高中数学必修第1册第三章知识点总结

必修第一册第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）函数的定义域的求法：①自然型：解析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数；②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。③初中学过的几种基本函数的定义域与值域：函数定义域值域RRR{x|x≠0}{y|y≠0}（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数）；②不等式法（运用不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。（3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。3．常用的函数表示法（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。4．分段函数：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数；5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a<b,我们规定：（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];（2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示(a,b);（3）满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示[a,b)或(a,b];a,b都叫做区间的端点。（4）代数与几何表示对照表（数轴上用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点）（5）3.2函数的基本性质1．单调性：（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 区间D:①x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们成它是增函数。②x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数；特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们成它是减函数。（2）如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。（3）判断函数单调性的方法步骤：①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。2．最大（小）值：（1）最大值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于x∈I，都有f(x)≤M；②x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。（2）最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于x∈I，都有f(x)≥M；②x0∈I，使得f(x0)=M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。（3）求最值的方法：①利用函数单调性；②利用不等式或基本不等式；③函数图像等。3.奇偶性：（1）定义：①一般地，设函数f(x)定义域内为I，如果x∈I,都有-x∈I,且f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；②一般地，设函数f(x)定义域内为I，如果x∈I,都有-x∈I,且f(－x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；③如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系；③得出结论：（3）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；3.3幂函数1．幂函数：一般地，叫做幂函数，其中x是自变量，是常数。2．几个幂函数的性质：定义域RRR{x|x≠0}值域RR{y|y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增函数先减再增增函数增函数原点左右都为减公共点（1，1）图象都不过的第4象限3.图像：第三章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2024湖北高一期末]下列函数是幂函数的是()A.y=1x3 B.y=C.y=2x2 D.y=-x-12.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是()A.y=x B.y=|x|+1C.y=-x2+1 D.y=-13.[2024江苏南通高一期中]已知函数f(x)=x2+1,x<0,fA.1 B.2 C.4 D.54.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=f(2xA.[-92,-2)∪(-2,0] B.[-8,-2)∪(-C.(-∞,-2)∪(-2,3] D.[-92,-5.[2024甘肃临夏高一期末]函数f(x)=x2-4x+3在区间[a,+∞)上单调递增,则a的取值范围是()A.(2,+∞) B.[2,+∞) C.(-∞,2) D.(-∞,2]6.已知f(x)=ax3+bx+3,f(4)=5,则f(-4)=(A.3 B.1 C.-1 D.-57.[2024山东德州高一月考]若函数f(x)=(1-2m)x+1-m,x<0,-x2+(m-2)A.(12,2) B.(12C.(12,2] D.(18.定义在R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,则满足(x-1)f(x)>0的x的取值范围是()A.(-∞,-2)∪(1,+∞) B.(-2,-1)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(1,2) D.(-2,-1)∪(1,2)二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列各组函数中,两个函数是同一函数的有()A.f(x)=x与g(x)=3x3 B.f(x)=x+1与g(x)C.f(x)=|x|x与g(x)=1,x>0,-1,x<0 D.f(t)=|t-10.若函数y=x2-4x-4的定义域为[0,a),值域为[-8,-4],则正整数a的值可能是()A.2 B.3 C.4 D.511.已知函数f(x)=(m2-m-1)xm2+m-3是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)-f(x2)x1-x2>A.a+b>0,ab<0 B.a+b<0,ab>0C.a+b<0,ab<0 D.以上都有可能三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数f(x)=x2-mx+4是定义在区间[-2-n,2n]上的偶函数,则m+n=.

13.已知函数f(x)=kx2-2x+4k在区间[2,4]上单调递减,则实数k的取值范围是.14.若函数f(x)同时满足:对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(-x)=0;对于定义域上的任意x1,x2,当x1≠x2时,恒有f(x1)-f(x2)x给出下列四个函数:①f(x)=1x;②f(x)=x2;③f(x)=|x|;④f(x)=-x2,x≥0,x2四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数f(x)=-(1)求f(-32),f(12),f(f(1(2)若f(a)=6,求a的值.16.(15分)(1)已知f(x+2)=x+4x,求函数f(x)的解析式.(2)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+2)-f(x)=3x,求函数f(x)的解析式.17.(15分)已知函数f(x)=2|x-2|+|x+1|.(1)画出f(x)的图象;(2)求f(x)>4的解集.18.(17分)[2024河北石家庄]已知函数f(x)是定义在[-3,3]上的奇函数,当0<x≤3时,f(x)=12x2+x(1)求当-3≤x<0时,函数f(x)的解析式;(2)若f(a+1)+f(2a-1)>0,求实数a的取值范围.19.(17分)已知函数f(x)=x+mx,且f(2)=4(1)求实数m的值;(2)判断函数f(x)在区间[2,+∞)上的单调性,并证明你的结论;(3)求函数f(x)在区间[3,4]上的最值.答案：1.A由幂函数的定义,可知A正确;B,C,D均不符合.故选A.2.By=x是奇函数,故A不符合题意;y=|x|+1是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,故B正确;y=-x2+1是偶函数,在区间(0,+∞)上单调递减,C不符合题意;y=-1x是奇函数,D不符合题意.故选B3.B由题意得f(3)=f(3-2)=f(1)=f(1-2)=f(-1)=(-1)2+1=2.故选B.4.A因为函数y=f(x)的定义域为[-8,1],对于函数g(x)=f(则有-8≤2x+1≤1,x+2≠0,解得-92因此,函数g(x)的定义域为[-92,-2)∪(-2,0].故选A5.B函数f(x)=x2-4x+3图象的对称轴方程为x=--42要使函数在区间[a,+∞)上单调递增,则a≥2,解得a∈[2,+∞).故选B.6.B由f(4)=5,得43a+b4=2,f(-4)=-(43a+b4)+3=-2+3=1,故选7.D根据题意可知,函数f(x)在R上单调递减,所以需满足1解得12<m≤1即实数m的取值范围为(12,1].故选D8.C因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递减,且f(2)=0,所以当0≤x<2时,f(x)>0;当x>2时,f(x)<0.又因为f(x)为定义在R上的偶函数,所以f(x)在区间(-∞,0]上单调递增,且f(-2)=0,所以当-2<x≤0时,f(x)>0;当x<-2时,f(x)<0.综上,当-2<x<2时,f(x)>0;当x<-2或x>2时,f(x)<0.由(x-1)f(x)>0可得x由x-1>0,f(x由x-1<0,f(x所以满足(x-1)f(x)>0的x的取值范围是(-∞,-2)∪(1,2).故选C.9.ACD对于A,函数f(x)=x(x∈R),函数g(x)=3x3(x∈R),两函数的定义域与对应关系都一致,所以是同一函数,对于B,函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为{x|x≠1},它们的定义域不同,所以不是同一函数,故错误;对于C,函数f(x)=1,x>0,-1,x<0,与函数g(对于D,函数f(t)=|t-1|与g(x)=|x-1|的定义域相同,对应关系也相同,所以是同一函数,故正确.故选ACD.10.BC函数y=x2-4x-4的图象如图所示.因为函数在[0,a)上的值域为[-8,-4],结合图象可得2<a≤4,又a是正整数,所以BC正确.故选BC.11.BC由函数f(x)为幂函数可知m2-m-1=1,解得m=-1或m=2.当m=-1时,f(x)=1x当m=2时,f(x)=x3.由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,因此f(x)=x3符合条件,且满足f(-x)=-f(x).结合f(-x)=-f(x)以及f(a)+f(b)<0可知f(a)<-f(b)=f(-b),所以a<-b,即b<-a,所以a+b<0.当a=0时,b<0,ab=0;当a>0时,b<0,ab<0;当a<0,b<0时,ab>0;当a<0,0<b<-a时,ab<0,故B,C都有可能成立.故选BC.12.2因为函数f(x)=x2-mx+4是定义在区间[-2-n,2n]上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x)2-m(-x)+4=x2-mx+4,解得m=0,且定义域[-2-n,2n]关于原点对称,所以-2-n+2n=0,解得n=2,所以m+n=2.13.(-∞,14]当k=0时,f(x)=-2x在区间[2,4]上单调递减,符合题意当k>0时,函数图象的对称轴为直线x=1k因为f(x)在区间[2,4]上单调递减,所以1k≥4,得k≤14,所以0<k≤当k<0时,函数f(x)在区间[2,4]上单调递减,符合题意.综上,实数k的取值范围为(-∞,14]14.④由题知,“理想函数”应是奇函数,且在定义域上为减函数.对于①,函数f(x)=1x为奇函数,但不是定义域上的减函数,所以不正确对于②,函数f(x)=x2为偶函数,所以不正确;对于③,函数f(x)=|x|的定义域为R,在定义域内不单调,所以不正确;对于④,函数f(x)=-x2,x≥0,x2,x<0综上,能被称为“理想函数”的为④.15.解(1)f(-32)=-2×(-32)f(12)=2,f(f(12))=f(2)=2×2=(2)由对应关系可知a∉[-1,1],否则f(a)=2.若a∈(-∞,-1),令-2a=6,得a=-3,符合题意;若a∈(1,+∞),令2a=6,得a=3,符合题意.故a的值为-3或3.16.解(1)(方法1换元法)令t=x+2,则x=(t-2)2,t≥2,则有f(t)=(t-2)2+4(t-2)=t2-4,t≥2,所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-4(x≥2).(方法2配凑法)f(x+2)=x+4x=x+4x+4-4=(x+2)因为x+2≥2,所以函数的解析式为f(x)=x2-4(x≥2).(2)由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),因为f(0)=1,所以c=1,因为f(x+2)-f(x)=3x,所以a(x+2)2+b(x+2)+c-(ax2+bx+c)=3x,所以4ax+4a+2b=3x,所以4a=3,4a+2b=0,得a=34,b=-32,所以f(17.解(1)当x<-1时,f(x)=2(2-x)+(-x-1)=-3x+3;当-1≤x≤2时,f(x)=2(2-x)+x+1=-x+5;当x>2时,f(x)=2(x-2)+x+1=3x-3.故f(x)=-3x(2)由图象得,当x<-1时,-3x+3>