广东广州市增城区六校2025-2026学年高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页广东广州市增城区六校2025-2026学年高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是(

)

A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱2.复数z=2+ii的共轭复数z=A.2+i B.2−i C.1+2i D.1−2i3.在下列向量组中，可以把向量a⇀=(3,2)表示出来的是(

)A.e1=(0,0)，e2=(1,2) B.e1=(−1,2)，e2=(5,−2)

C.4.如图所示，点E为△ABC的边AC的中点，F为线段BE上靠近点B的三等分点，则AF=(

)

A.13BA+23BC B.45.已知α,β为两个不同的平面，m,n,l为三条不同的直线，则下列结论中正确的是(

)A.若m//α,n//α，则m//n B.若α//β,m⊂α,n⊂β，则m//n

C.6.▵ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，则BC边上的高为(

)A.7 B.372 C.7.已知△ABC所在的平面上的动点P满足AP=|AB|AC+|AC|ABA.重心 B.外心 C.内心 D.垂心8.在等边▵ABC中，AB=2，P为▵ABC所在平面内的一个动点，若PC=1，则PA⋅PBA.4 B.3+23 C.2+3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若复数z满足i⋅z=1+3i(i是虚数单位)，则下列说法正确的是(

)A.z=3−i B.z的模为4

C.z在复平面内对应的点位于第四象限 D.z−210.已知向量a=(−2,1),b=(1,t)，则下列说法正确的是A.若a//b，则t=−12

B.若a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是t<2

C.若a+b⊥a−11.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别是正方形ABCD，BCC1A.A1M//D1N

B.AB与D1N共面

C.平面A1D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=−3+ai(a∈R)对应的点到原点的距离是a+1，则实数a=

．13.已知平面向量a=1,−1,b=t,2，若a+14.如图，两个正交的全等正四面体(每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点)，若正四面体棱长为2，则这两正交四面体公共部分的体积为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3(1)求B;(2)若b=7，c=316.(本小题15分)如图是一块正四棱台ABCD−A1B1C1D(1)求四棱台ABCD−A(2)现要将这块工艺石料最大限度打磨为一个圆台造型，求圆台O−O117.(本小题15分)如图，ABCD，ABEF是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点．

(1)证明：D，G，H，F四点共面．(2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点．(3)证明：平面GBH//平面DAF．18.(本小题17分)▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(1)求角C的值

(2)若c=7，▵ABC的面积为3(3)若▵ABC为锐角三角形，且c=2，求▵ABC的周长取值范围．19.(本小题17分)定义函数fx=msinx+ncosx的“源向量”为OM=(1)若向量OM=1,3的“伴随函数”为fx(2)若函数gx=3sinx+α的“源向量”为OM，且以O为圆心，OM为半径的圆内切于正▵ABC(顶点C恰好在(3)在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若函数hx的“源向量”为OM=0,1，且已知a=8,hA=参考答案1.C

2.C

3.B

4.C

5.C

6.B

7.C

8.B

9.ACD

10.AD

11.BCD

12.4

13.0

14.215.解：(1)因为3bsinC−ccosB=0，

利用正弦定理：3sinBsinC−sinCcosB=0，

由于0<A、B、C<π，

所以sinC≠0，

所以3sinB−cosB=0，即tanB=33，

故B=π6；

(2)因为b=16.解：(1)正四棱台侧面是全等的等腰梯形，分别取B1C1，BC中点M，N，连接O1M，ON，MN，

作MH⊥ON交ON于H，如图所示，

因为OO1//MH，O1M//OH，且O1O⊥OH，则四边形OHMO1为矩形，

则O1O=MH=3dm，O1M=1dm，ON=2dm，HN=ON−OH=1dm，

所以MN=MH2+HN2=9+1=10dm，

所以四棱台ABCD−A1B1C1D117.证明：(1)连接CE，四边形ABCD，ABEF是两个全等的矩形，

可得DC=AB，且CD=AB，EF/​/AB，且EF=AB，

所以DC/​/EF且DC=EF，所以四边形CDFE为平行四边形，

所以DF/​/CE，且DF=CE，

因为G，H分别是BC，BE的中点，可得GH//CE且HG=12CE，

所以GH/​/DF且GH=12DF，

可证得D，G，H，F四点共面；

(2)由(1)可得GH=12DF，且D，G，H，F四点共面，

可得DG与FH相交，

设DG∩FH=M，

因为DG⊂平面ABCD，所以M∈平面ABCD，

同理可得M∈平面ABEF，

所以点M在平面ABCD与平面ABEF的交线上，而平面ABCD∩平面ABEF=AB，

所以M∈AB，

即证得直线DG，AB，FH经过同一点M；

(3)由(1)可得HG//DF，BG//AD，

又因为DF⊂平面ADF，HG⊄平面ADF，

所以HG/​/平面ADF，

同理可得BG/​/平面ADF，

而HG∩BG=G，HG，BG⊂平面BHG18.解：(1)已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC，

整理得：2cosCsin(A+B)=sinC，

∵sinC≠0，sin(A+B)=sinC，

∴cosC=12，

又0<C<π，

∴C=π3；

(2)由余弦定理得7=a2+b2−2ab⋅12，

∴(a+b)2−3ab=7，

∵S=12absinC=34ab=332，

∴ab=6，

∴(a+b)2−18=7，

∴a+b=5，

19.解：(1)函数fx的“源向量”为

OM=(1,所以f(x)=sinx+所以函数

fx

的值域为−2,2(2)因为

g(x)=3sin(x+α)=3cosαsinx+3sinαcosx，

故gx=3sinx+α所以M(3cosα,3sinα)，MB=(3−则

MA2+MB2因此可得

MA2+(3)如下图所示：

函数hx的“源向量”为

OM=0,1则

hx=cosx

则