2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-第2讲 常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第2讲

常用逻辑用语1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.2.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.4.理解全称量词与存在量词的意义.5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.6.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定．基础知识整合核心考向突破课时作业目录基础知识整合1．充分条件、必要条件与充要条件充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要2.全称量词和存在量词(1)全称量词有“所有的”“任意一个”“任给一个”，用符号“__”表示；存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”，用符号“__”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为______________．(3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为______________．∀∃∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)3．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)_______________∃x∈M，p(x)_______________1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A

B，则p是q的充分不必要条件；(5)若A

B，则p是q的必要不充分条件；(6)若A

B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．总结：小推大，大不可推小．2．常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于(＝)大于(>)小于(<)是否定词语不等于(≠)不大于(≤)不小于(≥)不是正面词语都是任意的所有的至多有一个至少有一个否定词语不都是某个某些至少有两个一个也没有1．(人教A必修第一册习题1.5T3(1)改编)命题“∃x∈Q，|x|∈N”的否定是(

)A．∀x∉Q，|x|∉N B．∀x∈Q，|x|∈NC．∃x∉Q，|x|∉N D．∀x∈Q，|x|∉N解析：存在量词命题的否定需要把存在量词改为全称量词，并否定结论．故选D.2．(2025·内蒙古赤峰模拟)已知p：x(x－1)＝0，q：x＝1，则p是q的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：x(x－1)＝0⇒x＝0或x＝1，因此由p：x(x－1)＝0不能推出q：x＝1，但是由q：x＝1一定能推出p：x(x－1)＝0，所以p是q的必要不充分条件．故选B.3．(人教A必修第一册习题1.4T6改编)在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：在△ABC中，若AB2＋BC2＝AC2，则∠B＝90°，即△ABC为直角三角形；若△ABC为直角三角形，推不出∠B＝90°，所以AB2＋BC2＝AC2不一定成立．综上，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的充分不必要条件．故选A.4．(人教A必修第一册1.5.2练习T2改编)“等边三角形都是等腰三角形”的否定是_______________________________________．解析：全称量词命题的否定是存在量词命题．故命题的否定是存在一个等边三角形，它不是等腰三角形．存在一个等边三角形，它不是等腰三角形5．已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．解析：由已知，得{x|2<x<3}

{x|x>a}，所以实数a的取值范围是(－∞，2]．(－∞，2]核心考向突破考向一充分、必要条件的判断(2)设乙的充分不必要条件是甲，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件(3)(2025·江苏常州期末)已知a，b，c∈R，则“a＝b＝c”是“a，b，c既是等差数列又是等比数列”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：当a＝b＝c＝0时，a，b，c不是等比数列，充分性不成立；当a，b，c既是等差数列又是等比数列时，a＝b＝c≠0，必要性成立，所以“a＝b＝c”是“a，b，c既是等差数列又是等比数列”的必要不充分条件．故选B.判断充分、必要条件的两种方法(1)定义法(2)集合法基本思路根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断适用范围多适用于命题中涉及字母取值范围的推断问题解题技巧抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，简记为“小充分，大必要”1.(2025·江苏扬州模拟)已知集合A＝{0，a2}，B＝{1，a＋1，a－1}，则“a＝1”是“A⊆B”的(

)A．必要不充分条件

B．充分不必要条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：当a＝1时，A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则A⊆B；反之，当A⊆B时，a＋1＝0或a－1＝0，解得a＝－1或a＝1，若a＝－1，A＝{0，1}，B＝{0，1，－2}，满足A⊆B，若a＝1，显然满足A⊆B，因此a＝－1或a＝1，所以“a＝1”是“A⊆B”的充分不必要条件．故选B.考向二

根据充分、必要条件求参数的范围已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)若“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则m的取值范围为________；(2)若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则m的取值范围为_________．[0，3][9，＋∞)由充分、必要条件求参数范围的策略巧用转化求参数把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形端点值慎取舍在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍

(2024·山东济南二模)已知A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围是(

)A．{a|a≤1} B．{a|a≥1}C．{a|a≤2} D．{a|a≥2}解析：因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以A

B，所以a≥2.故选D.考向三

全称量词命题与存在量词命题1．判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路2．写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤1.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(

)A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数解析：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．2．已知P，Q为R的两个非空真子集，若∁RQ∁RP，则下列结论正确的是(

)A．∀x∈Q，x∈P B．∃x∈∁RP，x∈∁RQC．∃x∉Q，x∈P D．∀x∈∁RP，x∈∁RQ解析：因为∁RQ∁RP，所以P

Q，如图，对于A，由题意知P是Q的真子集，故∃x∈Q，x∉P，故A不正确；对于B，由∁RQ是∁RP的真子集且∁RQ，∁RP都不是空集知，∃x∈∁RP，x∈∁RQ，故B正确；对于C，由P是Q的真子集知，∀x∉Q，x∉P，故C不正确；对于D，∁RQ是∁RP的真子集，故∃x∈∁RP，x∉∁RQ，故D不正确．故选B.角度2由命题的真假求参数的取值范围(2025·陕西渭南模拟)已知a∈R，命题p：∀x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若命题p，q均为真命题，则实数a的取值范围是________________．解析：若命题p为真命题，则∀x∈[1，2]，a≤x2恒成立，又当x∈[1，2]时，x2的最小值为1，所以a≤1；若命题q为真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．(－∞，－2]∪{1}由命题的真假求参数取值范围的策略(1)全称量词命题可转化为恒成立问题，存在量词命题可转化为存在性问题．(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．(2025·黑龙江大庆模拟)已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是________________________．解析：若原命题为真命题，则∃x∈{x|－2<x<3}，使得m＝2x成立，则-4<m<6，故若原命题为假命题，则实数m的取值范围是(－∞，－4]∪[6，＋∞)．(－∞，－4]∪[6，＋∞)课时作业一、单项选择题1．(2024·广东梅州一模)命题“∃x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”的否定是(

)A．∃x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．∃x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1C．∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1D．∀x∉(0，＋∞)，lnx＝x－1解析：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1”．故选C.3．(2025·天津北辰区模拟)对于实数x，“x≠5”是“|x－3|≠2”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件解析：因为|x－3|≠2等价于x≠1且x≠5，且(－∞，1)∪(1，5)∪(5，＋∞)是(-∞，5)∪(5，＋∞)的真子集，所以“x≠5”是“|x－3|≠2”的必要不充分条件．故选B.4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(

)A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q解析：因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P.故选B.6．(2025·云南昆明一中阶段考试)已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(

)A．{a|a＜1} B．{a|a≤1}C．{a|a＞1} D．{a|a≥1}8．(2025·云南名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(

)A．[－1，0] B．(－1，0)C．[4，＋∞) D．(4，＋∞)10．(2025·湖南长沙一中模拟)下列命题中，是真命题的是(

)A．∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0B．若x＋y≥6，则x，y中至少有一个数大于3C．∃x∈R，2x<x2D．命题“∃x<0，x2－x－2<0”的否定是“∀x≥0，x2－x－2≥0”解析：对于A，当x≥0时，x3≥0，所以x3＋x≥0，故A是真命题；对于B，取x＝3，y＝3，显然为假命题，故B是假命题；对于C，取x＝－1，因为2－1<(－1)2，故C是真命题；对于D，命题“∃x<0，x2－x－2<0”的否定是“∀x<0，x2－x－2≥0”，故D是假命题．故选AC.11．命题“∃x∈[1，2]，x2≤a”为真命题的一个充分不必要条件是(

)A．a≥1 B．a≥4C．a≥－2 D．a＝4解析：命题“∃x∈[1，2]，x2≤a”等价于a≥1，即命题“∃x∈[1，2]，x2≤a”为真命题，所对应的a的取值范围为[1，＋∞)，所求的一个充分不必要条件所对应的集合真包含于[1，＋∞)，显然只有B，D正确．故选BD.三、填空题12．《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的__________(填“充分条件”“必要条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”)．解析：由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件．必要条件13．(2025·江西九江模拟)已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是__________．解析：因为命题“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，所以Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.(－∞，4]14．若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数．(1)若A是B的充要条件，则b＝________；(2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________．四、解答题15．已知集合A＝{x|(x－2)(x－3)≤0}，B＝