3.2.2 奇偶性的应用 第2课时

.2.2第2课时奇偶性的应用基础练 巩固新知夯实基础 1..已知奇函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x)<f(1)的x的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(0,1) D．[－1,1)2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的表达式是()A．y＝x(x－2)B．y＝x(|x|＋2)C．y＝|x|(x－2)D．y＝x(|x|－2)3.（多选）下列说法中,正确的是()A.若函数f(x)是定义域为R的偶函数,则f(-3)=f(3)B.若f(-3)=f(3),则函数f(x)是偶函数C.若f(-3)≠-f(3),则函数f(x)一定不是R上的奇函数D.若函数f(x)不是定义域为R的偶函数,则仍可能有f(-3)=f(3)4.奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值()A．10B．－10C．9 D．155.已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是()A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)6.函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.7.偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2020，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．8.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.

能力练综合应用核心素养9.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于()A．－3B．－1C．1 D．310.f(x)是定义在R上的奇函数且单调递减，若f(2－a)＋f(4－a)<0，则a的取值范围是()A.a<1B．a<3C．a>1 D．a>311.设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定12.已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝________.13.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________．14.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是________．15.设f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上递减，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．16.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.(1)求f(-2);(2)求出函数f(x)在R上的解析式;(3)在坐标系中画出函数f(x)的图象.

【参考答案】A解析由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且是奇函数，所以f(x)在R上单调递增，f(x)<f(1)等价于x<1.2.D解析由x≥0时，f(x)＝x2－2x，f(x)是定义在R上的奇函数得，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝x(－x－2)．∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx－2，x≥0，,x－x－2，x<0，))即f(x)＝x(|x|－2)．3.ACD4.C解析由于f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)的最大值为f(6)＝8，f(x)的最小值为f(3)＝－1，f(x)为奇函数，故f(－3)＝－f(3)＝1，∴f(6)＋f(－3)＝8＋1＝9.5.C解析∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.]6.eq\r(－x)＋1解析∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝eq\r(x)＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝eq\r(－x)＋1，即x＜0时，f(x)＝eq\r(－x)＋1.7.2020解析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等．又当x∈(0，＋∞)时，f(x)最小值＝2020，故当x∈(－∞，0)时，f(x)最小值＝2020.8.解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，∴由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得f(1－x)<－f(1－2x)，∴f(1－x)<f(2x－1)．又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<1－x<1，,－1<1－2x<1，,1－x>2x－1，))解得0<x<eq\f(2,3)，∴原不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3))).9.C解析∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.10.B解析∵f(x)在R上为奇函数，∴f(2－a)＋f(4－a)<0转化为f(2－a)<－f(4－a)＝f(a－4)．又f(x)在R上单调递减，∴2－a>a－4，得a<3.11.A解析∵x1<0，x1＋x2>0，∴x2>－x1>0，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(x2)<f(－x1)，∵f(x)是偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．12.3解析因为g(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因为f(x)是奇函数，所以f(－1)＝1，则g(－1)＝f(－1)＋2＝3.13.(－2,2)解析由题意知f(－2)＝f(2)＝0，当x∈(－2,0)时，f(x)<f(－2)＝0，由对称性知，x∈[0,2)时，f(x)为增函数，f(x)<f(2)＝0，故x∈(－2,2)时，f(x)<0.14.f(－2)<f(1)<f(0)解析当m＝1时，f(x)＝6x＋2不合题意；当m≠1时，由题意可知，其图象关于y轴对称，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2，∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．15.解：由题意知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，a2＋a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0，且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，解得a<eq\f(2,3).综上，实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3))).16.解：由于函数f(x)是定义在(-∞,+∞)内的奇函数,因此对于任意的x都有f(-x)=-f(x).(1)f(-2)=-f(2);又f(2)=22-2×2=0,故f(-2)=0.(2)①因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0;②当x<0时,-x>0,由f(x)是奇函数,知f(-x)=-f(x).则f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x.综上,f(x)=x(3)图象如下:A级必备知识基础练1.[探究点一·2024辽宁抚顺高一期中]下列函数是奇函数的是()A.y=-1x B.y=x+C.y=x D.y=2x22.[探究点一]下列函数图象,既是奇函数又是增函数的是()3.[探究点一]函数f(x)=2x2+2A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数也是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数4.[探究点三(角度1)]下列说法中,正确的是()A.偶函数的图象一定与y轴相交B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0C.既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈RD.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数5.[探究点三(角度1)]若偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则a=f(-2),b=f(π2),c=f(32)的大小关系是(A.b<a<c B.b<c<aC.a<c<b D.c<a<b6.[探究点三(角度1)](多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在区间[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是()A.这个函数有2个单调递增区间B.这个函数有3个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-77.[探究点二]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3-3x+1,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=.

8.[探究点三(角度2)·2024江苏连云港高一月考]已知f(x)=ax+bx-4,其中a,bf(-2)=2,则f(2)=.

9.[探究点三(角度1)]若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是增函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是.

10.[探究点三(角度1)]已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-x.(1)求f(x)的解析式;(2)画出f(x)的图象;(3)求该函数的值域.B级关键能力提升练11.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是()A.1 B.2 C.3 D.412.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数13.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是()A.f(-1)=0B.f(x)的最大值为1C.f(x)在(-1,0)上单调递增D.f(x)>0的解集为(-1,1)14.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2+1x+1+t,则t=f(-2)=.

15.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x.(1)求函数f(x)在R上的解析式;(2)若f(x)在区间[-2,b)上有最大值,求实数b的取值范围.C级学科素养创新练16.(多选题)给出定义:若m-12<x≤m+12(其中m为整数),则称m为离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m.则下列关于函数f(x)=x-{x}的四个说法中正确的有(A.函数y=f(x)的定义域是R,值域是-B.函数y=f(x)是偶函数C.函数y=f(x)是奇函数D.函数y=f(x)在(-1217.(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2),求证:f(x)为偶函数;(2)设函数f(x)定义在(-t,t)上,证明:f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数.答案：1.Ay=-1x的定义域为{x|x≠0},因为-1-x=-(-1x),所以y=-1x是奇函数y=x+1的定义域为R,因为-x+1≠-(x+1),所以y=x+1不是奇函数,故B错误;y=x的定义域为{x|x≥0},所以y=x既不是奇函数也不是偶函数,故C错误;y=2x2的定义域为R,因为2(-x)2=2x2,所以y=2x2是偶函数,故D错误.故选A.2.A3.D因为f(x)=2x所以x+1≠0,即x≠-1,故f(x)的定义域为{x|x≠-1},显然f(x)的定义域不关于原点对称,故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.故选D.4.By=1x2是偶函数,但函数与y轴没有交点,故A若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则由f(-x)=-f(x)得f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故B正确;若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x),则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误;函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.故选B.5.C由f(x)为偶函数,得a=f(-2)=f(2).又2<32<π2,且f(x)在∴f(2)<f(32)<f(π2),即6.BC根据偶函数的图象关于y轴对称,可得它在区间[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数在区间[-7,7]上有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.7.2x3-3x-18.-10设g(x)=f(x)+4=ax+bx,g(-x)=-ax-bx=-g(x),g(x)的定义域为x≠0,所以g(x)是奇函数,g(-2)=f(-2)+4=6,则g(2)=-g(-2)=-6,又g(2)=f(2)+4,所以f(2)=-10.9.(-∞,-2)∪(2,+∞)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,又因为f(2)=0,所以f(x)<0⇔f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2.10.解(1)当x<0时,-x>0,故f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(x)=x2+x(x<0).综上,f(x)=x(2)当x≥0时,f(x)=x2-x=(x故此时函数f(x)在区间(0,12)上单调递减,在区间(12,+∞)上单调递增,又因为f(x)为偶函数,故f(x)在区间(-∞,-12)上单调递减,在区间(-12且f(-12)=f(12)=-14,f(-1)=f(1)=f画出函数图象如下.(3)由图象可得出函数的值域为[-14,+∞)11.Bf(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12),由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2.12.C∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数,故A错误;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C.13.ABf(-1)=f(1)=0,A正确;当x≥0时,f(x)=x-x2=-(x-12)2+14,∴f(x)的最大值为14,B正确因为f(x)在(-12,0)上单调递减,C错误;f(x)>0的解集为(-1,0)14.-1143因为函数f(x)为R上的奇函数所以f(0)=0,即-02+10+1+t=0,解得t=-1所以f(x)=-x2+1x+1-所以f(2)=-22