河南省豫北名校2025-2026学年高二上学期阶段性测试（二）数学

河南省豫北名校高二上学期阶段性测试（二）数学试题一、单选题1．双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2．在1与64之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（

）A．2 B． C．4 D．83．已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（

）A． B．C． D．4．记为等差数列的前项和，若，则（

）A．7 B．9 C． D．5．已知圆的方程为，圆的方程为，则这两个圆的位置关系为（

）A．外切 B．相交 C．内切 D．内含6．如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（

）

A． B． C． D．7．已知抛物线的焦点为，点在上且均位于第一象限，若，且直线的斜率为，则（

）A．6 B． C． D．88．已知数列中，，设，则数列的前30项和为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知直线和圆，则下列说法正确的是（

）A．若直线过圆的圆心，则 B．若，则直线与圆相交C．若直线与圆相切，则 D．圆心到直线的最大距离为10．记为数列的前项和，已知，则（

）A．为等比数列 B．为等比数列C． D．11．如图，在正方体中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（

）A．是平面的一个法向量B．当时，C．若是平面的一个法向量，则恒成立D．直线与所成角的余弦值的最大值为三、填空题12．记为等比数列的前项和，若（为常数），则．13．已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为．14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为．四、解答题15．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3．(1)求的方程；(2)若直线与C交于两点（与坐标原点不重合），且满足，求与轴的交点坐标．16．记正项等比数列的前项和为，已知．(1)求；(2)证明：对任意正整数，总存在正整数，使得成等差数列．17．已知数列满足，．(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；(2)若数列满足，求的前项和；(3)设，求数列中的最小项．18．如图，正方形与梯形所在平面垂直，．(1)证明：；(2)证明：平面；(3)若点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．19．已知椭圆的右焦点为，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为，点在第一象限且，直线与的另一个交点为，以为直径作圆，判断直线与该圆的位置关系；(3)设是轴正半轴上的一点，直线与交于两点，求的取值范围．

1．C确定双曲线的标准方程，求出的值，即可求得答案.【详解】由双曲线可得其标准方程为，故，故双曲线的离心率为，故选：C2．B由已知结合等比数列的性质即可直接求解．【详解】设，则，所以，因为，所以所以．故选：B．3．D设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解.【详解】设所求圆的方程是.已知的三个顶点分别为，因为，且，所以是直角三角形，所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，即，所以的外接圆的方程为.故选：D4．A利用等差数列的通项公式和前项和公式，结合已知条件求出首项和公差，进而求出．【详解】是等差数列，设首项是，公差是，，，，，，，故A正确．故选：A．5．B利用两圆的圆心距和两圆半径和差的关系，判断两圆的位置关系.【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.因为，，，，所以圆与圆相交.故选：B6．A利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法求出点到平面的距离.【详解】由取的中点为，连接，则，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：

由，则，可得：，又因为为的中点，所以，即，设平面的一个法向量为，则，令，则，所以，则点到平面的距离为，故选：A.7．C作出图象，由抛物线的定义结合勾股定理计算可得.【详解】如图，作垂直于准线上两点，作于，由抛物线的定义可知，所以，又直线的斜率为，所以，即，所以在中，.故选：C.8．B由递推公式求出数列是周期数列，再结合等比数列求和公式求出数列的前项和.【详解】因为，则，且，所以，所以是周期为3的周期数列，因为，设数列的前30项和为，则数列的前30项和为，，所以，所以.故选：B.9．BD确定圆心的坐标，根据直线经过点求的值，判断A的真假；根据点到直线的距离小于圆的半径求的取值范围，判断B的真假；根据点到直线的距离等于圆的半径求的值，判断C的真假；问题转化为直线过定点，圆心到直线的最大距离为圆心与定点的距离，判断D的真假.【详解】对A：圆的圆心为，半径为2.若直线过圆的圆心，则.故A错误；对B：由.所以若，则直线与圆相交.故B正确；对C：由或，所以若直线与圆相切，则或.故C错误；对D：因为直线：，所以直线过定点，所以圆心到直线的最大距离.故D正确.故选：BD10．BCD利用两式作差可得，再转化为，从而可判断B，通过求出和，可判断A，再利用等比数列求和可判断C，利用错位相减法求和可判断D.【详解】由，可得：，两式相减得：，即，所以为等比数列，故B正确；再由，可得，即，当时，有，由于不满足上式，所以，故A错误；由，故C正确；由，则，两式相减得：，故D正确；故选：BCD11．ACD以为原点建系，利用坐标计算，再结合线面垂直的判定定理证明平面即可判断A；利用向量的加减运算化简即可判断B；求出的坐标，利用坐标计算即可判断C；求出，结合一元二次函数求最值判断D.【详解】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，则，故，即，又平面，故平面，故是平面的一个法向量，故A正确；当时，，则，故B错误；因为，所以，设，则，不妨令，则，又，则，故C正确；因为，所以，则，又，则，令，所以，令，则，当时有最小值，此时有最大值，故直线与所成角的余弦值的最大值为，故D正确.故选：ACD12．2根据条件，求出，的值，根据等比中项的性质，即可得答案.【详解】因为，所以，，因为为等比数列，所以，即，解得.故答案为：213．先分析两条直线是平行关系，那么中点在两条平行直线等距的直线上，求出那条直线，然后与联立即可求出答案.【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以，又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即.故答案为：.14．由双曲线的性质和定义求出坐标，进而求出，结合已知条件求出点坐标，进而求出，再根据三角形内切圆的性质列方程求出内切圆半径，最后根据面积公式求解．【详解】双曲线的左、右焦点分别为，，故，，故，点在双曲线的右支上且位于第一象限，则，，直线的斜率为，直线的方程为，联立直线与双曲线方程得，化简整理得，解得或（时，，不合题意舍去），，，，设的内切圆半径为，圆心为，则，即，，解得，的内切圆面积为．故答案为：．15．(1)(2)．（1）由题意结合抛物线的焦半径公式求出，即可得答案；（2）设，的方程为，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，结合，可得，即可求得的值，继而求出答案.【详解】（1）因为抛物线上一点到其焦点的距离为3，根据抛物线的定义，可知点到的准线的距离也为3，即得，即，故的方程为．（2）设，的方程为，由题意知，由，得，需满足，则因为，所以，解得或（舍去），所以的方程为，与轴的交点坐标为．16．(1)(2)证明见解析（1）根据条件求出公比和首项，再根据等比数列的通项公式求出；（2）利用等比数列的求和公式求出，再利用等差中项求出即可.【详解】（1）设正项等比数列的公比为，因为，所以，解得或（舍去）．由，代入得，所以，故．（2）由（1）得，所以，当时，，即，所以对任意正整数，只需令，即使得成等差数列．17．(1)证明见解析，(2)(3)．（1）将取倒数后，根据等差数列定义求解即可；（2）整理通项后，运用裂项相消求解；（3）运用作商求出数列单调性，即可求出数列最小项.【详解】（1）由题可知，则，即．所以是公差为的等差数列．所以，故．（2），则．故（3）由题意知，则，易知关于单调递增，当时，，当时，，所以，故数列中的最小项为．18．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)（1）方法一：利用空间向量证明线线垂直即可；方法二：连接，由面面垂直的性质定理和判定定理可得；（2）方法一：利用空间向量方法证明线面垂直即可；方法二：设与交于点，的中点为，连接，由中位线的性质结合线面平行的判定定理可得；（3）分别求出平面和平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得.【详解】（1）方法一：因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以两两互相垂直，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得．（1），所以，所以．方法二：如图，连接．因为，平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以．因为四边形是正方形，所以，又，，所以平面，平面，因此．（2）设平面的法向量为，因为，所以，取．则，又平面，所以平面．方法二：设与交于点，的中点为，连接．因为是的中点，是的中点，所以，且．因为，所以，，所以四边形是平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．（3），则，从而，所以．设平面的法向量为，则取．易知平面的一个法向量为．由题意知，化简整理得，解得或（舍去）．19．(1)(2)直线与该圆相切(3