2025年高起专山东数学（理科）真题及答案

2025年高起专山东数学（理科）练习题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.设函数f(x)=x^36x^2+9x+1，则方程f(x)=0在区间（∞，+∞）内实根的个数为（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解析：f'(x)=3x^212x+9=3(x1)^2，f'(x)=0的根为x=1，故f(x)在x=1处取得极值，且f(1)=5。又因为f(x)为三次函数，故f(x)在区间（∞，+∞）内至少有一个实根。综合以上，选C。

2.若实数a满足a^23a4=0，则代数式a^25a+6的值为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：由a^23a4=0得a^23a=4，将a^23a替换为4，得a^25a+6=4+6a=10a。由于a满足方程a^23a4=0，将a=4或a=1代入10a，得104=6或10(1)=11，但11不是选项中的值，故选B。

3.若sinθ=3/5，且θ为锐角，则cosθ的值为（）

A.4/5

B.3/4

C.1/5

D.4/5

解析：由sinθ=3/5，得cosθ=√(1sin^2θ)=√(1(3/5)^2)=√(19/25)=√(16/25)=4/5。由于θ为锐角，cosθ>0，故选A。

4.若a=2^x，b=3^x，且a>b，则x的取值范围是（）

A.x>0

B.x<0

C.0<x<1

D.x>1

解析：由a=2^x，b=3^x，且a>b，得2^x>3^x，即x<0。故选B。

5.若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点在y轴上，则下列结论正确的是（）

A.a<0，b=0

B.a>0，b=0

C.a<0，b≠0

D.a>0，b≠0

解析：开口向上说明a>0，顶点在y轴上说明对称轴x=b/2a=0，即b=0。故选B。

6.若直线y=kx+m与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+m^2的取值范围是（）

A.k^2+m^2≥1

B.k^2+m^2≤1

C.k^2+m^2>1

D.k^2+m^2<1

解析：圆心到直线的距离为d=|m|/√(1+k^2)，由于直线与圆相切，故d=1，得m^2=1+k^2。因此，k^2+m^2=k^2+1+k^2=2k^2+1>1。故选C。

7.若a，b为实数，且a^2+b^2=1，则a+b的最大值为（）

A.1

B.√2

C.2

D.2√2

解析：a+b=√(a^2+2ab+b^2)=√(1+2ab)。由于(ab)^2=a^22ab+b^2=12ab，故1/2≤ab≤1/2。当ab=1/2时，a+b取最大值，即a+b=√(1+2×1/2)=√2。故选B。

8.已知函数f(x)=|x2||x+1|，则f(x)的图像是（）

A.两条射线

B.两条直线

C.抛物线

D.梯形

解析：当x<1时，f(x)=x+2(x1)=3；当1≤x<2时，f(x)=x+2(x+1)=2x+1；当x≥2时，f(x)=x2(x+1)=3。故f(x)的图像由两条射线组成。选A。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若函数f(x)=x^33x+1的极值点为x=1和x=1，则f(x)的极值分别为______和______。

解析：f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得x=1和x=1。f(1)=1^33×1+1=1，f(1)=(1)^33×(1)+1=3。故f(x)的极值分别为1和3。

10.若函数y=f(x)的图像关于点（2，3）对称，则f(3)=______。

解析：设f(x)=y，由对称性，有f(2+(x2))=2f(x)3。将x=3代入，得f(4)=2f(3)3。又因为f(2)=3，代入得f(4)=2×33=3，解得f(3)=4。

11.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=15，S10=45，则S15=______。

解析：等差数列前n项和公式为Sn=n/2(2a1+(n1)d)。由S5=15，得5/2(2a1+4d)=15，解得a1+2d=3。由S10=45，得10/2(2a1+9d)=45，解得a1+4.5d=4.5。联立解得a1=1，d=1。故S15=15/2(2×1+14×1)=120。

12.若椭圆x^2/4+y^2/3=1的离心率e=______。

解析：椭圆的离心率e=√(1b^2/a^2)，其中a为半长轴，b为半短轴。由椭圆方程得a^2=4，b^2=3，代入公式得e=√(13/4)=√(1/4)=1/2。

13.若矩阵A=[[1,2],[3,4]]，则矩阵A的行列式值为______。

解析：矩阵的行列式值为adbc，代入得1×42×3=46=2。

三、解答题（每题20分，共60分）

14.已知函数f(x)=x^33x+1，求f(x)的单调区间。

解析：f'(x)=3x^23。令f'(x)>0，得x>1或x<1；令f'(x)<0，得1<x<1。故f(x)在区间（∞，1）和（1，+∞）上单调递增，在区间（1，1）上单调递减。

15.已知数列{an}为等差数列，且a1=1，a10=37，求{an}的通项公式。

解析：由等差数列通项公式an=a1+(n1)d，代入a1=1，a10=37，得d=(a10a1)/(101)=36/9=4。