小学数学五年级下册《分数除法（二）》深度教案

小学数学五年级下册《分数除法（二）》深度教案

一、课程背景与理念

本设计立足《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心素养导向，以“数与运算”主题大观念为统领，将“分数除法”单元置于整个小学阶段运算体系中进行结构化重构。课程秉持“理解先于操作，意义驱动算法”的理念，打破传统教学中“重法则记忆、轻算理建构”的弊端，通过“情境—模型—抽象—应用”四阶循环，引导学生在真实问题解决中经历分数除法运算意义的再创造过程。设计强调跨学科视野，融入工程思维与数据分析观念，将数学运算与科学实验数据解读、艺术图形分割建立联结，使“分数除法”从孤立的技能操练升华为解释世界、解决问题的思维工具。以北师大版五年级下册第52页核心例题为锚点，向前勾连整数除法、分数乘法，向后延伸至比和比例、百分数应用，构建体现结构关联的单元整体教学蓝图。

二、教材与学情分析

（一）教材纵向结构定位

北师大版教材将分数除法安排在五年级下册第五单元，本课为单元第二课时——一个数除以分数。此前学生已学习分数除以整数，后续将学习分数除法的混合运算和应用题。教材编排呈现“意义理解—算法抽象—应用建模”的递进逻辑：第52页借助分饼、分橙子等直观情境，引出“除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数”这一核心法则，并首次呈现包含除与等分除在同一情境中的对比辨析。

（二）学情认知起点探测

通过前测发现：85%的学生能正确计算分数除以整数，但仅32%能清晰解释“÷3”与“×1/3”等价性的算理；67%的学生在解决“4/5÷2”时依赖图形划分，但面对“4/5÷2/3”时几何模型建构困难。学生处于皮亚杰具体运算阶段向形式运算阶段过渡期，对抽象符号操作尚需直观支柱。同时，部分学生受整数除法“越除越小”定势影响，对分数除法结果可能大于被除数产生认知冲突。这是本课思维进阶的关键契机。

（三）核心要点罗列

【核心素养】数感、运算能力、推理意识、模型意识【非常重要】

【关键能力】转化思想、几何直观、抽象概括【重要】

【必备知识】倒数概念、分数乘法、包含除与等分除的区分【基础】

【高频考点】分数除法的计算法则及其应用【高频】

【常考题型】直接写得数、解方程、看图列式、实际问题解决【热点】

【思维难点】理解“除以一个分数”与“乘这个分数的倒数”的等价性【难点】

【易错警示】忽略除数不能为0、带分数转化错误、约分时机不当【易错】

三、教学目标与表现标准

（一）素养导向目标群

1.知识与技能【基础】

能在具体情境中理解分数除法与分数乘法的互逆关系，掌握“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”的计算法则，并能正确、熟练地进行一个数除以分数的计算，将计算结果化为最简分数或带分数。

2.过程与方法【重要】

通过操作、画图、猜想、验证等数学活动，经历从“现实模型—算式表征—算法归纳”的完整抽象过程，体会转化思想在数学学习中的应用，发展几何直观与推理能力。

3.情感态度价值观【基础】

在解决分蛋糕、铺地砖等生活问题中感受数学的实用性，在认知冲突与规律发现中体验数学思考的乐趣，养成严谨求实的科学态度。

4.跨学科素养【非常重要】

链接科学课“配料比例”实验，运用分数除法计算溶液稀释倍数；链接美术课“黄金分割”，运用分数除法计算图形缩放比例，培养用数学眼光观察世界的意识。

（二）具体表现标准

本节课结束时，学生应能够：

A级（全员达成）：借助面积模型或线段图，解释2/3÷4/5的计算过程，并正确写出结果。

B级（多数达成）：独立归纳分数除法的计算法则，能将其迁移至带分数、小数与分数混合除法的简单情形。

C级（部分达成）：在真实问题情境中，辨析选择除法或乘法，并运用分数除法解决两步计算的实际问题。

四、教学策略与学法指导

（一）教学主张

践行“学为中心，为理解而教”的理念，采用“大问题驱动—子任务分解—可视化思维—社会化建构”的教学策略。将核心问题“为什么除以一个分数等于乘它的倒数”拆解为递进式探究任务，通过数形结合将隐性的思维过程显性化，借助小组共学实现认知的社会化建构。

（二）具体策略

5.情境串联策略：以“校园美食节筹备”为主线，将分月饼、榨果汁、铺餐桌等任务群贯穿全课，使计算学习始终附着于意义背景。

6.几何模型支架策略：统一使用“面积模型”（长方形）作为算理探究的直观工具，避免因模型切换增加认知负荷。

7.比较思辨策略：刻意呈现多种算法（通分法、乘倒数法、统一单位法），引导学生在对比中优化，在质疑中认同。

8.即时诊断策略：嵌入“学习盾牌”环节，学生用红、黄、绿三色磁贴反馈理解状态，教师精准介入。

（三）学法指导

指导学生掌握“画—说—写”思维外化三步法：遇到分数除法先画图模型，再说图意与算式对应关系，最后用符号记录思考过程。培养“举例验证”的科学探究习惯，不轻信结论，主动寻找反例。

五、教学资源与环境

（一）环境创设

智慧教室环境，配备交互式电子白板、平板电脑（4人一组一台）。教室四周张贴数学文化海报《分数简史》《除法符号的演变》，营造学术氛围。

（二）教具学具

教具：磁性面积模型贴片（可拆分1/2、1/3、1/5等分数条）、双色磁钉、抽拉式线段图教具。

学具：每人一张A4覆膜任务单、可擦写笔；每组一套分数除法探究盘（含透明方格片、彩笔）。

（三）数字化资源

GeoGebra动态演示课件“倒数之舞”，可实时调整除数的分母分子，同步显示图形割补过程；微课《除法精灵的魔法》2分钟，用于课前唤醒倒数知识。

六、教学实施过程

（一）锚定起点·唤醒经验（5分钟）

【激活已知，引发冲突】

9.计算热身：口算卡呈现两组对比题。

第一组：120÷3=12÷3=1.2÷3=

第二组：6/7÷2=6/7÷3=6/7÷6=

学生快速口答，并重点追问6/7÷2的算理。预设学生回答“把6/7平均分成2份，每份是3/7”。教师顺势引导：分数除以整数，就是乘整数的倒数，板书核心等式：6/7÷2=6/7×1/2。

10.情境迁移：承接校园美食节场景，呈现“4/5千克面粉可做8个月饼，做一个月饼需多少千克面粉？”学生列式4/5÷8，并借助长方形图解释。

11.认知冲突引爆：将问题变为“4/5千克面粉可做2/3个月饼，做一个月饼需多少千克面粉？”学生自然列出4/5÷2/3。教师板书课题，并询问：这个算式你们会算吗？部分学生可能尝试“分子除分子、分母除分母”，此时不予评价，保留悬念。

【设计意图】以旧知铺路，在整数、小数、分数除以整数的纵向对比中强化运算本质的一致性。通过变式创设真问题，将新算式置于学生已有经验的“最近发展区”，激发探究内驱力。

（二）直观建模·探明算理（18分钟）【非常重要】

【子任务一】用面积模型解释4/5÷2/3

12.明确任务：请同学们在任务单上画一个长方形表示“4/5千克面粉”，然后分一分，表示出“2/3个月饼”对应的面粉量，最后求做一个月饼的面粉量。

13.独立探究（6分钟）：学生自主画图，教师巡视捕捉典型资源。

14.思维可视化展评（10分钟）：

——资源1：将长方形先竖着平均分成5份，涂色4份表示4/5。学生A把涂色部分横着平均分成3份，取其中2份，发现这2份对应的是整个长方形的(4/5)×(2/3)=8/15。此处出现认知困难：学生要的是“一个月饼”的面粉量，而图中8/15是整个面粉的8/15，并非数量。教师介入：8/15是什么？——是2/3个月饼对应的面粉占整体面粉的份额，不是面粉的具体质量吗？回到题目，4/5千克对应整个长方形，8/15是部分占整体的分率，但求一个饼的质量应该用4/5÷2/3得到的是“千克数”。图形中如何看到这个“千克数”？

——资源2：学生B将长方形直接竖分5列、横分3行，得到15个小格，每个小格是1/15。先涂色4列，共12格表示4/5。再将12格中的2行圈出，发现2行有8格。这8格对应4/5千克中的一部分，但要求一个月饼的质量，需要知道整个长方形（4/5千克）里包含几个这样的8格？——此时有学生发现：一个月饼对应的是多少格？刚才圈出的8格是2/3个月饼，那么1个月饼应该是8÷2=4格，但8÷2=4是整数除法，8格是2/3，1个月饼应是8÷2/3，又回到原问题。陷入循环。

——资源3：教师出示预制教具——可抽拉的线段图。将4/5千克用一段线段表示，平均分成2份，每份是2/5千克对应1个月饼？不对，这里是2/3个月饼，不能直接对分。教师调整策略：把4/5这个量先不看，我们思考数量关系——做一个月饼的面粉=总面粉÷月饼个数，这是除法的意义，现在个数是分数，怎么除？

15.关键追问：大家遇到了困难，因为我们习惯把长方形看作单位“1”，但这里4/5千克是具体的量，2/3是份数，用面积模型表示时单位“1”到底是谁？——整块面粉是4/5千克，我们画的长方形就代表这4/5千克。现在要把它平均分成2/3份，怎么分？教师引导：2/3个月饼是什么意思？不是完整的月饼，是0.666个月饼。你能把一个物体平均分成0.666份吗？这时必须转化——把分数份数转化成整数份数。怎么转化？如果把2/3个月饼看成2份，那一个月饼是几份？——3份。对！如果我们将月饼个数都扩大3倍，变成整数，问题就解决了。

16.模型改造：教师带领学生重新画图。长方形代表4/5千克。现在要求的是1个月饼的质量。已知2/3个月饼对应整个长方形。那么1/3个月饼对应长方形的一半，即4/5÷2=2/5千克。1个月饼有3个1/3，所以是2/5×3=6/5千克。列成综合算式：4/5÷2/3=4/5÷2×3=4/5×3÷2=4/5×3/2。至此，学生豁然开朗：除以2/3等于先除以2再乘3，也就是乘3/2。

【设计意图】此处是整节课的思维心脏。不回避认知冲突，让学生在尝试、碰壁、修正中完整经历算理重构的过程。教师的作用不是告知捷径，而是提供思维脚手架——将分数份数转化为整数份数，这是分数除法算理的核心密码。通过集体对话，将“除以一个分数”转化为“除以分子、乘分母”，进而抽象为“乘倒数”，每一步均有图式支撑，杜绝机械记忆。

【子任务二】变式迁移，用相同方法计算2/3÷4/5

17.独立尝试：出示问题“用2/3升果汁可以倒满4/5个杯子，每个杯子容量多少升？”学生仿照刚才的思路画图或列式。

18.汇报交流：预设学生列式2/3÷4/5。借助长方形：先取2/3，再将其平均分成4份，取5份。或先÷4再×5，得到2/3×5/4。巩固“除以一个分数，等于乘这个分数的倒数”的直观来源。

19.反例辨析：教师提问“如果除数是1/2呢？还用这么复杂吗？”学生立即想到除以1/2就是乘2，因为1/2的倒数是2。新旧知识无缝对接。

（三）抽象概括·建构法则（8分钟）【重要】

20.观察比较：呈现三组算式

6/7÷2=6/7×1/2

4/5÷2/3=4/5×3/2

2/3÷4/5=2/3×5/4

21.发现规律：小组讨论——你发现了什么？学生发现都是“÷”变“×”，后面的数上下颠倒。

22.命名共识：教师介绍“倒数”概念，并强调0没有倒数。全班齐读法则：除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。

23.深度辨析：为什么法则中要说“不为零”？如果除数是0，会怎样？学生结合除法意义解释：0不能做除数，0没有倒数。

24.符号表达：用字母表示法则：a÷b=a×1/b(b≠0)；进一步拓展：b可以是分数，此时1/b就是b的倒数。

【设计意图】从特殊到一般，不完全归纳得出法则。这一过程虽是抽象，但有了前两个子任务的直观经验，学生的概括水到渠成。强调“不为零”是运算伦理，培养数学表达的严谨性。

（四）分层练习·巩固内化（12分钟）【高频考点】

25.第一层：基础性练习——模仿迁移（4分钟）

（1）看算式，写出倒数：2/3、5、1/4、7/8。

（2）将除法改写为乘法：7/10÷2/5=5/6÷5=8/9÷4/3=

（3）直接写出得数：3/4÷1/2=2÷1/3=5/7÷5/7=

学生独立完成，组长检查组员，全班核对。重点关注“整数除以分数”时整数的倒数处理。

26.第二层：综合性练习——辨析选择（4分钟）

（1）不计算，比较大小：8/9÷2/3○8/9，4/5÷5/4○4/5，1÷3/4○1。

引导学生总结：除数小于1时，商大于被除数；除数大于1时，商小于被除数；除数等于1时，商等于被除数。打破“除法越除越小”的思维定势。

（2）改错题：小明的计算：4/9÷2/3=4/9×2/3=8/27，他错在哪里？应该怎样算？

27.第三层：拓展性练习——解决实际问题（4分钟）【热点】

情境：为美食节设计长方形桌布。桌布面积是4/5平方米，宽是2/3米，长是多少米？

学生列式并计算。反馈时呈现两种方法：4/5÷2/3=4/5×3/2=12/10=6/5（米）；也可用方程：设长为x米，2/3x=4/5，x=4/5÷2/3。沟通算术解法与方程解法的内在一致性。

（五）跨学科融合·综合应用（8分钟）【非常重要】

28.科学实验站：溶液稀释比例

出示问题：科学课上配制糖水，40克糖溶解后总质量为240克，现在要配制浓度相同的糖水，只有120克糖，需要加水多少克？

学生先求浓度：40÷240=1/6。再求糖水总质量：120÷1/6=120×6=720克。最后求加水质量：720-120=600克。

强调：分数除法在此处是“已知部分和对应分率，求整体”的模型。

29.美术创意坊：图形缩放

出示一幅长方形装饰画，长是宽的5/4倍。现需要将长缩短为原来的4/5，宽应如何调整才能保持画作不变形？

学生通过计算发现：新长=原长×4/5，若要保持长宽比不变，新宽=原宽×4/5。但若不知原宽，而知道新长与原长的关系，如何列式？引导学生列出分数除法算式。

此处允许学生使用平板电脑登录GeoGebra链接，拖动滑块观察长宽比值变化，直观感受分数除法在相似图形中的应用。

（六）多元反馈·当堂诊断（5分钟）

30.学习盾牌：学生用磁贴反馈对本课法则的掌握程度——绿色（已理解，能熟练应用）、黄色（基本理解，偶尔出错）、红色（仍有疑问）。教师重点关注红色学生，现场进行二次复述或同伴互助。

31.思维漂流：每组提出一个本组认为最有价值的问题或最容易出错的陷阱，写在便利贴上，贴到黑板“数学诊疗室”区域。典型问题筛选：

——“为什么除以真分数商反而变大？这不是除法吗？”

——“带分数做除数时，要不要先化成假分数再颠倒？”

——“小数除以分数，是把小数化成分数还是把分数化成小数？”

教师现场解答，或引导已经理解的学生解答，形成生生互动。

32.课堂检测：2分钟完成一道检测题，平板电脑即时统计正答率。题目：一根绳子剪成若干段，每段长3/5米，共剪了5/6根绳子？这表述有问题——改为：一根绳子长5/6米，每段长3/5米，可剪成多少段？学生列式5/6÷3/5=5/6×5/3=25/18≈1.39段，引发讨论：段数为什么不是整数？再次强调分数除法结果的现实意义。

（七）回顾梳理·重构网络（4分钟）

33.知识树构建：师生共同板演本课知识结构图。

树根：整数除法、分数乘法、倒数概念。

树干：分数除法意义——已知积与一个因数求另一个因数。

树枝：计算法则——除以一个不为零的数等于乘它的倒数。

树叶：应用——等分除、包含除、已知部分求整体、比例缩放。

34.学习反思：引导学生从“知识、方法、感受”三维度总结。

预设发言：“我知道了为什么除以一个分数要颠倒，因为要先把分数份数变成整数份数。”

“画图虽然慢，但能帮我想明白道理。”

“原来除法不一定变小，分数除法让数变大，很神奇。”

七、学习评价与反馈

（一）过程性评价维度

35.思维参与度：观察学生在画图、讨论、质疑环节的卷入程度，特别关注中等生和后进生的发言频次与质量，采用即时激励性评价。

36.合作贡献度：小组活动中是否承担角色（如画图员、发言代表、记录员、质疑员），由组长进行星级评定。

37.作业完成度：课后分层作业——基础必做题（计算法则直接应用）、综合选做题（图文结合题）、挑战拓展题（分数除法在行程问题、工程问题中的初步渗透）。

（二）终结性评价设计

单元形成性测试中，本课对应题目的双向细目表：

【基础】直接写出分数除法算式得数——90%达标

【理解】根据长方形图写出除法算式并计算——80%达标

【应用】解决“已知长方形面积和宽，求长”类问题——75%达标

【探究】在数轴上标出a÷1/2的位置（a为正分数）——60%达标

（三）补偿教学预案

针对本课易错点——“除号变乘号后忘记把除数颠倒”“整数忘记写分母1”“带分数未化假分数”，设计“诊疗卡”三张，每卡配同类练习5道，供学生课