大学生数学试题及答案

大学生数学试题及答案

考试形式：闭卷考试时间：150分钟总分值：考0分

一、（此题总分值10分）求极限lim1J如-1+-…-5一i）2）。

【解】S〃=\(V/i2-l+yln2-22+.+7»2-(n-l)2)

n

因&一函在［0,1］上连续,故£Jl・x2dx存在,且

所以，limS“=「yjl-x2dx-lim—=171-x2dx=—。

n-^ooJO〃foo〃J。4

二、（此题总分值10分）请问为何值时下式成立lim---「尸=c.

sinx-axJh“

【解】注意到左边得极限中，尢论。为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必

须为无穷小量，于是可知必有〃=0,当〃=0时使用洛必达法那么得到

t2dt..x2

lim------------_/=lim---------------[，

x->°sinx-axV1+/2（cosx-a）vi+x2

由上式可知：当x->0时，假设。工1,那么此极限存在，且其值为0；假设。=1,那么

..1尸t2dtx2,

lim------------1]-------=lirm---------------]-------,=-2,

xTOsinx-ox%Ji+Jx->o（cosx-l）Vl+x2

综上所述，得到如下结论：〃/1,〃=0,。=0;或。=1,力=0,。=-2。

三、（此题总分值10分）计算定积分/=.一空k

1+tan20,0X

【解】作变换x=那么

2

f-兀

2/=[2^=-,

Jo2

所以，/=1。

4

四、（此题总分值io分）求数列。中的最小项。

【解】因为所给数列是函数y=当x分别取1,2,3,…,〃，…时的数列。

---2

又）=工”。111一1）且令7=0=>¥=6,

容易看出：当Ovxve时，/<0；当x>e时，丁'>0。

所以，y=%*有唯一极小值y（e）=c'。

而2<e<3=3>上，因此数列｛〃-"的最小项J=。

V2V3西

n

®e-

五、（此题总分值10分）求击7T

【解】考虑第级数£二，其收敛半径为1,收敛区间为（-1,1）,

当x=-l时，玄二=（T）"£’7收敛；

Sw+1Sw+1

当x=i时，£二二火工发散，因此其收敛域为[一i,i）。

Sw+iM〃+i

设其和函数为s（x）,那么

Vxe(fl),£"力遮袅="冷=纣=自。

x1

于是，s(x)=(--Y=~~~不.

1-X(1-X)

故's£i=s(e")=w-

六、(此题总分值10分)设/(x)=sinx-j：(x-，)/(Z)由，其中/为连续函数，求/(x)。

【解】原方程可写为

f(x)=sinx-f(t)dt+「tf(t)dt,

上式两端对x求导得

f\x)=cosx-「f(t)dt-xf(x)+xf(x)=cosX-f(*)

两端再对X求导得

即r(x)+/(x)=-sinx

这是一个二阶线性常系数非齐次方程，由原方程知/(0)=0,由(*)式知/'(0)=1。

特征方程为

A2+1=0,4=±i

齐次通解为y=G§加x+。2cosx

设非齐次方程特解为J*=x(asinx+Z>cosx),代入/(x)=-sinx得

x+cosx

那么非齐次方程通解为j=Qsinx+C2cos~

由初始条件j(0)=0和y'(0)=1可知，

G=；,。2=。。

七、(此题总分值10分)在过点0(0,0)和A(;r,0)的曲线族丫=25加、9>0)中，求一条曲线L,使沿

该曲线从。到A的积分1(1+y3)dx+(2x+y)心的值最小。

【解】Z(a)=J(1+J3)JX+(2X+y)dy

=%一4。40

3

令/'(〃)=-4+4/=0,得〃=1(〃=-1舍去)；又/'(1)=8>0,那么/(a)在〃=1处取极

小值，且〃=1是13)在(0,+8)内的唯一极值点，故〃=1时八〃)取最小值，那么所求曲线为

y=sinx(0<X<TT)。

八、(此题总分值10分)设〃X)在［-1,1］上有二阶导数，且/(1)=/⑴=1,|/M(x)|<io

证明：

1.|/*(x)|<|,xG［-l,l］o

2.f(x)=x在［-1,1］上有且只有一个实根。

【证明】

1.由泰勒公式/(-I)=/(x)+r(x)(-l-X)2,^€(-l,X)

两式相减并整理得

于是，/(刈m小泞|广(到+叼马广⑹4a+/y)

由于2az)+a7)」

8

因此，|/'(工)|<1,工€［-1,1］。

31

2.令尸⑺=/(x)・x,工£［-1用。那么尸(-1)=/(-1)-1=5，

但尸(外在［-1,1］上连续，由介值定理知，尸(X)在［-1,1］上至少有一个零点。

又由1可知户'(x)=/'(x)・lvo,故/")在［-1,1］上严格单调，从而至多有一个零点。

这样尸(工)在［-1,1］上有且只有一个零点，即/(X)=X在［-1,1］上有且只有一个实根。

九、(此题总分值10分)设/(X)在(3,+8)为连续函数，那么

卜/，)公寸：xf(x)dxo

【解】令次幻=［7/(尸)山，那么9'(幻=炉/(1),

=tf(t)dt,那么/(幻=^.//(3.2工=r"，)，

所以“(x)="(x)

即p(x)=­(x)+cc为常数。

而研0)=必0)=0,"(x)=—(X)

特别地叭a)=w(a)

即J：”"(“2)dx=g］：xf(x)dxo

十、(此题总分值10