五年级上册数学多边形面积计算竞赛题

五年级上册数学多边形面积计算竞赛题一、基础概念回顾在解决多边形面积计算问题前，我们需要先回顾一些基础概念。多边形是由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的封闭图形，常见的多边形包括三角形、平行四边形、梯形等。这些图形的面积计算是五年级数学的重要内容，也是竞赛题中常见的考点。（一）三角形面积三角形的面积公式为：面积=底×高÷2，用字母表示为(S=\frac{1}{2}ah)（其中(a)表示底，(h)表示这条底对应的高）。需要注意的是，三角形的高必须与底相对应，即从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段就是这条底边上的高。例如：一个三角形的底是8厘米，高是5厘米，那么它的面积就是(8×5÷2=20)平方厘米。如果底和高不对应，计算出的面积就会错误。（二）平行四边形面积平行四边形的面积公式为：面积=底×高，用字母表示为(S=ah)（其中(a)表示底，(h)表示这条底对应的高）。平行四边形的高是从一条边到对边的垂直距离，与三角形类似，高也必须与底相对应。例如：一个平行四边形的底是6分米，高是4分米，它的面积就是(6×4=24)平方分米。如果将平行四边形拉成一个长方形，它的面积会变大，因为长方形的宽（相当于平行四边形的高）变长了。（三）梯形面积梯形的面积公式为：面积=（上底+下底）×高÷2，用字母表示为(S=\frac{1}{2}(a+b)h)（其中(a)表示上底，(b)表示下底，(h)表示高）。梯形的高是两底之间的垂直距离，上底和下底是梯形中平行的两条边。例如：一个梯形的上底是3米，下底是5米，高是2米，它的面积就是((3+5)×2÷2=8)平方米。如果梯形的上底和下底相等，那么它就变成了平行四边形，此时面积公式也可以用平行四边形的面积公式计算。二、常见竞赛题型分析（一）直接应用公式计算这类题目通常会给出图形的底、高、上底、下底等数据，要求直接应用面积公式计算。虽然看起来简单，但需要注意单位是否统一，以及底和高是否对应。例题1：一个三角形的底是12厘米，高是8厘米，求它的面积。解答：根据三角形面积公式(S=\frac{1}{2}ah)，代入数据可得(S=\frac{1}{2}×12×8=48)平方厘米。例题2：一个平行四边形的底是15分米，高是10分米，求它的面积。解答：根据平行四边形面积公式(S=ah)，代入数据可得(S=15×10=150)平方分米。例题3：一个梯形的上底是4米，下底是6米，高是3米，求它的面积。解答：根据梯形面积公式(S=\frac{1}{2}(a+b)h)，代入数据可得(S=\frac{1}{2}×(4+6)×3=15)平方米。（二）已知面积求底或高这类题目会给出图形的面积和其中一个量（底或高），要求求出另一个量。需要灵活运用面积公式进行逆运算。例题4：一个三角形的面积是36平方厘米，底是9厘米，求它的高。解答：根据三角形面积公式(S=\frac{1}{2}ah)，可得(h=2S÷a)。代入数据可得(h=2×36÷9=8)厘米。例题5：一个平行四边形的面积是120平方米，高是8米，求它的底。解答：根据平行四边形面积公式(S=ah)，可得(a=S÷h)。代入数据可得(a=120÷8=15)米。例题6：一个梯形的面积是40平方分米，上底是3分米，下底是5分米，求它的高。解答：根据梯形面积公式(S=\frac{1}{2}(a+b)h)，可得(h=2S÷(a+b))。代入数据可得(h=2×40÷(3+5)=10)分米。（三）组合图形面积计算组合图形是由两个或两个以上的基本图形（三角形、平行四边形、梯形等）组合而成的图形。计算组合图形的面积时，通常有两种方法：分割法和补全法。1.分割法将组合图形分割成几个基本图形，分别计算它们的面积，然后相加。例题7：计算下图的面积（单位：厘米）。（图形描述：一个长方形上面有一个三角形，长方形的长是10厘米，宽是6厘米，三角形的底是10厘米，高是3厘米）解答：将图形分割成长方形和三角形。长方形面积：(10×6=60)平方厘米三角形面积：(\frac{1}{2}×10×3=15)平方厘米组合图形面积：(60+15=75)平方厘米2.补全法将组合图形补成一个基本图形，用补成的图形面积减去缺少部分的面积。例题8：计算下图的面积（单位：米）。（图形描述：一个大长方形，长是12米，宽是8米，右上角缺少一个小正方形，小正方形的边长是3米）解答：将图形补成一个大长方形，然后减去小正方形的面积。大长方形面积：(12×8=96)平方米小正方形面积：(3×3=9)平方米组合图形面积：(96-9=87)平方米（四）等积变形问题等积变形是指在图形的形状发生变化时，面积保持不变。这类问题通常需要利用“等底等高的三角形面积相等”“平行四边形的面积与底和高有关”等性质来解决。例题9：如下图，平行四边形ABCD的面积是48平方厘米，E是BC的中点，求三角形AED的面积。（图形描述：平行四边形ABCD，BC边的中点是E，连接AE、DE）解答：因为E是BC的中点，所以BE=EC=(\frac{1}{2}BC)。三角形ABE的面积：(\frac{1}{2}×BE×高)，三角形DCE的面积：(\frac{1}{2}×EC×高)。由于平行四边形的高与三角形的高相同，所以三角形ABE和三角形DCE的面积之和为(\frac{1}{2}×(BE+EC)×高=\frac{1}{2}×BC×高=\frac{1}{2}×平行四边形面积=\frac{1}{2}×48=24)平方厘米。因此，三角形AED的面积=平行四边形面积-三角形ABE面积-三角形DCE面积=(48-24=24)平方厘米。例题10：如下图，三角形ABC的面积是36平方厘米，D是AB的中点，E是AC的中点，求三角形ADE的面积。（图形描述：三角形ABC，AB边的中点是D，AC边的中点是E，连接DE）解答：因为D、E分别是AB、AC的中点，所以DE是三角形ABC的中位线，DE平行于BC且DE=(\frac{1}{2}BC)。三角形ADE与三角形ABC相似，相似比为(1:2)，所以面积比为(1:4)。因此，三角形ADE的面积=(36÷4=9)平方厘米。（五）阴影部分面积计算阴影部分面积计算是竞赛题中的常见题型，通常需要通过观察图形，找出阴影部分与基本图形的关系，然后利用面积公式计算。例题11：如下图，正方形的边长是8厘米，求阴影部分的面积。（图形描述：正方形，边长为8厘米，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画四分之一圆，阴影部分是正方形中除了四分之一圆以外的部分）解答：阴影部分面积=正方形面积-四分之一圆面积。正方形面积：(8×8=64)平方厘米四分之一圆面积：(\frac{1}{4}×π×8²=16π≈50.24)平方厘米阴影部分面积：(64-50.24=13.76)平方厘米例题12：如下图，长方形的长是10厘米，宽是6厘米，求阴影部分的面积。（图形描述：长方形，长10厘米，宽6厘米，对角线将长方形分成两个三角形，阴影部分是其中一个三角形）解答：阴影部分是长方形的一半，所以面积=(\frac{1}{2}×10×6=30)平方厘米。三、解题技巧与方法总结（一）认真审题，明确条件在解决多边形面积计算问题时，首先要认真审题，明确题目中给出的条件，包括图形的形状、底、高、上底、下底等数据，以及单位是否统一。如果单位不统一，需要先进行单位换算。（二）选择合适的公式根据图形的形状，选择合适的面积公式。例如，三角形用(S=\frac{1}{2}ah)，平行四边形用(S=ah)，梯形用(S=\frac{1}{2}(a+b)h)。对于组合图形，需要先判断是用分割法还是补全法，然后选择相应的公式。（三）注意图形的变换在等积变形问题中，要注意图形的形状变化，但面积保持不变。可以利用“等底等高的三角形面积相等”“平行四边形的面积与底和高有关”等性质来解决问题。（四）多做练习，积累经验多边形面积计算需要多做练习，积累经验。通过练习，可以熟悉各种题型，掌握解题技巧，提高解题速度和准确性。四、拓展训练题（一）基础题一个三角形的底是15厘米，高是10厘米，求它的面积。一个平行四边形的面积是180平方分米，底是12分米，求它的高。一个梯形的上底是5米，下底是7米，高是4米，求它的面积。（二）提高题如下图，计算组合图形的面积（单位：厘米）。（图形描述：一个梯形上面有一个三角形，梯形的上底是4厘米，下底是8厘米，高是3厘米，三角形的底是8厘米，高是2厘米）如下图，三角形ABC的面积是40平方厘米，D是BC的中点，E是AD的中点，求三角形ABE的面积。（图形描述：三角形ABC，BC边的中点是D，AD边的中点是E，连接BE）（三）竞赛题如下图，正方形的边长是10厘米，以正方形的四个顶点为圆心，边长为半径画四个四分之一圆，求阴影部分的面积。（图形描述：正方形，边长为10厘米，四个顶点各画一个四分之一圆，阴影部分是四个四分之一圆的重叠部分）如下图，平行四边形ABCD的面积是60平方厘米，E、F分别是AB、BC的中点，求阴影部分的面积。（图形描述：平行四边形ABCD，AB边的中点是E，BC边的中点是F，连接DE、DF，阴影部分是三角形DEF）五、答案与解析（一）基础题答案(\frac{1}{2}×15×10=75)平方厘米(180÷12=15)分米(\frac{1}{2}×(5+7)×4=24)平方米（二）提高题答案梯形面积：(\frac{1}{2}×(4+8)×3=18)平方厘米三角形面积：(\frac{1}{2}×8×2=8)平方厘米组合图形面积：(18+8=26)平方厘米因为D是BC的中点，所以三角形ABD的面积=(\frac{1}{2}×三角形ABC面积=\frac{1}{2}×40=20)平方厘米因为E是AD的中点，所以三角形ABE的面积=(\frac{1}{2}×三角形ABD面积=\frac{1}{2}×20=10)平方厘米（三）竞赛题答案四个四分之一圆的面积之和=(4×\frac{1}{4}×π×10²=100π≈314)平方厘米正方形面积=(10×10=100)平方厘米阴影部分面积=四个四分之一圆的面积之和-正方形面积=(314-100=214)平方厘米连接AC，因为E、F分别是AB、BC的中点，所以三角形ADE的面积=(\frac{1}{4}×平行四边形面积=\frac{1}{4}×60=15)平方厘米三角形DCF的面积=