高中数学必修第1册第四章知识点总结

必修第一册第四章指数函数与对数函数4.1指数1．（1）实数指数幂：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n∈N。当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。记作当n为偶数时，正数的n次方根有两个且为互为相反数，负数没有偶次方根。记作±0的任何次方根都是0。（2）当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=；（3）①；②（4）实数指数幂的运算性质为：①；②；③4.2指数函数1．指数函数概念：一般地，函数叫做指数函数。2．指数函数的性质：0<a<1a>1图象定义域R值域性质①过定点（0，1）②单调性减函数增函数③x>0,ax的范围：（0，1）（1，+∞）④x<0,ax的范围：（1，+∞）（0，1）4.3对数1．对数概念：（1）对数的概念：一般地，如果，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数。2.对数与指数间的关系：当时，3.有关对数的几个结论：①负数和零无对数；②；③；④4..对数运算性质：如果则①；②；③R）。④换底公式：⑤4.4对数函数1.对数函数函数：一般地，函数叫做对数函数2．对数函数的性质：0<a<1a>1图象定义域(0,+∞)值域R性质①过定点(1,0)②单调性减函数增函数③0<x<1,的范围：（0，+∞）（-∞，0）④x>1,的范围：（-∞，0）（0，+∞）3．叫做互为反函数。4.5函数的零点与方程的解1.函数零点：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。2.函数零点的等价含义：函数的零点方程实数根函数的图象与轴交点的横坐标。3.函数零点的存在性判断：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。4.零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。5.二分法：对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．6.二分法求零点的步骤：给定精确度，（1）确定零点x0的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0.（2）求区间(a,b)的中点c。（3）计算f(c),并进一步确定零点所在区间：

①若f(c)=0，（此时x0=c），则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)<0,（此时x0∈(a,c)）,则令b=c;③若f(b)f(c)<0,（此时x0∈(c,b)）,则令a=c;（4）判断是否达到精确度：若|a-b|<,则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤（2）～（4）.第四章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知关于x的不等式13x-4>3-2A.[4,+∞) B.(-4,+∞)C.(-∞,-4) D.(-4,1]2.函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(0,1) B.[0,1]C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0]∪[1,+∞)3.设f(x)=3x-x2,则在下列区间上,使函数f(x)有零点的区间是()A.[0,1] B.[1,2]C.[-2,-1] D.[-1,0]4.下列函数中,是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增的为()A.y=x-2 B.y=|x| C.y=2|x| D.y=x35.已知a=313,b=log213,c=logA.a>c>b B.c>a>bC.a>b>c D.c>b>a6.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则7年后它们的数量为()A.300只 B.400只 C.600只 D.700只7.在直角坐标系中,函数y=x3ex8.已知函数f(x)=|lnx|,0<x≤e,2-lnx,x>e,若正实数a,b,c互不相等,且fA.(e,e2) B.(1,e2) C.(1e,e) D.(1e,e二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.[2024江苏高一阶段练习]下列等式不成立的是()A.log2(8-4)=log28-log24B.log28loC.log38=3log32D.log2(8+4)=log28+log2410.已知函数f(x)=2a-xA.a=1B.a=-1C.函数y=f(x+1)是偶函数D.关于x的不等式f(x)>1211.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有()A.f(x)在区间(1,2)上单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x1≠x2,f(x1)=f(x2),则x1+x2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.[2024广东云浮高一期末]若3a=6,b=log26,则1a+1b13.写出一个同时具有下列三个性质的函数:f(x)=.

①函数g(x)=f(x)-1为指数函数;②f(x)在R上单调递增;③f(1)>3.14.已知函数f(x)=x,x≤0,|2x-3|,x>0,g(x)=f(x)四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)(1)求值:6423+9(2)若xlog32=1,求2x+2-x的值;(3)已知a=lg2,b=lg3,用a,b表示log518.16.(15分)设函数f(x)=2x-2,x∈[1,+∞),x17.(15分)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的图象过点(9,2).(1)求实数a的值;(2)若g(x)=f(2-x)+f(2+x),求g(x)的定义域并判断其奇偶性和单调递增区间.18.(17分)[2024广东惠州高一期末]随着经济的发展,越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系,一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台,从建立起,得到了很多人的关注,也有越来越多的人成为平台的会员,主动在平台上进行学习,已知前3年平台会员的个数如下表所示(其中第4年为预估人数,仅供参考):建立平台第x年1234会员个数y/千人14202943(1)依据表中数据,从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台第x(x∈N*)年后平台会员人数y(单位:千人),并求出你选择模型的解析式:①y=tx+b(t>0);②y=d·logrx+s(d≠0,r>0且r≠1);③y=m·ax+n(m≠0,a>0且a≠1)(2)为控制平台会员人数盲目扩大,平台规定会员人数不得超过k·94x(k>0)千人,依据(1)中你选择的函数模型求k19.(17分)已知函数f(x)=logax+1x-1(a>0且(1)求函数f(x)的定义域.(2)若a=2,求函数y=f(2x)的值域.(3)是否存在实数a,b,使得函数f(x)在区间(b,32a)内的值域为(1,2)?若存在,求实数a,b的值;若不存在,请说明理由答案：1.B依题意可知,原不等式可转化为3-由于指数函数y=3x为增函数,所以-x+4>-2x,解得x>-4.故选B.2.C由x2-x>0,得x>1或x<0,故选C.3.D显然,函数f(x)的图象是连续的.∵f(-2)=3-2-(-2)2=-359<0,f(-1)=3-1-(-1)2=-23<0,f(0)=30-02=1>0,f(1)=3-1=2>0,f(2)=32-22=5>0,∴f(-1)·f(0)∴使函数f(x)有零点的区间是[-1,0].4.Ay=x3为奇函数,y=|x|,y=2|x|为偶函数,但在(0,+∞)单调递增,所以在(-∞,0)单调递减,而y=x-2为偶函数且在(-∞,0)单调递增.故选A.5.A因为函数y=3x为单调递增函数,所以a=313>30=1,即a>因为y=log2x为单调递增函数,所以b=log213<log21=0,即b<0因为y=log13x单调递减,所以log131<log131e<log1316.A将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)中,得100=alog2(1+1),解得a=100.所以当x=7时,y=100log2(7+1)=300.7.A令f(x)=x3ex+e-x,∵f∴f(x)为奇函数.当x>0时,f(x)>0,故选A.8.A由题意,函数f(x)=|画出函数的图象,如图所示.设a<b<c,则|lna|=|lnb|,即lna+lnb=0,可得ab=1,当x>e时,y=2-lnx单调递减,且其图象与x轴交于点(e2,0),所以abc=c,且e<c<e2,所以abc的取值范围为(e,e2).故选A.9.ABD解析对于A,因为log2(8-4)=log24=log222=2,log28-log24=log223-log222=3-2=1,所以log2(8-4)≠log28-log24,所以A错误;对于B,因为log28log24=log223log222=3对于C,因为log38=log323=3log32,所以C正确;对于D,因为log2(8+4)=log212=log23+log24=log23+2,log28+log24=log223+log222=3+2=5,所以log2(8+4)≠log28+log24,所以D错误.故选ABD.10.ACD由函数图象可知直线x=1为函数f(x)的图象的对称轴,即函数满足f(2-x)=f(x),则当x>1时,2-x<1,故22-x-a=2a-x,∴2-x-a=a-x,则a=1.同理当x<1时,2-x>1,故2a-2+x=2x-a,∴a-2+x=x-a,则a=1.综上,a=1,故A正确,B错误;将f(x)=2a-x,x≥1,2x-a,x<1的图象向左平移1个单位长度,即得函数y=f(x+1),x∈R的图象,易知y=f(x+1)的图象关于当x≥1时,f(x)=21-x,令21-x>12,解得x<2,故1≤x<当x<1时,f(x)=2x-1,令2x-1>12,解得x>0,故0<x<1,综上,0<x<2,即不等式f(x)>12的解集为(0,2),故D正确.故选11.ABD根据图象变换画出函数f(x)的图象如图,由图象知f(x)在(1,2)上单调递增,故A正确;函数图象关于直线x=2对称,故B正确;f(x1)=f(x2)=k,直线y=k与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如果最左边两个交点横坐标分别是x1,x2,则x1+x2=4不成立,故C错误;f(x)的图象与x轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D正确.故选ABD.12.1因为3a=6,所以a=log36,所以1a+1b=1log36+1log213.3x+1(答案不唯一)14.[0,34)函数g(x)=f(x)-12x+a存在3个零点,等价于函数f(x)的图象与直线y=12x-a有画出函数f(x)和y=12x-a的图象,如下图由图知,要使函数f(x)的图象和直线y=12x-a有3个交点,则-34<-a≤0,即0≤a<15.解(1)6423+9-12+(27125)

-13=(43)23+(32(2)∵xlog32=1,∴x=log23,∴2x+2-x=2log23+(3)∵a=lg2,b=lg3,∴log518=lg18lg516.解求函数g(x)=f(x)-14的零点,即求方程f(x)-14=0当x≥1时,由2x-2-14=0得x=9当x<1时,由x2-2x-14=0得x=2+52(舍去)或x=2-52.所以函数g(x)=f(x17.解(1)由条件知f(9)=loga9=2,即a2=9,又a>0且a≠1,∴a=3.(2)g(x)=f(2-x)+f(2+x)=log3(2-x)+log3(2+x).由2-x>0,2+∴g(x)的定义域为(-2,2).∵g(-x)=log3(2+x)+log3(2-x)=g(x),∴g(x)是偶函数.g(x)=log3(2-x)+log3(2+x)=log3(4-x2),∵函数y=log3u单调递增,函数u=4-x2在区间(-2,0)内单调递增,故g(x)的单调递增区间为(-2,0).18.解(1)从表格数据可以得知,函数是一个增函数,故不可能是①.∵函数增长的速度越来越快,∴选择③y=m·ax+n(a>0且a≠1).代入表格中的三个点可得14=ma+∴y=8·32x+2,x∈N(2)由(1)可知y=8·32x+2,x∈N故不等式8·32x+2≤k·94x对x∈[1,+∴k≥832x+2322x=2·232x+8·23x对x∈[1,+∞∴g(t)=2t2+8t,t∈(0,23∵g(t)在(0,23]单调递增,∴g(t)≤g(23)=∴k≥569,∴kmin=5619.解(1)由x+1x-1>0,解得f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,(2)当a=2时,f(x)=log2x+1x-1,y=f(2x)=log22x+12x-因为f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞),所以2x>1,所以22x-1∈(0,+∞),1+22所以log