2026年辽宁省鞍山市高考数学质量检测试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年辽宁省鞍山市高考数学质量检测试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x<3,x∈N}，B={−1,0,1,2,3,4}，则A∩B=(

)A.{0,1,2,3} B.{−1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x|0≤x<3}2.若复数z满足(2+i)z=4−3i，则复数z虚部为(

)A.1 B.i C.−2 D.−2i3.为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积x(单位：dm2)与水生植物的株数y(单位：株)之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到y与x的线性回归方程yx3467y22.54.5mA.5 B.6 C.7 D.84.已知F是抛物线C：x=2y2的焦点，点M(2,m)在抛物线C上，则|MF|=(

)A.32 B.52 C.985.已知a，b是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，则“a与b为异面直线”是“α//β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.在△ABC中，点D为边BC的中点，过点D的直线与AB，AC两边(或其延长线)分别交于点E，F，设AB=xAE，AC=yAF(x>0,y>0)，则A.12+2 B.1+27.将正整数N分解为两个正整数k1，k2的积，即N=k1⋅k2，当k1，k2两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如6=1×6=2×3，2×3即为6的最优分解，当k1，k2是A.549−1 B.550−1 C.8.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2−x)=f(2+x)，且当x∈[0,2]时，f(x)=2x−1,0≤x≤13sinπ2x−2,1<x≤2，若关于x的方程λln|x|=f(x)至少有A.(−∞,−2ln6]∪[1ln5,+∞) B.(−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)A.函数f(x)的最小正周期T=π

B.(−5π12,0)是函数f(x)的一个对称中心

C.函数f(x)在区间(−π2,−π12)上的值域为(−32,12)

D.将函数f(x)的图象向左平移π12后得到g(x)的图象，则g(x)=cos2x

10A.a3=6

B.{bn+2}是等比数列

11.函数f(x)=2x2+1x的图象(如图)称为牛顿三叉戟曲线，则A.f(x)的极小值点为12

B.当x>0时，|f(−x)|<f(x)

C.过原点且与曲线y=f(x)相切的直线仅有2条

D.若f(x1)=f(x2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在二项式(1−3x)n的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，x2项的系数是

.(13.已知幂函数f(x)=xm2−2m(m∈Z)，在区间(0,+∞)上是单调减函数.若f(sinα+cosα)=5，α∈(0,π)，则f(sinα−cosα)=14.已知双曲线x2−y28=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l与该双曲线的左、右支分别交于A，B两点，记△AF1F2与△ABF四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，实地测量中，在岸边选了3个位置A，B，C，D在对岸处，下面得到了一些参数.已知：AB=2，BC=3，∠ABC=∠BAD=120°，cosC=17．

(1)求AC的长度；

(2)求tan16.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面三角形ABC是边长为2的等边三角形，AA1=4,AM=3MA1.P是棱BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到达M点的最短路线长为32，设这条最短路线与CC1的交点为N17.(本小题15分)

2025年，我国某航天公司研发的“低轨卫星通信终端(星链终端)”核心信号处理系统G内置n(n∈N∗,n≥4)个量子芯片元件，每个元件在太空环境下正常工作的概率为23，各元件工作状态相互独立．

(1)当n=4时记系统G中正常工作的元件个数为随机变量X，回答以下问题：

①求X的分布列及数学期望E(X)；

②若有超过一半的元件正常工作，则系统正常工作，系统正常工作的概率称为系统的可靠性.为改善n=4时系统G的可靠性，能否通过增加一个量子芯片元件即n=5提高系统G的可靠性？请给出你的结论并证明．

(2)该公司从某批次量子芯片中随机抽取了100正常工作故障合计模拟太空451055地面实验室301545合计7525100请根据小概率值α=0.01独立性检验，能否认为元件工作状态与测试环境有关联？

附：χ2=n(ad−bcP(0.050.010.001k3.8416.63510.82818.(本小题17分)

在平面直角坐标系中，定义A(x1,y1)，B(x2,y2)两点之间的“曼哈顿距离”为d=|x1−x2|+|y1−y2|，我们把到两个定点F1(−c,0)，F2(c,0)(c>0)的“曼哈顿距离”之和为常数2a(a>c)的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”．

(1)请分析“曼哈顿椭圆”的对称性，并求出它的面积(用a，c表示)；

(2)当a=419.(本小题17分)

已知函数f(x)=xex+asinx．

(1)当a=0时，求证：f(x)x>x+1；

(2)若f(x)>0对x∈(0,π)恒成立，求a的取值范围；

(3)若存在x1，x2∈(0,π)答案1.C

2.C

3.C

4.D

5.A

6.C

7.B

8.D

9.AD

10.BC

11.BD

12.135

13.5714.1315.解：(1)在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=120°，

根据余弦定理可得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos120°=4+9−2×2×3×(−12)=19，

解得AC=19；

(2)延长DA，CB交于点E，则∠EAB=∠EBA=60°，

所以△ABE为等边三角形，BE=2，EC=5，

由cosC=17，得sinC=437，

在△EDC中，根据两角和的正弦公式可得：

sin∠EDC=sin(60°+C)=32⋅17+12⋅437=5314，

在△CDE中，由正弦定理可得，CDsin60∘=ECsin∠EDC，则CD=7，

在△BDC中，设∠DBC=θ，由BCsin(θ+C)=CDsinθ，

可得3sinθ=7sin(θ+C)=7(17sinθ+437cosθ)，

即2sinθ=43cosθ，则tanθ=23，

故tan∠DBC的值为23．

16.(1)证明：由题意可知，AM=3，A1M=1，

点P的路径所在平面的展开图如图，

其中最短路径为PM=AM2+(AC+CP)2=9+(2+CP)2=32，

得CP=1，则点P为BC的中点，

因为CN//AM，所以CNAM=CPPA，得CN=1，

则点N为CC1上靠近点C的四等分点，

分别取线段AC，A1C1的中点O，D，连接OB，OD，

易知OD⊥平面ABC，OB⊥AC，

故以点O为原点，OB，OC，OD所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

因为等边△ABC的边长为17.解：(1)①由题意可知X∼B(4,23)，P(X=i)=C4i(23)i(13)4−i(0≤i≤4,i∈N)，X01234P1883216故E(X)=0×181+1×881+2×827+3×3281+4×1681=83；

②当n=5时记系统G中正常工作的元件数为随机变量Y，则Y∼B(5,23)，

记n=4时系统G的可靠性为P1，记n=5时系统G的可靠性为P2，

故P1=P(X=3)+P(X=4)=4881=1627，18.解：(1)设“曼哈顿椭圆”上任意一点为P(x,y)，则|PF1|+|PF2|=2a，

即|x+c|+|y|+|x−c|+|y|=2a，

即|x+c|+|x−c|+2|y|=2a(a>c>0)，

所以“曼哈顿椭圆”的方程为|x+c|+|x−c|+2|y|=2a(a>c>0)．

将方程中y替换为−y，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于x轴对称；

将方程中x替换为−x，方程不变，所以“曼哈顿椭圆”关于y轴对称；

同时将方程中x替换为−x，y替换为−y，方程仍不变，

所以“曼哈顿椭圆”也关于原点对称．

只需分析出第一象限的图象即可，当y≥0，0≤x<c时，方程为y=a−c；

当y≥0，x≥c时，方程为x+y=a，“曼哈顿椭圆”图形如图所示，

其面积为(c+a)(a−c)2×4=2(a2−c2)．

(2)(ⅰ)因为a=4，c=6017，

所以椭圆C的左右顶点分别为(−4,0)，(4,0)．

设椭圆C的方程为x216+y2b2=1，过点(6017,817)，

则60216×172+64172b2=1，

解得b2=1，

所以椭圆C的方程为x216+y2=1．

(ⅱ)直线EF与圆M相切，理由如下：

设过点D(0,1)与圆M：(x−2)2+y2=49相切的直线方程为y=kx+1．

则23=|2k+1|19.(1)证明：由a=0，得f(x)=xex，

要证f(x)x>x+1，只需证ex−x−1>0．

令g(x)=ex−x−1，则g′(x)=ex−1．

当x∈(−∞,0)时，g′(x)<0，则g(x)单调递减，

当x∈(0,+∞)时，g′(x)>0，则g(x)单调递增，

所以g(x)>g(0)=0，故ex>x+1，因此f(x)x>x+1．

(2)解：f′(x)=(x+1)ex+acosx，

令m(x)=f′(x)，则m′(x)=(x+2)ex−asinx，

①当a≥0时，由x∈(0,π)，得xex>0，asinx≥0，因此f(x)>0，满足题意．

②当a<0时，由x∈(0,π)，得(x+2)ex>0，−asinx>0，

因此m′(x)>0，则f′(x)在(0,π)上单调递增．

若−1≤a<0，则f′(x)>f′(0)=1+a≥0，

则f(x)在(0,π)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0，满足题意；

若a<−1，则f′(0)<0,f(π2)>0，

因此f′(x)在(0,π)存在唯一的零点x0，且x0∈(0,π2)，

当0<x<x0时，f′(x)