实际问题与一元一次不等式（第二课时）导学案（人教版七年级下册）

实际问题与一元一次不等式（第二课时）导学案（人教版七年级下册）

一、教学内容与目标定位（【基础】、【重要】）

本节课是七年级下册第九章“不等式与不等式组”的核心内容，是在学生掌握了一元一次不等式的解法及其基本应用之后，对实际问题进行更深层次、更综合探究的关键课例。教学内容不仅限于将简单的实际问题转化为数学模型并求解，更侧重于引导学生面对蕴含复杂不等关系、方案选择或范围讨论的现实情境，学会分析问题中多个量之间的关联，挖掘隐含的不等关系，进而建立并解决不等式模型。本节课的教学，旨在完成从“技能性解不等式”向“模型化用不等式”的跨越，是培养学生数学建模素养和应用意识的重要载体。依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本课时的教学目标定位于以下三个维度：

1、知识与技能（【基础】）：能进一步熟练掌握寻找实际问题中蕴含的不等关系，能根据具体问题中的数量关系列出一元一次不等式（组），并正确求解。能够检验解的合理性，特别是解在实际背景下的特殊意义（如正整数解）。

2、过程与方法（【重要】）：通过探究“购物方案选择”、“旅游费用规划”等经典问题，经历“问题情境——建立模型——求解验证——解释应用”的数学建模过程。体会分类讨论思想在解决含不同优惠条件问题中的重要作用，感悟方程与不等式都是刻画现实世界数量关系的有效模型，并能根据问题需要灵活选择。

3、情感、态度与价值观（【热点】）：通过对生活实际问题的探讨，增强用数学的眼光观察世界、用数学的思维思考世界的意识。在小组合作与交流中，培养团队协作精神和批判性思维，感受数学在决策中的科学性与严谨性，形成初步的优化意识。

【教学重点】：将实际问题中的不等关系转化为一元一次不等式（组），掌握其基本步骤。

【教学难点】：在复杂的实际问题（如方案选择）中，如何根据题意确定分类讨论的标准，并综合运用不等式、方程进行比较和决策。

二、学情分析与教学策略

七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键阶段。他们对于生活中的“贵与便宜”、“多与少”有直观感受，这为理解不等关系提供了生活经验。通过前一课时的学习，学生已初步掌握了列一元一次不等式解简单应用题的步骤，能够处理如“至少多少分能晋级”之类的问题。然而，面对信息量较大、条件复杂且需要分类讨论的实际问题（如教材中的商场购物问题），学生往往会出现以下学习困难：一是信息提取不全面，难以从冗长的文字中剥离出关键的数量关系；二是标准难以确立，不知道为什么要分类、按什么标准分类；三是模型联结不畅通，不能灵活地将花费多少的比较转化为数学模型（不等式或方程）。针对以上学情，本节课将采用“问题链驱动+脚手架搭建”的教学策略。通过设置层层递进的问题串，引导学生逐步剖析问题核心，并通过类比方程、绘制示意图、列表对比等方式，为学生搭建思维的脚手架，化“难”为“趣”，化“繁”为“简”。

三、教学实施过程（核心环节）

（一）复习引入，搭建桥梁（预计5分钟）

【基础回顾】

教师通过多媒体展示一道热身题：用不等式表示下列语句中的数量关系。

（1）x的2倍与1的差不小于3；

（2）长跑比赛中，小明的速度是a米/秒，小刚的速度是b米/秒，小明比小刚跑得快。

设计意图：唤醒学生对不等式基本语言和符号的记忆，为后续寻找实际问题中的关键词（如“超过”、“不足”、“至少”等）做铺垫。

【承上启下】

教师设问：上一节课我们学会了用一元一次不等式解决诸如“知识竞赛晋级”这样的问题，大家回忆一下，解决这类问题的基本步骤是什么？引导学生回答出：审、设、找、列、解、答六步法。教师强调，其中最关键的一步就是“找”——寻找题目中蕴含的【不等关系】（【重要】）。今天，我们将在这个基础上，挑战更复杂的实际问题，看看如何利用不等式帮助我们做出最优的消费决策。

（二）探究新知，建模提升（预计25分钟）

1、经典问题探究——商场购物中的智慧（【重要】、【难点】、【高频考点】）

【情境呈现】（教材P133例3变式）

教师利用多媒体展示：甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，并且各自推出不同的优惠方案：

甲超市：累计购物超过100元后，超出100元的部分按9折收费。

乙超市：累计购物超过50元后，超出50元的部分按9.5折收费。

问题1（【基础】）：如果购物款总额为40元，你建议去哪家超市？为什么？（引导学生发现，未达到优惠门槛，两家花费相同。）

问题2（【基础】）：如果购物款总额为80元，去哪家更划算？为什么？（引导学生计算：甲超市无优惠，付80元；乙超市：50+30×0.95=78.5元，乙超市便宜。）

设计意图：通过具体数值的计算，让学生直观感知在不同消费额度下，优惠力度是不同的，从而自然引出分类讨论的必要性。

问题3（【重要】）：如果购物款总额为x元，请用含x的式子分别表示在甲、乙两家超市的实际花费。

（这是建立模型的关键一步。教师引导学生讨论x的取值范围，并分类表示。）

学生在教师引导下完成：

当x不超过50元时，甲：x；乙：x。

当x超过50但不超过100元时，甲：x；乙：50+0.95(x-50)。

当x超过100元时，甲：100+0.9(x-100)；乙：50+0.95(x-50)。

【核心探究】问题4（【难点】、【热点】）：随着x的变化，顾客到哪家超市购物更优惠？请给出一个详尽的购物建议。

教师将学生分成小组进行讨论，引导学生将问题转化为数学模型进行比较，即比较甲、乙两家超市花费的多少。

（1）当x不超过50元时，显然花费相同。

（2）当50<x≤100时，只需比较“x”与“50+0.95(x-50)”的大小。

设50+0.95(x-50)<x，解这个不等式，得到0.95x-47.5+50<x=>0.05x>2.5=>x>50。

即当50<x≤100时，不等式恒成立，说明此时乙超市花费总是少于甲超市。

（3）当x>100时，设甲超市花费为y甲=100+0.9(x-100)，乙超市花费为y乙=50+0.95(x-50)。

我们需要分三种情况进行比较：

①若y甲<y乙，即甲超市更划算：

100+0.9(x-100)<50+0.95(x-50)

解这个不等式：100+0.9x-90<50+0.95x-47.5

10+0.9x<2.5+0.95x

7.5<0.05x

x>150

②若y甲=y乙，即两超市花费一样：

100+0.9(x-100)=50+0.95(x-50)

解得：x=150

③若y甲>y乙，即乙超市更划算：

100+0.9(x-100)>50+0.95(x-50)

解得：x<150

【成果展示与归纳】

教师组织各小组代表汇报讨论结果，并在全班达成共识，最终形成完整的消费建议方案（【高频考点】）：

当购物总额不超过50元时，甲、乙两超市花费相同，任选一家。

当购物总额超过50元但不超过150元时，选择乙超市更划算。

当购物总额恰好为150元时，两家花费相同，任选一家。

当购物总额超过150元时，选择甲超市更划算。

设计意图：此环节是本课时的核心所在。它完全模拟了解决复杂现实问题的全过程：从特殊到一般，从具体数值计算到抽象符号运算，从单一模型到分类讨论。学生在解决问题的过程中，不仅巩固了列不等式解应用题的技能，更重要的是深刻体会了分类讨论的数学思想，以及如何将复杂的决策问题转化为清晰的数学模型，从而获得令人信服的结论。这极大提升了学生的逻辑思维能力和数学建模素养。

（三）变式拓展，深化理解（预计10分钟）

【分层挑战】

教师出示一个变式题，让学生独立尝试解决：

变式题：某单位计划组织员工去某地旅游，人数估计在25至40人之间。甲、乙两旅行社的服务质量相同，且报价均为每人1000元。甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的费用，其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游总费用较少？

设计意图：此问题是对上述商场购物问题的迁移和拓展，但不等关系略有不同。它涉及的是一个区间段内的人数变化。学生需要再次经历建模过程：设总人数为x人（25≤x≤40），分别表示出两家旅行社的总费用y甲=1000×0.75x，y乙=1000×0.8(x-1)，然后通过解不等式y甲y乙来寻找分界点。

【重点强调】教师在学生尝试后，重点强调两点：

（1）本题中人数x的取值范围是已知的，因此最后得出的结论必须结合这个范围来看。

（2）这是对“最优方案”问题的另一种形式（总价比较），和“单价比较”有异曲同工之妙，核心依然是找不等关系。

（四）巩固练习，当堂检测（预计8分钟）

【分层练习】

1、（【基础】）某校组织七年级学生参观科技馆，若租用38座客车若干辆，则正好坐满；若租用55座客车，则可少租一辆，并且有一辆车空余座位不足20个。求七年级学生的人数？

2、（【重要】、【高频考点】）某种商品的进价为400元，出售时标价为600元。商店准备在“五一”期间打折促销，但要保持利润率不低于10%。请计算一下，该商品最多可以打几折？

设计意图：两道题分别从不同角度考察了不等式的应用。第1题重点考察学生寻找隐含不等关系（空余座位不足20个）的能力；第2题则是经济生活中常见的“利润率”问题，要求学生理解“利润率不低于”就是“利润≥进价×利润率”，并能正确处理“打折”的含义。教师巡视，对学困生进行个别指导，并选取典型错误和优秀解法在全班进行点评。

（五）课堂小结，构建网络（预计2分钟）

教师引导学生从知识、方法、思想三个维度进行总结：

1、知识上：我们进一步巩固了用一元一次不等式解决实际问题的步骤。

2、方法上：当实际问题中涉及多种情况时，我们需要运用【分类讨论】的数学思想，化整为零，各个击破。

3、思想上：我们深刻体会了【建模思想】——将现实问题转化为数学问题，用数学的武器（不等式）解决它，这个过程就是数学的魅力所在。

四、教学反思与评价

本节课的设计严格遵循新课标理念，以学生为主体，以问题为主线，以发展学生数学核心素养为目标。通过精心设计的问题链，引导学生层层深入，不仅解决