浙江新力量联盟2025-2026学年第二学期期中联考高一年级数学试题

浙江温州新力量联盟2025-2026学年第二学期期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是（）A. B.1 C. D.2.已知是平行四边形边上的一点，则下列正确的是（）．A. B.C. D.3.在中，，，，则（）A. B. C. D.4.已知是关于的方程的一个根，则实数、的和（）A. B. C. D.5.下列命题正确的是（）．A.平行六面体的侧面是全等的平行四边形B.正棱锥的侧面是等边三角形C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱6.在中，，则（）A. B. C. D.7.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.8.如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，某人在与点同一直线上两点G，H，用测角仪测得的仰角分别为，，测角仪器高为，那么AB的高为（）．A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的结论中，正确的有（）．A.三角形的直观图是三角形 B.正方形的直观图是长方形C.平行四边形的直观图是平行四边形 D.菱形的直观图是平行四边形10.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（）．A.若，则 B.C. D.11.已知，则下列正确的是（）A.若满足条件，则为的重心B.若满足条件，则动点经过的内心C.若满足条件，则动点经过的外心D.若满足条件，则动点经过的垂心非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12.___________．13.已知、为两个不共线的向量，，，若，则实数___________.14.已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则的面积为___________．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15.已知向量，，，若．（1）求实数的值；（2）求与夹角的余弦值．16.已知是的共轭复数．（1）求证：（2）若复数满足，求|z|的取值范围．17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且.（1）求；（2）若，求周长的取值范围.18.如图，在中，是AD与CE的交点．（1）若，求的值；（2）求；（3）若，求的最小值．19.三角形历来都是古今中外数学家研究的一个平面图形，阅读下面内容并解决相关问题（注：a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，为的面积）．（1）我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》给出三角形面积的求法“三斜求积”：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，斜四约之，为实一为从隅，开平方得积．”写成公式，就是，请证明该公式．（2）布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利•布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设是内一点，若，则称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，如图，已知．（i）求的值；（ii）判断的形状．浙江温州新力量联盟2025-2026学年第二学期期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分（共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数的虚部是（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】直接由复数的乘法运算把给出的复数化简为的形式，则复数的虚部可求．【详解】因为，虚部为.故选：B.2.已知是平行四边形边上的一点，则下列正确的是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】应用向量加减法规则计算判断各个选项.【详解】已知是平行四边形ABCD边CD上的一点，，A选项错误；，B选项错误；，C选项正确；，D选项错误；3.在中，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知角为锐角，再利用正弦定理求解即可.【详解】因为，则，所以为锐角，由正弦定理，故，所以.4.已知是关于的方程的一个根，则实数、的和（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析可知方程的另一个根为，利用韦达定理可求出实数、的值，即可得解.【详解】因为、为实数，且是关于的方程的一个根，则该方程的另一个根为，由韦达定理可得，解得，，故.5.下列命题正确的是（）．A.平行六面体的侧面是全等的平行四边形B.正棱锥的侧面是等边三角形C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D.有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱【答案】C【解析】【分析】分析各选项中几何体的特征与定义是否相符来判断对错，并确定正确选项.【详解】在A选项中，平行六面体的侧面都是平行四边形，但侧棱仅长度相等，底面平行四边形的邻边不一定相等，因此侧面不一定全等，A错误，在B选项中，正棱锥的底面是正多边形、顶点在底面的投影是底面中心，侧面都是全等的等腰三角形，只有侧棱长等于底面边长时侧面才是等边三角形，并非所有正棱锥的侧面都是等边三角形，B错误，在C选项中，根据棱锥的定义，棱锥仅存在一个多边形面，其余面都是共顶点的三角形，若一个棱锥有一个面是平行四边形（四边形），这个面就是棱锥的底面，对应有4个侧面，因此一定是四棱锥，C正确，在D选项中，将两个底面全等的斜棱柱拼接后，满足"有两个面平行，其余面都是平行四边形"，但侧棱不互相平行，不是棱柱，D错误.6.在中，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理结合余弦定理求解即可.【详解】在中，，由正弦定理可得，整理可得，由余弦定理可得，又因为，故.7.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件作图可得为等边三角形，根据投影向量的概念求解即可.【详解】因为，所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，如图，又，所以为等边三角形，则，故，所以向量在向量上的投影向量为：．故选：A．8.如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，为建筑物的最高点，某人在与点同一直线上两点G，H，用测角仪测得的仰角分别为，，测角仪器高为，那么AB的高为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先在中用三角形内角和求出，再由正弦定理算出，最后在中求出并加上得到.【详解】设，由题意可知，，则，在中，，，因此：，由正弦定理可得：，又因为，则，，在中：仰角为，因此，即，所以.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的结论中，正确的有（）．A.三角形的直观图是三角形 B.正方形的直观图是长方形C.平行四边形的直观图是平行四边形 D.菱形的直观图是平行四边形【答案】ACD【解析】【分析】根据斜二测画法的规则分析各选项.【详解】在A选项中，三角形的三个顶点不共线，斜二测画完后仍为三个不共线顶点，因此直观图仍是三角形，A正确，在B选项中，正方形的邻边原本互相垂直，但经过斜二测画法后，其直观图中邻边的夹角一般不再是直角，因此直观图是平行四边形，不是长方形，B错误，在C选项中，斜二测保持平行性，平行四边形对边的平行关系不变，因此直观图仍是平行四边形，C正确，在D选项中，菱形是特殊的平行四边形，平行关系不变，因此直观图仍是平行四边形（仅邻边不再相等，仍保持对边平行），D正确.10.对于任意两个向量和，下列命题中正确的是（）．A.若，则 B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】依据向量大小比较规则，向量加法三角不等式、数量积公式及推导来判断正误.【详解】在A选项中，向量是既有大小又有方向的量，方向无法比较大小，因此向量本身不能比较大小，仅能比较模长，故A错误，在B选项中，向量加法的三角不等式对任意向量恒成立，当与同向时等号成立，故B正确，在C选项中，设两向量夹角为，由数量积公式得：，由于，因此，故C正确，在D选项中，由三角不等式推导：，移项得，同理可得，因此，故D正确.11.已知，则下列正确的是（）A.若满足条件，则为的重心B.若满足条件，则动点经过的内心C.若满足条件，则动点经过的外心D.若满足条件，则动点经过的垂心【答案】ABD【解析】【分析】利用三角形的重心、内心、外心、垂心的性质逐一分析每个选项.【详解】在A选项中，设中点为，根据平面向量加法的平行四边形法则：，又因为，所以，即，这表明、、三点共线，且，根据重心的定义和性质可得为的重心，A正确，在B选项中，和分别是和方向上的单位向量，设，以和为邻边作平行四边形，则该平行四边形为菱形，根据菱形的性质，其对角线平分一组对角，所以在的平分线上，又因为内心是三角形三条角平分线的交点，所以动点经过的内心，B正确，在C选项中，由正弦定理可得：，则，由A选项可知，中点为，所以，所以，即表示与共线，所以动点在边上的中线上，因为外心是三角形三边垂直平分线的交点，而一条中线不能确定外心，所以动点不经过的外心，C选项错误，在D选项中，，因为，所以，则，，根据向量数量积公式可得：，，所以，所以所以，，即，所以，即，因为垂心是三角形三条高的交点，所以动点经过的垂心，D正确.非选择题部分（共92分）三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．12.___________．【答案】【解析】【详解】13.已知、为两个不共线的向量，，，若，则实数___________.【答案】##【解析】【分析】设，其中，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，解之即可.【详解】因为，设，其中，即，因为、为两个不共线的向量，所以，解得.14.已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，且，则的面积为___________．【答案】6【解析】【分析】利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合三角形面积公式求解.【详解】设外接圆半径为，由正弦定理可得：，又因为，，所以，化简得：，所以.

四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15.已知向量，，，若．（1）求实数的值；（2）求与夹角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可；（2）求出向量的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求出与夹角的余弦值.【小问1详解】因为，，，且，所以，解得.【小问2详解】，则，由（1）得，可知，则．16.已知是的共轭复数．（1）求证：（2）若复数满足，求|z|的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）或【解析】【分析】（1）明确与形式，用平方差公式算，结合化简，根据模定义得，进一步证明.（2）由判断为实数，分为实数和虚数讨论求出的取值范围.【小问1详解】设，则，所以，而，所以．【小问2详解】由知，若，则，且，由，解得或，故或，若为虚数，而，则，整理得，所以，此时，即，此时，，矛盾，故或．17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且.（1）求；（2）若，求周长的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，边角互化以及的取值范围即可求解；（2）先根据正弦定理求出外接圆的半径，再进行边角互化，根据角的范围即可求解.【详解】解：（1）∵，∴，∴，即，即，即，即，即，∵，∴，∴，故；（2）∵，∴∵，∴，∴，即周长的取值范围为.18.如图，在中，是AD与CE的交点．（1）若，求的值；（2）求；（3）若，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）方法一：利用向量的线性运算结合三点共线求解即可；方法二：以为原点，AB为轴，AD为轴建立直角坐标系，表示出各点坐标，利用向量共线的坐标运算求解即可；（2）方法一：利用结合向量数量积运算即可求解；方法二：以为原点，AB为轴，AD为轴建立直角坐标系，表示出各点坐标，利用向量夹角的坐标运算求解即可；（3）方法一：设BC的中点为，可得，求出的最小值即可求解.方法二：以为原点，AB为轴，AD为轴建立直角坐标系，表示出各点坐标，利用向量数量积的坐标运算结合二次