3.2.1 单调性与最大（小）值 第1课时

.2.1第1课时函数的单调性基础练 巩固新知夯实基础 1.下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是()A．y＝x2－2B．y＝eq\f(3,x)C．y＝1＋2xD．y＝－(x＋2)22.对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1<x2，使f(x1)<f(x2)成立，则y＝f(x)()A．一定是增函数 B．一定是减函数C．可能是常数函数 D．单调性不能确定3.若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上()A．必是增函数 B．必是减函数C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性4.(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是()A.eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0C．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)D.eq\f(x2－x1,fx2－fx1)>05.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝1，则()A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1)C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(1)<f(－1)<f(2)6.若函数f(x)＝2x2－mx＋3，当x∈[－2，＋∞)时是增函数，当x∈(－∞，－2)时是减函数，则f(1)＝________.7.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x>1))是R上的减函数，则实数a的取值范围是。8.证明函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞)上是增函数．

能力练综合应用核心素养9.若定义在R上的二次函数f(x)＝ax2－4ax＋b在区间[0,2]上是增函数，且f(m)≥f(0)，则实数m的取值范围是()A．0≤m≤4 B．0≤m≤2C．m≤0 D．m≤0或m≥410.若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则下列说法中正确的是()A．f(x)>f(0) B．f(x2)>f(0)C．f(3a＋1)<f(3a) D．f(a2＋1)≥f(2a)11.如果f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(3＋t)＝f(3－t)，那么()A．f(3)<f(1)<f(6)B．f(1)<f(3)<f(6)C．f(3)<f(6)<f(1)D．f(6)<f(3)<f(1)12.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3a，x≥0，,x2－ax＋1，x<0))是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是()A．[0，eq\f(1,3)]B．(0，eq\f(1,3))C．(0，eq\f(1,3)]D．[0，eq\f(1,3))13.(多选)下列函数中满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0”的是()A．f(x)＝－eq\f(2,x) B．f(x)＝－3x＋1C．f(x)＝x2＋4x＋3 D．f(x)＝x－eq\f(1,x)14.函数f(x)＝x2－2mx－3在区间[1,2]上单调，则m的取值范围是________．15.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是________．16.讨论函数f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a≠\f(1,2)))在(－2，＋∞)上的单调性．

【参考答案】1.C解析函数y＝x2－2在(－∞，0]内是减函数；函数y＝eq\f(3,x)在(－∞，0)内图象是下降的，也不是增函数；y＝1＋2x在R上都是增函数，所以在(－∞，0]上是增函数；y＝－(x＋2)2在(－∞，－2]上是增函数，在(－2，＋∞)上是减函数．2.D解析由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值．3.D解析函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性．如y＝－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性．4.ABD解析因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1<x2，则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)．5.B解析因为二次函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝1，所以f(－1)＝f(3)．又函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，则f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，故f(1)<f(2)<f(3)，即f(1)<f(2)<f(－1)．故选B.6.13解析由条件知x＝－2是函数f(x)图象的对称轴，所以eq\f(m,4)＝－2，m＝－8，则f(1)＝13.7.0<a≤2解析依题意得实数a满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3<0，,2a>0，,a－3＋5≥2a，))解得0<a≤2.8.证明任取x1，x2∈(2，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(4,x1)－x2－eq\f(4,x2)＝(x1－x2)＋eq\f(4x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\f(x1x2－4,x1x2).∵2<x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)＝x＋eq\f(4,x)在(2，＋∞)上是增函数．9.A解析由于f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(2)＞f(0)，解得a＜0.又因f(x)图象的对称轴为x＝－eq\f(－4a,2a)＝2.所以x在[0,2]上的值域与[2,4]上的值域相同，所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.10.D解析∵a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a2＋1≥2a.当a＝1时，f(a2＋1)＝f(2a)；当a≠1时，f(a2＋1)>f(2a)．故选D.11.A解析由于f(x)是二次函数，其函数图象为开口向上的抛物线，f(3＋t)＝f(3－t)，∴抛物线的对称轴为x＝3，且[3，＋∞)为函数的增区间，由f(1)＝f(3－2)＝f(3＋2)＝f(5)，又∵3<5<6，∴f(3)<f(5)<f(6)，故选A.12.A解析当x<0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤eq\f(1,3)，∴0≤a≤eq\f(1,3).13.ACD解析由题意知，f(x)为(0，＋∞)上的增函数．14.(－∞，1]∪[2，＋∞)解析二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置，函数f(x)＝x2－2mx－3的对称轴为x＝m，函数在区间[1,2]上单调，则m≤1或m≥2.15.[1，eq\f(3,2))解析由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x－2≤1，,－1≤1－x≤1，,x－2<1－x，))解得1≤x<eq\f(3,2)，故满足条件的x的取值范围是1≤x<eq\f(3,2).16.解f(x)＝eq\f(ax＋1,x＋2)＝a＋eq\f(1－2a,x＋2)，设任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(1－2a,x1＋2)－eq\f(1－2a,x2＋2)＝(1－2a)eq\f(x2－x1,x2＋2x1＋2)，∵－2<x1<x2，∴x2－x1>0，又(x2＋2)(x1＋2)>0.(1)若a<eq\f(1,2)，则1－2a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，则f(x)在(－2，＋∞)上为减函数．(2)若a>eq\f(1,2)，则1－2a<0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．综上，当a<eq\f(1,2)时，f(x)在(－2，＋∞)上为减函数；当a>eq\f(1,2)时，f(x)在(－2，＋∞)上为增函数．A级必备知识基础练1.[探究点一]已知y=f(x)的图象如图所示,则该函数的单调递增区间为()A.[-1,3] B.[-1,2]和[4,5]C.[-1,2] D.[-3,-1]和[2,4]2.[探究点一·2024天津北辰高一期中]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的函数是()A.f(x)=-2x+3 B.f(x)=2x-1 C.f(x)=1x D.f(x)=-x3.[探究点一]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间是()A.(-∞,0] B.(-∞,0]∪[2,+∞)C.(-∞,0]和[2,+∞) D.[2,+∞)4.[探究点三(角度2)]若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是()A.(-32,+∞) B.(-∞,-3C.(3,+∞) D.(-∞,-3]5.[探究点三(角度1)]定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有f(x2)-f(A.f(3)<f(2)<f(1) B.f(1)<f(2)<f(3)C.f(2)<f(1)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(2)6.[探究点一]函数f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调递增区间为.

7.[探究点一]函数f(x)=|x-3|的单调递减区间是.

8.[探究点三(角度1)]定义在(-2,2)上的函数f(x)是增函数,且满足f(1-a)<f(a),则实数a的取值范围是.

9.[探究点一]已知函数f(x)的图象如图所示,根据图象有下列三个命题:①函数f(x)在定义域上是增函数;②函数f(x)在定义域上不是增函数,但有单调递增区间;③函数f(x)的单调递增区间是(a,b)∪(b,c).其中所有正确的命题的序号有.

10.[探究点三(角度2)]已知函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时,f(x)单调递增,当x∈(-∞,-2]时,f(x)单调递减,则m=,f(1)=.

11.[探究点三(角度3)]若函数f(x)=|x-a|+1在区间[2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是.

12.[探究点二]证明函数f(x)=-x在定义域上为减函数.B级关键能力提升练13.定义在R上的函数y=f(x)满足以下条件:①函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,②对任意x1,x2∈(-∞,1],当x1≠x2时都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0,A.f(32)>f(0)>f(3)B.f(3)>f(0)>f(32C.f(32)>f(3)>f(0)D.f(3)>f(32)>f14.已知函数f(x)在R上是增函数,则下列说法正确的是()A.y=-f(x)在R上是减函数B.y=1f(xC.y=[f(x)]2在R上是增函数D.y=af(x)(a为实数)在R上是增函数15.已知函数f(x)=x2+4x,x≥0,4x-x2,x<0A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2) D.(-2,+∞)16.[2024福建三明高一期末]函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递减区间是.

17.已知函数f(x)=x2-2x-3(x>0),判断函数的单调性,并证明18.讨论函数f(x)=ax+1x+2a≠12在区间(C级学科素养创新练19.已知f(x)=(-a+4)x-3a,A.[-2,4) B.[2,4)C.[-3,4) D.[3,4)20.函数f(x)是定义在区间(0,+∞)上的增函数,若对于任意正实数x,y,恒有f(xy)=f(x)+f(y),且f(3)=1,则不等式f(x)+f(x-8)<2的解集是.

答案：1.B函数的图象在[-1,2]和[4,5]上呈上升趋势.故选B.2.BA选项,f(x)=-2x+3在R上单调递减,A错误;B选项,f(x)=2x-1在R上单调递增,满足要求,B正确;C选项,f(x)=1x在区间(0,+∞)上单调递减,C错误D选项,f(x)=-x2在区间(0,+∞)上单调递减,D错误.故选B.3.C由于f(x)=(x-4)·|x|=x作出函数f(x)的图象如图所示:结合图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0]和[2,+∞).故选C.4.B∵函数y=x2+(2a-1)x+1的图象开口向上,直线x=2a-又函数在区间(-∞,2]上是减函数,故2≤2a-1-2,解得5.A定义在R上的函数f(x),对任意x1,x2∈R(x1≠x2),有f(x则函数f(x)在R上单调递减.∵1<2<3,∴f(3)<f(2)<f(1),故选A.6.[1,4]f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,图象开口向上,对称轴为直线x=1,故单调递增区间为[1,4].7.(-∞,3]由f(x)=|x-3|=x作出f(x)的图象如图所示.由图可知函数f(x)=|x-3|的单调递减区间是(-∞,3].8.(12,2)由题设知实数a应满足-2<1-a<29.②由题意以及函数的图象可知,函数f(x)在定义域上不是增函数,所以①不正确;函数f(x)在定义域上不是增函数,但有单调递增区间,所以②正确;函数f(x)的单调递增区间是(a,b),(b,c),不能写成(a,b)∪(b,c),所以③不正确.10.-813∵函数f(x)在区间(-∞,-2]上单调递减,在区间[-2,+∞)上单调递增,∴f(x)图象的对称轴方程为x=m4=-2,∴m=-8,即f(x)=2x2+8x+3.∴f(1)=1311.(-∞,2]由函数f(x)=|x-a|+1,可得函数f(x)的单调递增区间为[a,+∞).因为f(x)在区间[2,+∞)上单调递增,可得[2,+∞)⊆[a,+∞),解得a≤2,所以实数a的取值范围为(-∞,2].12.证明函数f(x)=-x的定义域为[0,+∞).∀x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,f(x2)-f(x1)=(-x2)-(-x1)=∵x1-x2<0,x1+∴f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)<f(x1).∴函数f(x)=-x在定义域[0,+∞)上为减函数.13.B∵函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,且对任意x1,x2∈(-∞,1],当x1≠x2时都有f(x∴y=f(x)在区间(-∞,1]上单调递减,在区间[1,+∞)上单调递增,f(0)=f(2),∴f(3)>f(0)>f(32).故选B14.A∵函数f(x)在R上是增函数,∴y=-f(x)在R上是减函数,故选项A正确;函数f(x)在R上是增函数,但y=1f(x)如f(x)=x在R上是增函数,但y=1f(x)=1函数f(x)在R上是增函数,但y=[f(x)]2在R上不一定是减函数,如f(x)=x在R上是增函数,但y=[f(x)]2=x2在R上不是减函数,故排除选项C;函数f(x)在R上是增函数,但y=af(x)(a为实数)在R上不一定是增函数,如f(x)=x在R上是增函数,但y=-2f(x)=-2x在R上不是增函数,故排除选项D.故选A.15.A画出f(x)的图象(图略),可判断f(x)在R上单调递增,故f(4-a)>f(a)⇔4-a>a,解得a<2.16.(-∞,1),(32,2)当x≥2或x≤1时,f(x