四川字节精准教育联盟2026年普通高等学校招生全国统一考试冲刺数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页四川字节精准教育联盟2026年普通高等学校招生全国统一考试冲刺数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={x∈Z|(x−2)(x2−3)=0}，集合B={x|x2A.{−3,3,2} B.{3,2}2.已知复数z=i1+2i，则z⋅zA.15 B.15i C.43.已知等差数列an的前4项和S4=16，a5−a3=4，等比数列bnA.81 B.243 C.27 D.7294.某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型y=N0ekt(其中y为感染人数，N0为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数).已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人.若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第(    )天启动.(参考数据：ln2≈0.7A.6 B.7 C.8 D.95.x−y+35的展开式中，x3y的系数为A.80 B.60 C.−80 D.−606.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x1,x2∈0,+∞,xA.(−∞,13)∪(1,+∞) B.(1,+∞)

C.(7.设O为坐标原点，F1,F2为椭圆C:x29+y26A.253 B.533 C.8.已知函数f(x)=e(a+1)x+ax，若对任意x∈(0,+∞),f(x)≥lnx恒成立，则实数A.1e2−1 B.1e−1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分.随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分(单位：分)如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7.下列说法正确的是(

)A.该样本的70%分位数为7分 B.该样本的极差为5分

C.用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D.用样本方差估计总体方差，其值约为1.810.将函数y=sin2x的图象向左平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则A.函数g(x)的图象的一条对称轴为直线x=π2

B.函数g(x)的图象的一个对称中心为(π2,0)

C.函数g(x)的周期为π211.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处(A1∉平面ABCD)，若M为线段A1C的中点，平面A1DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线A1E与平面DEBCA.存在某个位置，使得BM⊥A1D

B.△A1EC面积的最大值为22

C.sinα=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若a>0,b>0，且ab=a+b，则ab的最小值是

．13.已知圆C1：x2−4x+y2−6y+12=0，圆C2：(x−3)2+(y−4)2=9，M，N分别是圆C1，C214.有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(X)=

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数φnn∈N∗的函数值等于所有不超过正整数φ1=1，φ2=1，φ3=2，φ4=2，φ8=4，φ9=6，(1)求φ6，φ10，(2)已知数列an满足an=12n⋅φ3(3)若数列4Sn−12n−1n∈N∗的前n项和为T注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1．16.(本小题15分)

甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢.假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为25，各局比赛相互独立.已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了X局后比赛结束．

(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；

(2)求X的分布列及期望．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=ln(x+1)x(x>0)，g(x)=f(x)+f(1x)．

(1)令h(x)=xf(x)，求h(x)在点(e−1,h(e−1))处的切线方程；

(2)讨论g(x)在(0,1)上的单调性；

(3)证明：(i)当x>0时，18.(本小题17分)已知双曲线E的方程为x2a2(1)若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率；(2)若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点．(i)当M是△OPQ的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程；(ii)当OP⊥OQ时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切．19.(本小题17分)如图①，在▵ABC中，AB=3，点D是边AB上一点，且AD=2DB，DC=2．

(1)若DC平分∠ACB时，求∠ACB的大小；(2)如图②，将△ADC沿DC翻折至▵PDC，使平面PDC⊥平面BDC．(i)当三棱锥P−BDC的体积最大时，求三棱锥P−BDC的外接球的表面积；(ii)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值的最大值．

参考答案1.C

2.A

3.B

4.B

5.D

6.A

7.B

8.B

9.BCD

10.BD

11.BCD

12.4

13.514.612515.解：(1)因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以φ6因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1，3，7，9，所以φ10所有不超过正整数3n的正整数有3n个，其中与3n不互素的正整数有1×3，2×3，3×33n−1×3，共所以所有不超过正整数3n，且与3n互素的正整数的个数为即φ3(2)Sn3S两式相减得−2SSn(3)由(2)可知4Tnλ⋅Tn+令bn则bn+1可得b2>b1；当n>2时，bn+1所以bn=2故λ≥2

16.解：(1)情况1：在接下来的比赛中，甲连赢4局，则甲获胜，

概率为25×25×25×25=16625；

情况2：在接下来的比赛中，甲嬴3局，乙赢1局，则甲获胜，

概率为C43⋅(25)3⋅35=96625，

X24P916X的期望为E(X)=2×92517.x−ey+1=0

g(x)在(0,1)单调递增

证明：(i)令t(x)=ln(x+1)−xx+1(x>0)，则t′(x)=1x+1−1(x+1)2=x(x+1)2>0，

所以t(x)在(0,+∞)上单调递增，所以t(x)>t(0)=0，即当x>0时t(x)>0，

所以当x>0时，ln(x+1)>xx+1；(ii)由(i)可知当x>0时，f(x)>1x+1，故g(x)=f(x)+f(1x)>1x+1+11x+1=1，18.解：(1)双曲线E的渐近线方程为y=±bax，若点M则ba=1，所以(2)设P，Q的坐标分别为(x1,y1)，所以1a(i)因为P，Q在双曲线E上，所以x1作差可得(x1+因为M是△OPQ的重心，所以0+x1+x2又因为直线PQ的斜率为2，所以b2×3a代入1a2−所以双曲线E的方程为2x(ii)因为OP⊥OQ，直线PQ不可能垂直于y轴，所以设直线PQ的方程为x=my+n，代入x2a2所以Δ>0,y因为OP⊥OQ，所以x1x2即(m化简得n2所以原点到直线PQ的距离d=|n|1+m2

19.解：(1)因为AD=2DB，所以S△ADC即12若DC平分∠ACB，则sin∠ACD=sin∠BCD设BC=a，则AC=2a，因为CD=2，AD=2，所以cos∠ACD=由cos∠ACD=cos∠BCD解得a=3，即所以cos∠ACB=又0∘<∠ACB<180(2)(i)设∠BDC=θ，作AO⊥DC，垂足为O，所以PO⊥DC，因为平面PDC⊥平面BDC，平面PDC∩平面BDC=DC，PO⊂平面PDC，所以PO⊥平面BDC.又PO=AO=2sinθ，所以VP−BDC当且仅当θ=90∘时取最大值，此时BD⊥CD，PD⊥BD，即BD，CD，设三棱锥P−BDC的外接球半径为R，则2R=所以三棱锥P−BDC的外接球的表面积为4πR(ii)如图，以OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设∠BDC=∠ODA=θ，则A(0,2sinθ,0)，B(3cosθ,−s