棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积目标素养1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式,提升逻辑推理素养.2.能用棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式解决简单的实际问题,提升数学运算素养.知识概览课前·基础认知1.棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.微提醒

棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图和底面的面积之和,因此弄清侧面展开图和底面的形状及图中各线段的长,是解决表面积问题的关键.微训练1棱长为3的正方体的表面积为(

)A.27 B.64 C.54 D.36答案:C解析:S=6×32=54.2.棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱的体积公式:V=

Sh

(底面面积为S,高为h);

棱锥的体积公式:V=

Sh

(底面面积为S,高为h);

棱台的体积公式:V=

,其中S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高.

微拓展

棱柱、棱锥、棱台之间有如下关系:根据以上关系,在棱台的体积公式中,令S=S',得到棱柱的体积公式;令S'=0,得到棱锥的体积公式.其关系如下所示:微训练2棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积为

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课堂·重难突破一

棱柱、棱锥和棱台的侧面积和表面积典例剖析1.现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长分别为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为

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答案:160解:如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,体对角线A1C=15,B1D=9,∴a2+52=152,b2+52=92,∴a2=200,b2=56.∵该直四棱柱的底面是菱形,∴AB=8.∴该直四棱柱的侧面积S=4×8×5=160.规律总结

关于棱锥、棱台的表面积能直接求各个面的面积的可直接将各面积相加.计算时要注意构造直角三角形、直角梯形,如图四棱锥、四棱台中的直角三角形、直角梯形.学以致用1.已知侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥,底面边长为a,则该三棱锥的表面积是(

)答案:A解析:由题意知该正三棱锥的底面是边长为a的正三角形.∵侧面都是等腰直角三角形,

解析:如图,正三棱锥P-ABC,PA=PB=PC=AB=AC=BC=3.取BC的中点D,连接AD,取等边三角形ABC的中心O,连接PO,由正四面体的性质可知,顶点与底面中心的连线垂直于底面,∴PO⊥平面ABC,即三棱锥P-ABC的高为PO.

学以致用2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为

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三

多面体的体积典例剖析解:以四面体的各棱为对角线,将其补为长方体,如图所示.设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,规律总结

求几何体体积的常用方法学以致用3.如图,在多面体ABCDEF中,已知平面ABCD是边长为4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3,求该多面体的体积.解:如图,连接EB,EC.随堂训练1.已知正四棱锥各棱长均为a,则其表面积为(

)答案:B答案:B3.若长方体的体对角线长为2,长、宽、高的比为3∶2∶1,则它的表面积为(

)A.44 B.88

C.64

D.48答案:B解析:设长、宽、高分别为3x,2x,x(x>0),所以长方体的长、宽、高分别为6,4,2.故表面积S=2×(24+12+8)=88.4.已知一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为

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答案:12解析