《椭圆的综合问题及应用》课件

习题课椭圆的综合问题及应用第三章课堂篇探究学习探究一椭圆的中点弦问题解

(方法1)易知直线AB的斜率k存在.设所求直线的方程为y-1=k(x-2),(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0.Δ=[-8(2k2-k)]2-4(4k2+1)[4(2k-1)2-16]=16(12k2+4k+3)>0,解得k∈R.(方法2)设A(x1,y1),B(x2,y2).∵M(2,1)为AB的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2.又A,B两点在椭圆上,故所求直线的方程为x+2y-4=0.(方法3)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),由于AB的中点为M(2,1),则另一个交点为B(4-x,2-y).∵A,B两点都在椭圆上,①-②,得x+2y-4=0.显然点A的坐标满足这个方程.代入验证可知点B的坐标也满足这个方程,而过A,B的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-4=0.反思感悟

处理椭圆的中点弦问题的三种途径(1)根与系数的关系法:联立直线方程与椭圆方程构成方程组,消掉其中的一个未知数,得到一个一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系结合中点坐标公式求解.(2)点差法:设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系.即“设而不求”思想,这也是此类问题最常用的方法.(3)中点转移法:先设出弦的一个端点的坐标,结合中点坐标得出弦的另一个端点的坐标,分别代入椭圆方程作差即得.探究二直线与椭圆的位置关系(1)求椭圆L的标准方程;(2)过点Q(0,2)的直线l与椭圆L交于A,B两点,若以AB为直径的圆恰好过坐标原点,求直线l的方程及|AB|的大小.反思感悟

直线与椭圆位置关系的判断方法

变式训练2已知椭圆C的焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点.(1)求线段AB的中点坐标;(2)求△OAB的面积.探究三椭圆中的最值与范围问题例3如图,点A,B分别是椭圆

长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PA⊥PF.(1)求点P的坐标;(2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.思路分析(1)设出点P坐标,然后根据点P在椭圆上以及PA⊥PF,建立方程组求解;(2)根据两点间的距离公式,将椭圆上的点到点M的距离d表示为点的坐标的函数,借助函数方法求得最小值.反思感悟

解决与椭圆有关的最大(小)值或范围问题的方法(1)定义法:利用椭圆定义转化为几何问题处理.(2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,寻找最大(小)值点(或临界点),进而求解.(3)函数法:选择恰当的自变量,构建目标函数,转化为求函数的最大(小)值或范围.(1)求椭圆C的方程;(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B,若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外,求直线l的斜率k的取值范围.探究四椭圆中的定点、定值问题例4(陕西西安长安一中高二检测)已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),O(0,0),△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设P是椭圆C上异于点A,B的一点,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:|AN|·|BM|为定值.反思感悟

定点、定值问题的求法定点、定值是在变化过程中不变的量,解决这类问题的基本思想是函数思想.具体处理方法有以下两种:(1)从特殊关系入手,求出定点(定值),再证明这个定点(定值)与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算过程中消去变量.

素养形成数学建模素养——椭圆的实际应用问题典例某火星探测器的运行轨道是以火星(其半径R=34百千米)的中心F为右焦点的椭圆.已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百千米,远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百千米.假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为

百千米时进行变轨,其中a,b分别为椭圆的长半轴长、短半轴长,求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百千米).思路分析先利用待定系数法求出轨道方程,再利用探测器变轨时到轨道中心O的距离求探测器所在位置的坐标,最后求探测器在变轨时与火星表面的距离.【规范答题】

归纳总结处理与椭圆有关的实际问题的一般步骤(1)结合所给的图形及题意建立适当的直角坐标系;(2)利用相关的几何知识分析问题;(3)利用椭圆的有关知识求解.

当堂检测答案

C2.若点O和点F分别为椭圆

+y2=1的中心和左焦点,P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析

依题意可得F(-1,0),设P(x,y),则|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=2x2+2x+1+2y2.因为

+y2=1,所以|OP|2+|PF|2=x2+2x+3=(x+1)2+2,故当x=-1时,|OP|2+|PF|2的最小值等于2.答案

B解析

设椭圆的右焦点为F2,如图所示.因为|PF|+|PF2|=2a=8,所以|PF|=8-|PF2|,所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8,当P点运动到P1的位置时,此时A,F2,P1三点共线,|PA|-|PF2|取得最大值为所以|PA|+|PF|=|PA|-|PF2|+8≤2+8=10.|PA|+|PF|的最大值为10.答案

104.椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,则这条弦所在的直线方程为

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解析

设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,