大学物理（下册）课件 第15章 相对论

一、伽利略时空变换

在力学中,描述物体的运动离不开参考系的选择。满足牛顿力学定律的参考系称为惯性参考系(简称惯性系)

假设有两个惯性系S(Oxyz)和S'(O'x'y'z'),如图15.1所示,它们对应的坐标轴相互平行,且S'系相对于S系以速度v

沿Ox轴正向做匀速直线运动。

起始时刻(t=t'=0),两个坐标系重合。在S系中t时刻测量到质点P的坐标为(x,y,z),在S'系中t'时刻测量到质点P的坐标为(x',y',z')。时间在各个参考系中均匀流逝,时间的量度不随参考系的不同而变化。由于起始时刻相同,那么经过相同的时间间隔(即t=t')后,测量到的同一物体P在两个惯性系中的时空坐标有如下对应关系:这些变换式称为伽利略时空变换式(以下简称为伽利略变换式),它以数学形式表达了经典力学的时空观。以u

和u'分别表示质点P相对于S

系和S'系的运动速度,则各个分量的速度为又因为t=t',所以其矢量形式为

在式(153)两边对时间求一阶导数,由于v不随时间变化,所以有

即

式(15-4)表明,同一质点的加速度在不同惯性系中的大小和方向均相同,即同一质点的加速度对伽利略变换式来讲为一个不变量,它不依赖于惯性系的选择。在经典力学中,质点的质量是与其运动状态无关的常量,当然也不因惯性系的不同而改变;质点所受的力也与惯性系的选择无关(F=F')。所以在S

和S'这两个'惯性系'中,牛顿第二定律也应有相同的形式

二、牛顿力学时空观

伽利略变换式反映了牛顿力学(即经典力学)的绝对时空观,是它的数学表现形式。伽利略变换式可以写成另外一种形式:

在S系和S'系中,时间间隔相等,说明在各个惯性系中,时间在均匀地流逝,与运动状态无关,也与参考系的选择无关,时间是绝对的。在S

和S'两个不同的惯性系中测量一直杆的长度分别为

由S于和测S量'中中需分别同测时确定量同一两物端体的的坐长标度,时即,Δt按'Δ伽变,所以换式,Δs所s'的。上式表值相同明,与,在两惯个惯性系之间的相对速度无关。也就是说,空间的量度不依赖参考系的选择,是绝对的。

总之,经典力学认为空间是物体占据的场所,与其中的物质完全无关,并且是永恒不变、完全静止的;时间是事件发生的顺序,绝对的、真正的和数学的时间自身在流逝着,而且由于其本性,时间均匀地、与任何外界事物无关地流逝着。空间和时间是彼此独立的。

用经典时空观处理低速运动是正确的,然而在处理高速运动时却遇到了严重的挑战,相对论否定了这种绝对时空观并建立了新的时空观。

迈克尔逊莫雷实验装置如图15.2所示。

由光源P

发出波长为λ的光,入射到半反半透镜G

后,一部分反射到平面镜M1

上,再由M1

反射回来透过G

到达望远镜T;另一部分透过G

到达平面镜M2,再由M2反射回来到达G,然后由G反射到达T。两列光束在T

相遇产生干涉条纹。假设G

到M1

和M2

的距离均为L。把固定在地球的整个实验装置当作运动参考系,即S'系,设它相对于绝对参考系(以太)S

以速度v运动。若速度的方图15.2迈克尔逊莫雷实验装置示意图向与光束①平行,从S'系看,G

到M2

的光束速度为c-v,M2

到G

的光束速度为c+v,则光束①从G

出发到M1,再到被反射回G

所需时间为

光束②自G

到M1

和自M1

再到G

的速度均为(c2

-v2)1/2。所以,从S'系看,光束②从G到M1,然后再由M1

回到G所需时间为

两列光束从G

到T

的时间差为

将整个仪器旋转90°后,两列光束互换,时间差为

仪器旋转前后,时间差的改变量为

由于v≪c,有

两束光的光程差为

干涉条纹移动的数目为

迈克尔逊根据地球公转速度v=3×104m·s-1,L=1.2m,λ=5893×10-10m,得出ΔN=0.04条。但在实际实验中没有观察到条纹移动。1887年他和莫雷合作,进一步改进干涉实验,光路经过多次反射,光程L延长到11m,预计可以测得0.4个条纹移动,但是仍然没有观察到预想的结果。为了避免公转速度与太阳系运动速度正好抵消这种可能性,迈克尔逊和莫雷在半年后又重复进行实验,仍然没有观察到条纹移动。此后,许多人在地球的不同地点、不同季节里重复迈克尔逊莫雷实验,结果相同,都无法测出地球相对于以太的运动速度。到目前为止,所有的实验都未能找到以太,也未发现光速随运动变化的迹象。

一、相对论的基本原理

(1)爱因斯坦相对性原理:物理定律在所有的惯性系中都具有相同的表达形式,即所有的惯性系都是等价的。这就是说,在惯性系内部不能确定该惯性系的运动或静止。对运动的描述只有相对意义,绝对静止的参考系是不存在的。这是对经典力学相对性原理的继承和发展。

(2)光速不变原理:真空中的光速是常量,在任意惯性系中观察速度都恒为c,它与光源和观察者的运动无关,即不依赖于参考系的选择。显然该原理否定了伽利略变换式。二、洛伦兹时空变换

伽利略变换式不具有普遍性,它与光速不变原理不相容,那么就需要找出与狭义相对论相容的变换式。其实这一变换式在爱因斯坦提出相对论之前已经被洛伦兹发现了,但也可以通过狭义相对论的两条基本原理来导出,这反过来说明了两个基本假设的正确性与简洁性。下面就从狭义相对论的两条基本原理来导出洛伦兹时空变换式(以下简称为洛伦兹变换式)

有两个惯性系S(Oxyz)和S'(O'x'y'z'),它们的对应坐标轴互相平行,且S'系相对于S系以速度v

沿Ox

轴的正向做匀速直线运动,如图15.3所示。

开始时,两个惯性系重合,即t=t'=0时,x=x',y=y',z=z',在此时刻,从一个重合点O(O')发出一束光。在S系中,这束光在此后t时刻到达P点;在S'系中,到达P点的时刻为t'。根据光速不变原理,OP=ct,O'P=ct',所以有下列时空坐标间的关系式:

由于两参考系在y,z方向没有相对运动,所以参照伽利略变换式有y=y',z=z'。由于两个参考系在x轴方向做速度恒定的相对运动,而且对于任何一个参考系,时间和空间应该是均匀的,所以x和x'应该是线性关系,t和t'也应该是线性关系。假设它们的关系为

解方程组得

由于Ox

轴和O'x'轴同向,所以k

取正值;由于时间轴总是由过去指向未来,所以a取正值。由此得出该事件在两个惯性系S和S'中的时空坐标变换式,即洛伦兹变换式为

由洛伦兹变换式可看出,当惯性系S'相对于惯性系S

的运动速度v远小于光速c时,/,c1伦,洛伦兹变换式就转化为伽利略兹变换式与伽利略变换式等效,变换式伽利略。由变此换可式知只适,在用物于体低的速运运动动速物度体远的小时于空光变换。也就是说,伽利略变换是洛伦兹变换在低速(v≪c)下的近似。另外,根据洛伦兹变换式可以看出,任何物体的速度均不能达到或超过光速,即真空中的光速速率c

是一切物体运动速率的极限。

【例15.1】

S'系相对于S系以速度v

沿着S系的x

轴正方向匀速运动。在惯性系S

中静止的观测者竖直上抛一个物体。物体的初速度为u0,重力加速度为g,运动方程为利用洛伦兹变换式求出此物体在惯性系S'中的运动方程。

所以可得S'系中的运动方程为三、洛伦兹速度变换

利用洛伦兹变换式可以得到它的速度变换式。在洛伦兹变换式两边微分得

由速度定义,S'系和S系中物体运动的速度分别为

由此可得它们的速度分量之间的关系为

此式即为洛伦兹速度变换式。同理可以得到式(15-12)的逆变换式为

若一个光束在S

系中沿x

轴传播,速度为c,即ux=c,S'系相'对于S系以速度v

沿

Ox

轴方向作匀速直线运动,根据洛伦兹速度式可得到光束相对于S

系的速度为

【例15.2】从高能加速器中发射出两个方向相反的粒子,速率都是0.6c。问两个粒子的相对速率是多少?【解】由题意可知,粒子相对于地球的速率为0.6c,所以设地球为S系,两个粒子分别沿Ox

轴正向和负向运动,甲粒子的速度为0.6c,则乙粒子的速度为-0.6c。把S'系设在甲粒子上,则甲粒子相对于S'系静止,S'系相对于S

系的速度即为0.6c。乙粒子相对于甲粒子的速度由速度变换式可得一、同时的相对性

如图15.4所示。设想一列匀速前进的列车(S'系)以速度v

相对于地面(S系)水平匀速运动,列车的A、B两端分别有一个接收光信号的仪器,在列车的中点有一个光源P。P发出的光信号被A、B两点接收。按照经典时空观,S'系和S

系中可以观测到A、B两点同时接收到光信号。

假设A、B两点在S

系中的坐标分别为(x1,y1,z1,t1)、(x2,y2,z2,t2),在S'系中的坐标分别为(x'1,y'1,z'1,t'1)、(x'2,y'2,z'2,t'2)。按照洛伦兹变换式有得到

由式(15-14)我们可以得出以下两个结论:

(1)如果在S'系中发生的两个事件同时不同地,则在S系中一定不同时。

(2)如果在S'系中发生的两个事件同时同地,则在S系中一定同时。

对式(15-14)进行变换得二、时间延迟

假设S'系中两个事件在同一地点发生,用S'系中一个相对于该坐标系静止的钟表测得两个事件的时间间隔为Δt',我们把相对于惯性系静止的钟表所测得在该惯性系中同一地点发生的两个事件经历的时间间隔称为固有时间,记为Δt0。用S

系中一个相对于该坐标系静止的钟表测得两个事件的时间间隔为Δt。若S'系相对于S系以速度v

沿Ox

轴做匀速直线运动,则S

系中两个事件的时间间隔由式(15-14)得

【例15.3】一列火车以108km/h的速度匀速行驶。

(1)地面上一信号灯闪光10s,从火车上观察闪光延续了多长时间?

(2)火车上一电灯闪光10s,地面上观察闪光延续了多少时间?

【解】取地面为S系,火车为S'系,S'系相对于S

系的速度v=108km/h=30m/s。

(1)事件发生在S

系,固有时间Δt0=Δt,所以有代入数据得

(2)事件发生在S'内,所以固有时间Δt0=Δt',所'以有代入数据得三、长度收缩

【解】设棒静止于S'系的长度为l',它与O'x'轴的夹角为θ'。此棒在O'x'轴和O'y'轴上的分量分别为

由于S系相对于S系只沿Ox

轴方向匀速运动,故从S系的观察者看来,棒沿Ox

轴方向和Oy轴方向的分量分别为

所以棒的长度l及其与Ox

轴的夹角θ的正切分别为

代入数据得一、动量与质量

在牛顿力学中,质量为m、速度为v的质点的动量表达式为如图15.6所示,设A、B两球对同一坐标系静止时的质量相同,令A和B两球在平行于x'轴的方向上运动并发生完全非弹性碰撞。

由于mB

为B

球相对于S

系静止时的质量,而A、B两球相对于同一坐标系静止时质量应该相同,所以上式可写为

式(15-17)中,m0

为质点静止时的质量,称为静质量,而质量m与速度有关,称为相对论性质量。当质点的速度远小于光速时,相对论性质量近似等于静质量。这时可以认为质点的质量为一常量,与参考系的选择无关,由此可过渡到经典力学的范畴

其动量的表达式应为

当外力F

作用于质点时,由相对论动量表达式可得二、动能和能量

设一质点在外力F作用下,由静止开始运动,由动能定理可知,质点动能的增量等于外力所做的功,即

由质量的表达式得

两边微分得即所以

由于从静止开始加速,开始时速度为零,动能为零,质量为静质量,对上式积分得因此得

式(15-20)即为相对论动能的表达式,它与经典力学的动能表达式毫无相似之处,然而在v≪c的极限情况下,有(1-v2/c2)-1/2≈1+v2/2c2。代入式(15-20),得

若将式(15-20)改写为

式(15-21)等号两端的量都为能量的量纲,爱因斯坦对此做出了具有深刻意义的说明,他认为m0c2

是质点运动时具有的总能量,而相应地,m0c2是质点静止时具有的静能量。也就是说,质点的总能量等于质点的动能和其静能量之和。如果以E代表质点的总能量,则有式(15-22)也可写成三、能量和动量的关系

相对论中,静质量为m0,运动速度为v

的质点的总能量和动量分别由下述公式表示:

在上面两个公式中消去速度v后,就得到能量和动量之间的关系为

狭义相对论的建立是物理学发展史上的一个里程碑,它具有划时代的意义。狭义相对论揭示了空间和时间之间、时空和运动物质之间的深刻联系,即时空是运动着的物质的存在形式,它比经典物理学更客观、真实地反映了自然界的物理规律。目前,狭义相对论已经被大量的实验所证实,并成为研究宇宙星体、粒子物理、工程物理等一系列科学问题的基础。当然,随着科学技术的不断发展,还会有许多新的、目前尚不了解的事实被发现,也还会产生新的理论,但是以大量实验事实为基础的狭义相对论在科学中的地位是无法被否定的。

狭义相对论是在研究与运动物体相联系的电磁现象的过程中产生的,不涉及引力场,不能采用非惯性系。广义相对论是在研究引力理论的过程中产生的,是包括非惯性系在内的相对论。广义相对论是狭义相对论的逻辑推广,是研究时间、空间和引力的理论。广义相对论应用于中子星的形成和结构、黑洞物理和黑洞探测、引力辐射理论和引力波探测、大爆炸宇宙学等广阔的领域,是物理学中重要的基础理论。一、广义相对论的等效原理

伽利略落体实验指出,瞬时地置于重力场中同一点的一切物体,在重力作用下,具有完全相同的重力加速度,与物体所具有的性质无关。设物体A、B从同一高处下落,则对A、B物体有

由上述两式可得一、广义相对论的等效原理

2.等效原理

爱因斯坦从物体的引力质量与惯性质量相等的实验事实出发,揭示出引力场与惯性力场的内在联系,并将其作为广义相对论的一条基本原理。

爱因斯坦指出,一个物体在均匀引力场中的动力学效应与此物体在加速参考系中的动力学效应是不可区分和等效的,即引力场和惯性力场的动力学效应是局部不可分辨的。这就是广义相对论的等效原理。

【实验1】升降机中观测者手中的球被释放后加速落向底板。他认为球加速下落的原因可能是由于升降机在一个方向向下的引力场中静止或作匀速直线运动,球受到引力作用而下落,也可能是升降机在没有引力场的环境中加速上升,球受到向下惯性力的作用而下落。二者无法区分。

【实验2】升降机中的观测者看到球悬浮在空中不动。他认为其原因可能是升降机在引力场中静止或自由下落,球既受向下的引力,又受向上的惯性力,二者平衡,也可能是升降机在没有引力场的环境中做匀速直线运动,球不受力的作用。二者也无法区分。二、广义相对性原理

狭义相对论认为一切惯性系都是等价的,而客观的物理规律在洛伦兹变换下不变。事实上,宇宙中并不存在严格的惯性系,人们不可避免地要在非惯性系中研究物理规律。既然如此,人们希望发展一种理论,它能抛弃惯性系的概念,而使所有参考系都能等价地表述物理规律。等效原理填平了惯性系和非惯性系之间的鸿沟,从根本上取消了惯性系在描述物理规律中的特殊优越地位。爱因斯坦把相对性原理扩大到一切参考系,提出了广义相对性原理:一切参考系(惯性系、非惯性系)都是等价的,物理规律在一切参考系中的数学形式相同。

等效原理和广义相对性原理是构建广义相对论理论的基石,前者依据引力质量和惯性质量相等的实验事实,后者来自物理学对自然规律对称性的坚定信念,它们都不能直接证明,其正确性取决于理论预言能否被实验证实。三、广义相对论时空特性的几个例子

1.引力场中光线的弯曲

电梯静止在无引力场的空间中,若从电梯左壁上水平射入一条光线,则电梯中的观测者可以看到光速沿水平直线传播,如图15.7(a)所示。如果电梯在无引力场的空间中匀加速上升,那么电梯中的观测者可以看到光线做平抛运动,如图15.7(b)所示。

2.引力频移

广义相对论预言,光在引力场中传播