高三数学（文）一轮复习课堂达标40两直线的位置关系

◆牛刀小试•成功靠岸◆课堂达标(四十)[A基础巩固练]1．(2018·怀化模拟)已知直线ax＋2y＋2＝0与3x－y－2＝0平行，则系数a＝()A．－3 B．－6C．－eq\f(3,2)D.eq\f(2,3)[解析]∵直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，∴－eq\f(a,2)＝3，∴a＝－6.故选B.[答案]B2．(2018·济南模拟)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，∴m＝3或m＝－2.∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．[答案]A3．(2018·兰州月考)一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是()A.eq\r(2) B．2C．3 D．4[解析]点O(0,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝eq\r(1＋12＋1－12)＝2.[答案]B4．(2018·湖北武汉一模)已知M＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(y－3,x－2)＝3))))，N＝{(x，y)|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝∅，则a等于()A．－6或－2 B．－6C．2或－6 D．－2[解析]集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3x－y－3＝0，集合N表示恒过定点B(－1,0)的直线ax＋2y＋a＝0.因为M∩N＝∅，所以两直线平行，或直线ax＋2y＋a＝0过点A(2,3)，因此eq\f(－a,2)＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.[答案]A5．(2018·绵阳模拟)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.eq\f(9,5)B.eqB.\f(18,5)C.eq\f(29,10)D.eqD.\f(29,5)[解析]因为eq\f(3,6)＝eq\f(4,8)≠eq\f(－12,5)，所以两直线平行，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即eq\f(|－24－5|,\r(62＋82))＝eq\f(29,10)，所以|PQ|的最小值为eq\f(29,10)，故选C.[答案]C6．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于()A.eq\f(34,5)B.eqB.\f(36,5)C.eq\f(28,3)D.eqD.\f(32,3)[解析]由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(3＋n,2)＝2×\f(7＋m,2)－3，,\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))故m＋n＝eq\f(34,5)，故选A.[答案]A7．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是______．[解析]设Q(x0，y0)，因为点Q在直线x－y＋1＝0上，所以x0－y0＋1＝0①.又直线x＋2y－5＝0的斜率k＝－eq\f(1,2)，直线PQ的斜率kPQ＝eq\f(y0＋1,x0)，所以由直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，得eq\f(y0＋1,x0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－1②.由①②解得x0＝2，y0＝3，即点Q的坐标是(2,3)．[答案](2,3)8．(2018·忻州训练)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝______.[解析]由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋ba－1＝0，,\f(4,\r(a2＋－b2))＝\f(|b|,\r(a－12＋1)).))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝2.))经检验，两种情况均符合题意，∴a＋b的值为0或eq\f(8,3).[答案]0或eq\f(8,3)9．(2018·宁夏固原二模)若m>0，n>0，点(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点在直线x－y＋2＝0上，那么eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)的最小值等于______．[解析]由题意知(－m，n)关于直线x＋y－1＝0的对称点为(1－n,1＋m)．则1－n－(1＋m)＋2＝0，即m＋n＝2.于是eq\f(1,m)＋eq\f(4,n)＝eq\f(1,2)(m＋n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(4,n)))＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(n,m)＋\f(4m,n)))≥eq\f(1,2)×(5＋2×2)＝eq\f(9,2).[答案]eq\f(9,2)10．(2018·北京朝阳区模拟)已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．[解]依题意知：kAC＝－2，A(5,1)，∴lAC为2x＋y－11＝0，联立lAC、lCM得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))∴C(4,3)．设B(x0，y0)，AB的中点M为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0，))∴B(－1，－3)，∴kBC＝eq\f(6,5)，∴直线BC的方程为y－3＝eq\f(6,5)(x－4)，即6x－5y－9＝0.[B能力提升练]1．已知P(x0，y0)是直线l：Ax＋By＋C＝0外一点，则方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0表示()A．过点P且与l垂直的直线B．过点P且与l平行的直线C．不过点P且与l垂直的直线D．不过点P且与l平行的直线[解析]因为P(x0，y0)是直线l1：Ax＋By＋C＝0外一点，所以Ax0＋By0＋C＝k，k≠0.若方程Ax＋By＋C＋(Ax0＋By0＋C)＝0，则Ax＋By＋C＋k＝0.因为直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l斜率相等，但在y轴上的截距不相等，故直线Ax＋By＋C＋k＝0和直线l平行．因为Ax0＋By0＋C＝k，而k≠0，所以Ax0＋By0＋C＋k≠0，所以直线Ax＋By＋C＋k＝0不过点P.[答案]D2．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()A．2 B．1C.eq\f(8,3)D.eqD.\f(4,3)[解析]以AB、AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，C(0,4)，得△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))，设AP＝x，从而P(x,0)，x∈(0,4)，由光的几何性质可知点P关于直线BC、AC的对称点P1(4,4－x)，P2(－x,0)与△ABC的重心Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))共线，所以eq\f(\f(4,3),\f(4,3)＋x)＝eq\f(\f(4,3)－4－x,\f(4,3)－4)，求得x＝eq\f(4,3).[答案]D3．如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为______．[解析]以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)．∵AC⊥AB，∴ab－6＝0，ab＝6，b＝eq\f(6,a).Rt△ABC的面积S＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋4)·eq\r(b2＋9)＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋4)·eq\r(\f(36,a2)＋9)＝eq\f(1,2)eq\r(72＋9a2＋\f(144,a2))≥eq\f(1,2)eq\r(72＋72)＝6.[答案]64．(2018·重庆模拟)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是______．[解析]如图，设平面直角坐标系中任一点P，P到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距离之和为|PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|PB|＋|PD|＋|PA|＋|PC|≥|BD|＋|AC|＝|QA|＋|QB|＋|QC|＋|QD|，故四边形ABCD对角线的交点Q即为所求距离之和最小的点．∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)，∴直线AC的方程为y－2＝2(x－1)，直线BD的方程为y－5＝－(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－2＝2x－1，,y－5＝－x－1，))得Q(2,4)．[答案](2,4)5．已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0(a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1与l2间的距离是eq\f(7\r(5),10).(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件；①点P在第一象限；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的eq\f(1,2)；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是eq\r(2)∶eq\r(5).若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．[解](1)直线l2：2x－y－eq\f(1,2)＝0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))),\r(22＋－12))＝eq\f(7\r(5),10)，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2))),\r(5))＝eq\f(7\r(5),10)，即eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))＝eq\f(7,2)，又a>0，解得a＝3.(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．若点P满足条件②，则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，且eq\f(|c－3|,\r(5))＝eq\f(1,2)×eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2))),\r(5))，即c＝eq\f(13,2)或eq\f(11,6)，所以直线l′的方程为2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0；若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，有eq\f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq\f(\r(2),\r(5))×eq\f(|x0＋y0－1|,\r(2))，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．联立方程2x0－y0＋eq\f(13,2)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)))(舍去)；联立方程2x0－y0＋eq\f(11,6)＝0和x0－2y0＋4＝0，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18).))所以存在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)，\f(37,18)))同时满足三个条件．[C尖子生专练]已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；(2)