广东东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学2025-2026学年度第二学期高二期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东东莞市大岭山中学、松山湖莞美学校、众美中学2025-2026学年度第二学期高二期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知f′x是函数fx的导函数，若fx=xA.−4 B.−3 C.3 D.42.1x+x2A.15 B.12 C.30 D.63.函数fx=8lnx−A.−∞,−2∪2,+∞ B.−2,2

C.0,2 4.从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是(

)A.115 B.215 C.1125.已知函数fx=alnx+x2在x=1处的切线方程为3x−y−b=0A.−1 B.3 C.4 D.56.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球！其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：①平稳落地(概率为0.7)：动作精准，必定能站稳；②踉跄落地(概率为0.2)：重心略偏，90%能站稳；③近乎倒地(概率为0.1)：姿态失衡，50%能站稳．则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为(

)

A.0.9 B.0.91 C.0.92 D.0.937.“ax+16的展开式中x2的系数为60”是“a=2”的(

)A.充要条件 B.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件 D.充分不必要条件8.已知函数f′x是函数fx的导函数，f1=e−1，对任意实数x都有fA.−∞,1 B.e,+∞ C.1,e D.1,+∞二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列求导正确的有(

)A.x2+sin2′=2x+cos2 10.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某中学计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门校本课程，每月一门，连续开设六个月，则下列说法正确的是(

)A.若学生甲和乙各自从中任选2门，则他们共有225种不同的选法

B.若课程“乐”排在“书”前面，则课程共有240种排法

C.若课程“射”、“御”排在不相邻的两个月，则课程共有480种排法

D.若课程“数”不排在第一个月，课程“礼”不排在第六个月，则课程共有384种排法11.已知3x−13n=a0+aA.n=11 B.展开式的二项式系数和为211

C.展开式的各项系数和为8312三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.计算A113÷C102+13.函数y=x2−5在区间1,2上的平均变化率为

14.已知随机事件A,B互相独立，且满足PA∪B=34,PA∣B=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在15件产品中，有10件是一级品，5件二级品，从中一次任意抽取3件产品，求：(1)抽取的3件产品全部是一级品的概率；(2)抽取的3件产品中至多有1件是二级品的概率．16.(本小题15分)已知fx(1)求曲线y=fx在点1,f(2)求函数y=fx的极值．17.(本小题15分)在x+2x(1)求n的值并求展开式中的常数项；(2)求1+x2x+218.(本小题17分)某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为12，选择乒乓球的概率为13；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为23，选择乒乓球的概率为13；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目(1)求甲第2天选择羽毛球的概率；(2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；(3)记甲第n(n∈N∗)天选择羽毛球的概率为Pn，请写出P19.(本小题17分)

已知函数f(x)=a2x2−3axlnx，a>0．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)讨论f(x)的零点个数；

(3)当a>3参考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.A

6.D

7.C

8.D

9.BCD

10.AC

11.ABD

12.6

13.3

14.51615.解：(1)记抽取的3件产品全部是一级品为事件A，

则事件A的概率P(A)=C103C153=2491；

(2)记抽取的3件产品中恰有1件是二级品为事件B，

则事件的概率P(B)=C16.解：(1)fx=lnx+1所以f1所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y−2=0(2)函数fx=lnx+1当0<x<1时，f′x<0；当x>1时，所以函数fx在0,1上单调递减，在1,+∞所以函数fx在x=1处取得极小值，极小值为f所以函数y=fx的极小值为2

17.解：(1)已知二项式系数和为64，则2n=64，解得则x+2x6令6−2r=0得r=3，∴x+2x(2)∵n=6，则问题为求1+x2x+由于1+x由(1)知x+2x6则x+2x6展开式中含xx+2x6展开式中含x∴1+x2x+2x6

18.解：(1)设事件A1,A2,A3分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，

依题意，P(A1)=P(且B2=(2)由贝叶斯公式，得所求概率为P((3)设甲第n(n∈N∗)天选择羽毛球的概率为Pn，甲第由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为13，得Rn=从而选择篮球的概率为Sn当n≥2时，由全概率公式，得Pn的递推关系为P而Rn−1=13，Sn−1

19.解：(1)当a=1时，f(x)=x2−3xlnx，f(1)=1，

f′(x)=2x−3lnx−3，f′(1)=−1，

所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−1=−1(x−1)，即x+y−2=0，

曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x+y−2=0；

(2)因为a>0，x>0，令f(x)=a2x2−3axlnx=0得ax−3lnx=0，即a=3lnxx，

令g(x)=3lnxx(x>0)，所以f(x)的零点个数等价于y=g(x)与y=a的图象交点的个数，

又因为g′(x)=3(1−lnx)x2，当0<x<e时，g′(x)>0，当x>e时，g′(x)<0，

所以函数g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，

且g(1)=0，有极大值也是最大值g(e)=3e，

如图：

由图可知，当a>3e时，函数y=g(x)与y=a的图象无交点；

当a=3e时，函数y=g(x)与y=a的图象有1个交点；

当0<a<3e时，函数y=g(x)与y=a的图象有2个交点，

综上，a>3e时，f(x)的零点个数为0；a=3e时，f(x)的零点个数为1；

0<a<3e时，f(x)的零点个数为2；

(3)证明：①当x≥1时，f′(x)=2a2x−3a(lnx+1)=a(2ax−3lnx−3)，

令h(x)=2ax−3lnx−3，h′(x)=2a−3x=2ax−3x，

因为x≥1，a>0，所以2ax≥2a，而a>32，即2ax≥2a>3，2ax−3>0，h′(x)>0，

所以h(x)在区间[1,+∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)=2a−3>0，即f′(x)>0，

所以f(x)在区间[1,+∞)上单调递增．所以f(