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文档简介

小专题(六)

构造三角形中位线的常用方法

方法一：已知两边中点，连接两中点或第三边构造中位线1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点．求证：PQ⊥MN.

2．如图，B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形BCE，P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．求证：PM＝PN.

方法三：利用“倍长法”构造中位线5．如图，在▱ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝AD，M为线段AC上一点(不与点A，C重合)，以AM为边向上作等边三角形AMN，连接NC，DM，Q为线段NC的中点，连接DQ.探究DM与DQ的数量关系．解：延长CD至点H，使DH＝CD，连接NH，AH，可证△ADH是等边三角形，∴AH＝AD，∠HAD＝60°，∴△ANH≌△AMD(SAS)，∴HN＝DM.∵D是CH的中点，Q是NC的中点，∴DQ是△CHN的中位线，∴HN＝2DQ，∴DM＝2DQ.6．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D，CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F.(1)求证：△BEF是等腰三角形；证明：(1)∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°.又∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ACE＝22.5°.∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°＝∠ABC.∴∠BEF＝∠CFD＝∠BFE＝67.5°.∴BE＝BF，即△BEF是等腰三角形．

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