第3课时完全平方公式的认识

第一章整式的乘除3乘法公式第3课时完全平方公式的认识A.

基础夯实1.

下列运算正确的是（B）.A.

（a＋b）2＝a2＋b2B.

（a＋b）（a－b）＝a2－b2C.

（a＋b）2＝a2＋ab＋b2D.

（－a－b）2＝a2－2ab＋b22.

（2025·深圳湾学校期中）若x2＋kx＋9能用完全平方公式因式分解，则k

的值为（C）.A.6B.

－4或8C.

－6或6D.0BC12345678910113.

乘法公式可以用几何图形验证，图中验证的乘法公式为（B）.A.

（3a＋b）（3a－b）＝9a2－b2B.

（3a－b）2＝9a2－6ab＋b2C.

（3a＋b）2＝9a2＋6ab＋b2D.

（3a－b）2＝9a2＋6ab＋b2B第3题图12345678910114.

（2024·福田区期末）已知a＋b＝5，ab＝2，则代数式a2－ab＋b2的值

为（C）.A.8B.18C.19D.25C12345678910115.

（2025·福田外国语学校期中）如图，用大小不同的两种正方形瓷砖铺设

走廊地面，点C在直线AB上，已知AB＝10米，两瓷砖面积之和S1＋S2＝56

平方米，则接缝处（阴影三角形）的面积为

平方米.第5题图111234567891011

12345678910116.

（2024·龙岗区月考）老师在黑板上书写了一个完全平方公式，随后用手

掌盖住了一项，形式如下：x2－6x＋

，则被手掌盖住的这一项为

⁠.7.

若（m－3）2＝4，则m2－6m＝

⁠.9－51234567891011

（2）（n＋1）2－n2；

解：（n＋1）2－n2＝（n＋1＋n）（n＋1－n）＝2n＋1.（3）（－2m－n）2；解：（－2m－n）2＝4m2＋4mn＋n2.1234567891011

（6）（a＋b＋c）2.解：（a＋b＋c）2＝（a＋b）2＋2c（a＋b）＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac

＋2bc＋c2.1234567891011B.

能力提升9.

计算：（1）（2x＋y）（x－2y）－（x－y）2；

解：（2x＋y）（x－2y）－（x－y）2＝2x2－4xy＋xy－2y2－x2＋2xy－y2＝x2－xy－3y2.（2）（2a＋b）（a－2b）＋（2a－b）2.解：（2a＋b）（a－2b）＋（2a－b）2＝2a2－4ab＋ab－2b2＋4a2－4ab＋b2＝6a2－7ab－b2.123456789101110.

计算：（1）（2x－7y）2；

解：原式＝（2x）2－2×2x×7y＋（7y）2＝4x2－28xy＋49y2.（2）x（x＋2）＋（x＋1）2－4x；

解：原式＝x2＋2x＋x2＋2x＋1－4x＝2x2＋1.（3）（a－4）（a＋2）－（a－1）2.解：原式＝a2－2a－8－（a2－2a＋1）＝a2－2a－8－a2＋2a－1＝－9.1234567891011C.

拓展思维11.

（2025·南山区麒麟中学期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代

数恒等式.（1）如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，

长、宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式

⁠

，这种验证思路体现了下列哪一个数学思想

⁠.A.

数形结合B.

分类讨论C.

类比推理D.

转化（a＋b）2

＝a2＋2ab＋b2A1234567891011解：题图1中大正方形的面积用“边长的平方”表示为（a＋b）2，用“各部

分面积之和”表示为a2＋2ab＋b2，利用数形结合的数学思想验证了公式

（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.故答案为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，A.

123456789101111.

（2025·南山区麒麟中学期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代

数恒等式.【直接应用】（2）若xy＝4，x＋y＝6，则x2＋y2＝

⁠.解：因为xy＝4，x＋y＝6，所以（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝36，即x2＋y2＋8＝36，所以x2＋y2＝28.故答案为28.28123456789101111.

（2025·南山区麒麟中学期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代

数恒等式.【类比应用】（3）若（x－2

024）2＋（2

025－x）2＝2

026，求（x－2

024）（2

025－x）的值.

123456789101111.

（2025·南山区麒麟中学期中）通过计算几何图形的面积可以验证一些代

数恒等式.【知识迁移】（4）手工课上，小麒将一张正方形纸片沿对角线AC，BD剪开，得到四个

全等的等腰直角三角形，如图2.然后将四个等腰直角三角形拼接成风车图

案，如图3.此时，四边形EFGH是正方形，连接NP，PQ，QM，MN，通

过探索，小麒发现四边形PQMN也是正方形，如图4.设FP＝a，EF＝b.若

图4中空白部分面积为168，AG＝19，求EP的长.1234567891011

即ab＝84，因为AG＝19，所以b＋a＝19，所以EP2＝（a－b）2＝[（a＋b）2－4ab]＝192－4×84＝25.所以EP＝5.1234567891011参考答案1.

B

2.C

3.B

4.C5.11

解析：设AC＝a，BC＝b，因为AB＝10，S1＋S2＝56，所以a＋b＝10，a2＋b2＝56.因为（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，所以102＝56＋2ab，所以ab＝22，

6.9

7.－5

（2）（n＋1）2－n2＝（n＋1＋n）（n＋1－n）＝2n＋1.（3）（－2m－n）2＝4m2＋4mn＋n2.

（6）（a＋b＋c）2＝（a＋b）2＋2c（a＋b）＋c2＝a2＋2ab＋b2＋2ac

＋2bc＋c2.9.

解：

（1）（2x＋y）（x－2y）－（x－y）2＝2x2－4xy＋xy－2y2－x2＋2xy－y2＝x2－xy－3y2.（2）（2a＋b）（a－2b）＋（2a－b）2＝2a2－4ab＋ab－2b2＋4a2－4ab＋b2＝6a2－7ab－b2.10.

解：（1）原式＝（2x）2－2×2x×7y＋（7y）2＝4x2－28xy＋49y2.（2）原式＝x2＋2x＋x2＋2x＋1－4x＝2x2＋1.（3）原式＝a2－2a－8－（a2－2a＋1）＝a2－2a－8－a2＋2a－1＝－9.11.

解：（1）题图1中大正方形的面积用“边长的平方”表示为（a＋b）2，用“各部分面积之和”表示为a2＋2ab＋b2，利用数形结合的数学思想验证了公式（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2.故答案为（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，A.

（2）因为xy＝4，x＋y＝6，所以（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝36，即x2＋y2＋8＝36，所以x2＋y2＝28.故答案为28.（3）设x－2

024＝m，2

025－x＝n，则m＋