、3、4、6、12；公因数是1、2、4；最大公因数是4。

方法二（筛选法）：先列出8的因数1、2、4、8，再从中找出哪些也是12的因数，1、2、4也是12的因数，所以公因数是1、2、4，最大是4。

方法三（图示法）：先画出集合图，再找出相交部分。

3.【难点】对比分析，优化策略：引导学生对以上方法进行对比评价。“你更喜欢哪种方法？为什么？”通过讨论，让学生明确：虽然列举法最基础、最不易出错，但当两个数的因数较多时，筛选法（从较小数的因数中去找）往往更快捷。同时，教师要适时引出更高级的方法——短除法。板书演示短除法：用两个数公有的质因数连续去除，除到商互质为止，然后把所有的除数连乘起来。

8和12用公因数2去除，商4和6；再用公因数2去除，商2和3。所以最大公因数是2×2=4。

4.【高频考点】观察特例，发现规律：教师出示几组有特点的数：5和7、4和8、9和10、18和6。

让学生快速说出每组数的最大公因数。

引导学生观察并总结特殊规律：【非常重要】当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数；【重要】当两个数只有公因数1时（即互质数），它们的最大公因数就是1。

【设计意图：此环节充分体现了以学生为主体的教学理念，鼓励算法多样化，尊重学生的个性差异。通过对比辨析，引导学生从多样化走向最优化，培养学生的策略意识和选择能力。同时，将短除法作为后续学习的重要工具进行渗透，并引导学生发现特殊规律，使知识结构化，提升运算速度和思维深度，直击高频考点。】

（四）分层练习，深化理解（约8分钟）

1.基础练习（全体必做）：完成教材“练一练”第1、2题。求15和20、16和24的公因数和最大公因数。要求用自己喜欢的方法，旨在巩固基本概念和基本方法。

2.综合练习（小组合作）：求下面每组数的最大公因数。

第一组：12和30（常规数，适合用短除法或列举法）

第二组：7和13（互质数，考查特殊规律）

第三组：24和6（倍数关系，考查特殊规律）

第四组：17和51（倍数关系变式，考查观察能力）

小组内交流各自的算法，重点说说“你是用什么方法求的？为什么用这个方法？”

3.【热点】拓展练习（挑战思维）：用一块长45厘米、宽30厘米的长方形木板，锯成大小相等的正方形小木板（无剩余），小正方形的边长最长是多少厘米？可以锯成多少块？引导学生分析：小正方形的边长必须是45和30的公因数，要求“最长”就是求最大公因数。通过解决实际问题，让学生感受到数学知识来源于生活又服务于生活。

【设计意图：练习设计层层递进，从模仿到熟练，再到灵活运用，最后回归生活实际。既关注了全体学生的基础达标，又为学有余力的学生提供了思维发展的空间。特别是综合练习中的组内交流，强调了算法选择的理由，促使学生深度思考，将知识内化为能力。】

（五）回顾反思，构建网络（约3分钟）

1.课堂小结：教师引导学生回顾：“通过这节课的学习，你有哪些收获？你学会了哪些知识？掌握了哪些方法？有什么特别的体会？”

2.构建网络：引导学生将今天学习的“公因数与最大公因数”与之前学习的“因数”、“倍数”以及后续要学习的“约分”联系起来。教师点明：最大公因数是我们以后进行约分的重要工具，它就像一把“钥匙”，能帮助我们打开分数化简的大门。

3.评价延伸：教师对学生的课堂表现进行激励性评价，并布置课后作业：寻找生活中的公因数问题，与同伴分享。

【设计意图：通过回顾反思，帮助学生梳理知识脉络，构建系统的认知结构。将本课知识置于大单元背景下进行定位，点明其工具性价值，激发学生对后续学习的期待。最后将学习延伸到课外，培养用数学眼光观察世界的意识。】

七、板书设计

公因数与最大公因数

18的因数：1、2、3、6、9、18

12的因数：1、2、3、4、6、12

18和12的公因数：1、2、3、6

18和12的最大公因数：6

方法：

1.列举法：分别列举，再找公有。

2.筛选法：看小数的因数中哪些是大数的因数。

3.短除法：除到互质为止，除数相乘。

2|812

2|46

23

8和12的最大公因数：2×2=4

特殊规律：

倍数关系：最大公因数是较小数。

互质关系：最大公因数是1。

八、教学反思（课后预设）

本节课的设计力求体现新课标理念，将概念教学与生活实际紧密结合，让学生在“铺地砖”的操作活动中经历概念的形成过程，较好地激发了学生的学习兴趣和探究欲望。在方法