3.2.1 单调性与最大（小）值 第2课时

.2.1第2课时函数的最大（小）值基础练 巩固新知夯实基础 1.若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2B．－2C.2或－2D．02.函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如右图所示，则函数的最大值、最小值分别为()A．f(2)，f(－2)B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(－1)C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(0)3.设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)()A．只有最大值 B．只有最小值C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值4.（多选）下列关于函数y=ax+1，x∈[0，2]的说法正确的是 ()A.当a<0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1B.当a<0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为1C.当a>0时，此函数的最大值为1，最小值为2a+1D.当a>0时，此函数的最大值为2a+1，最小值为15.函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋6，x∈[1，2]，,x＋7，x∈[－1，1]，))则f(x)的最大值与最小值分别为()A．10,6B．10,8C．8,6D．以上都不对6.函数y＝eq\f(1,x－2)，x∈[3,4]的最大值为________．7.已知函数f(x)＝eq\f(3,2x－1).(1)证明：函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是减函数；(2)求函数f(x)在[1,5]上的最大值和最小值．8.求函数f(x)＝x2－2ax＋2在[－1,1]上的最小值．

能力练综合应用核心素养9.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元B．60万元C．120万元 D．120.25万元10.当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]C．(－∞，0)D．(0，＋∞)11.函数y＝2x＋eq\r(1－2x)，则()A．有最大值eq\f(5,4)，无最小值B．有最小值eq\f(5,4)，无最大值C．有最小值eq\f(1,2)，最大值eq\f(5,4)D．既无最大值，也无最小值12.（多选）函数y=QUOTE(x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 ()A.最小值为QUOTE B.最大值为4C.无最大值 D.无最小值13.已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则a的取值范围是________．14.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为________．15.若二次函数满足f(x＋1)－f(x)＝2x且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．16.已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－eq\f(2,3).(1)求证：f(x)是R上的单调减函数．(2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．

【参考答案】1.C解析a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，∴a＝－2.综上，a＝±2.2.C解析根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－eq\f(3,2)时，有最小值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))；当x＝eq\f(1,2)时，有最大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).3.D解析f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2x≥0，,－x2x＜0，))画出图象可知，既无最大值又无最小值．4.AD解析当a<0时，函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递减，当x=0时，函数取得最大值为1；当x=2时，函数取得最小值为2a+1.当a>0时，函数y=ax+1在区间[0，2]上单调递增，当x=0时，函数取得最小值为1，当x=2时，函数取得最大值为2a+1.5.A解析∵x∈[1,2]时，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8.又x∈[－1,1]时，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.6.1解析函数y＝eq\f(1,x－2)在[3,4]上是单调减函数，故y的最大值为eq\f(1,3－2)＝1.7.解(1)证明：设x1、x2是区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上的任意两个实数，且x2>x1>eq\f(1,2)，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(3,2x1－1)－eq\f(3,2x2－1)＝eq\f(6x2－x1,2x1－12x2－1).由于x2>x1>eq\f(1,2)，所以x2－x1>0，且(2x1－1)·(2x2－1)>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝eq\f(3,2x－1)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上是减函数．(2)由(1)知，函数f(x)在[1,5]上是减函数，因此，函数f(x)＝eq\f(3,2x－1)在区间[1,5]的两个端点上分别取得最大值与最小值，即最大值为f(1)＝3，最小值为f(5)＝eq\f(1,3).8.解函数f(x)图象的对称轴为直线x＝a，且函数图象开口向上.①当a>1时，f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)min＝f(1)＝3－2a；②当－1≤a≤1时，f(x)在[－1,1]上先减后增，故f(x)min＝f(a)＝2－a2；③当a<－1时，f(x)在[－1,1]上单调递增，故f(x)min＝f(－1)＝3＋2a.综上可知f(x)的最小值为f(x)min＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2a，a>1，,2－a2，－1≤a≤1，,3＋2a，a<－1.))9.C解析设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(19,2)))2＋30＋eq\f(192,4)，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．10.C解析令f(x)＝－x2＋2x(0≤x≤2)＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1,∴f(x)最小值为f(0)＝f(2)＝0.而a<－x2＋2x恒成立，∴a<0.11.A解析设eq\r(1－2x)＝t(t≥0)，则x＝eq\f(1－t2,2)，所以y＝1－t2＋t＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)(t≥0)，对称轴t＝eq\f(1,2)∈[0，＋∞)，所以y在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上递增，在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上递减，所以y在t＝eq\f(1,2)处取得最大值eq\f(5,4)，无最小值．选A.12.BD解析函数y=QUOTE=1+QUOTE在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，由于x=5取不到，则最小值取不到.13.(1,3]解析由题意知f(x)在[1，a]上是单调递减的，又∵f(x)的单调减区间为(－∞，3]，∴1<a≤3.14.3解析化简函数为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋1，x≤－1，,3，－1<x≤2，,2x－1，x>2，))其图象如图所示，所以函数的最小值为3.15.解(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，∴c＝1，∴f(x)＝ax2＋bx＋1.∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2,a＋b＝0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1))，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)由题意：x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．令g(x)＝x2－3x＋1－m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2－eq\f(5,4)－m，其对称轴为x＝eq\f(3,2)，∴g(x)在区间[－1,1]上是减函数，∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.16.解(1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2，则x2－x1>0，因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0，又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)<f(x1)．所以f(x)是R上的单调减函数．(2)由(1)可知f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)．而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝－2.所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.A级必备知识基础练1.[探究点一]已知y=f(x)的图象如图所示,则该函数的单调递增区间为()A.[-1,3] B.[-1,2]和[4,5]C.[-1,2] D.[-3,-1]和[2,4]2.[探究点一·2024天津北辰高一期中]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的函数是()A.f(x)=-2x+3 B.f(x)=2x-1 C.f(x)=1x D.f(x)=-x3.[探究点一]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间是()A.(-∞,0] B.(-∞,0]∪[2,+∞)C.(-∞,0]和[2,+∞) D.[2,+∞)4.[探究点三(角度2)]若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-32,+∞) B.(-∞,-3C.(3,+∞) D.(-∞,-3]5.[探究点三(角度1)]定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有f(x2)-f(A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)C.f(2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(2)6.[探究点一]函数f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调递增区间为.

7.[探究点一]函数f(x)=|x-3|的单调递减区间是.

8.[探究点三(角度1)]定义在(-2,2)上的函数f(x)是增函数,且满足f(1-a)<f(a),则实数a的取值范围是.

9.[探究点一]已知函数f(x)的图象如图所示,根据图象有下列三个命题:①函数f(x)在定义域上是增函数;②函数f(x)在定义域上不是增函数,但有单调递增区间;③函数f(x)的单调递增区间是(a,b)∪(b,c).其中所有正确的命题的序号有.

10.[探究点三(角度2)]已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m=,f(1)=.

11.[探究点三(角度3)]若函数f(x)=|x-a|+1在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是.

12.[探究点二]证明函数f(x)=-x在定义域上为减函数.B级关键能力提升练13.定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,②对任意x1,x2∈(-∞,1],当x1≠x2时都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,A.f(32)>f(0)>f(3)B.f(3)>f(0)>f(32C.f(32)>f(3)>f(0)D.f(3)>f(32)>f14.已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是()A.y=-f(x)在R上是减函数B.y=1f(xC.y=[f(x)]2在R上是增函数D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数15.已知函数f(x)=x2+4x,x≥0,4x-x2,x<0A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)16.[2024福建三明高一期末]函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递减区间是.

17.已知函数f(x)=x2-2x-3(x>0),判断函数的单调性,并证明18.讨论函数f(x)=ax+1x+2a≠12在区间(C级学科素养创新练19.已知f(x)=(-a+4)x-3a,A.[-2,4) B.[2,4)C.[-3,4) D.[3,4)20.函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,若对于任意正实数x,y,恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(3)=1,则不等式f(x)+f(x-8)<2的解集是.

答案：1.B函数的图象在[-1,2]和[4,5]上呈上升趋势.故选B.2.BA选项,f(x)=-2x+3在R上单调递减,A错误;B选项,f(x)=2x-1在R上单调递增,满足要求,B正确;C选项,f(x)=1x在区间(0,+∞)上单调递减,C错误D选项,f(x)=-x2在区间(0,+∞)上单调递减,D错误.故选B.3.C由于f(x)=(x-4)·|x|=x作出函数f(x)的图象如图所示:结合图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0]和[2,+∞).故选C.4.B∵函数y=x2+(2a-1)x+1的图象开口向上,直线x=2a-又函数在区间(-∞,2]上是减函数,故2≤2a-1-2,解得5.A定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有f(x则函数f(x)在R上单调递减.∵1<2<3,∴f(3)<f(2)<f(1),故选A.6.[1,4]f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,图象开口向上,对称轴为直线x=1,故单调递增区间为[1,4].7.(-∞,3]由f(x)=|x-3|=x作出f(x)的图象如图所示.由图可知函数f(x)=|x-3|的单调递减区间是(-∞,3].8.(12,2)由题设知实数a应满足-2<1-a<29.②由题意以及函数的图象可知,函数f(x)在定义域上不是增函数,所以①不正确;函数f(x)在定义域上不是增函数,但有单调递增区间,所以②正确;函数f(x)的单调递增区间是(a,b),(b,c),不能写成(a,b)∪(b,c),所以③不正确.10.-813∵函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴f(x)图象的对称轴方程为x=m4=-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=1311.(-∞,2]由函数f(x)=|x-a|+1,可得函数f(x)的单调递增区间为[a,+∞).因为f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,可得[2,+∞)⊆[a,+∞),解得a≤2,所以实数a的取值范围为(-∞,2].12.证明函数f(x)=-x的定义域为[0,+∞).∀x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,f(x2)-f(x1)=(-x2)-(-x1)=∵x1-x2<0,x1+∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴函数f(x)=-x在定义域[0,+∞)上为减函数.13.B∵函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且对任意x1,x2∈(-∞,1],当x1≠x2时都有f(x∴y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,f(0)=f(2),∴f(3)>f(0)>f(32).故选B14.A∵函数f(x)在R上是增函数,∴y=-f(x)在R上是减函数,故选项A正确;函数f(x)在R上是增函数,但y=1f(x)如f(x)=x在R上是增函数,但y=1f(x)=1函数f(x)在R上是增函数,但y=[f(x)]2在R上不一定是减函数,如f(x)=x在R上是增函数,但y=[f(x)]2=x2在R上不是减函数,故排除选项C;函数f(x)在R上是增函数,但y=af(x)(a为实数)在R上不一定是增函数,如f(x)=x在R上是增函数,但y=-2f(x)=-2x在R上不是增函数,故排除选项D.故选A.15.A画出