专项突破：一次函数与四边形的综合问题（A题型）（解析版）

专题一次函数与四边形的综合问题目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、一次函数与平行四边形的综合问题 1题型二、一次函数与矩形的综合问题 11题型三、一次函数与菱形的综合问题 19题型四、一次函数与正方形的综合问题 29B综合攻坚・能力跃升题型一、一次函数与平行四边形的综合问题1．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形．(1)请求出直线的解析式；(2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________；(3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)平行四边形，(3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可；（2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为；（3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可．【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形，∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N，∵，∴；设直线的解析式为，∴，∴，∴直线的解析式为．（2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G，∵四边形是平行四边形，∴，由平移的性质可得，∴，即，∴四边形是平行四边形，∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；在中，当，，∴，∴，∴，∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为．（3）解：∵，∴，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，同理可得直线的解析式为，设，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，解得，∴；当为边时，则，∴，∴，∴，∴，∴或；综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形．2．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）在平面直角坐标系中，直线：（，为常数）经过点、，点在直线上且横坐标为，将点向右平移个单位得到点，将点关于轴对称得到点，以、为邻边作平行四边形．(1)求该直线的表达式；(2)若平行四边形的面积为，求的值；(3)当直线与平行四边形有交点（不含顶点）时，求的取值范围；(4)当直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出的值．【答案】(1)(2)或(3)且(4)或【分析】（）利用待定系数法求解即可；（）首先表示出，，得到，表示出，得到，然后根据平行四边形的面积为列方程求解即可；（）首先表示出，然后求出当点在直线上时，，然后结合图象求解即可；（）如图所示，当直线经过中点时，延长交直线于点，证明出，得到直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，然后表示出，然后代入求出；如图所示，当直线经过中点时，延长交直线于点，同理求解即可．【详解】（1）解：∵直线：（，为常数）经过点、，∴∴∴；（2）解：∵点在直线上且横坐标为，∴∵将点向右平移个单位得到点，∴∴∵将点关于轴对称得到点，∴∴∵平行四边形的面积为，∴解得或；（3）解：如图所示，当点在直线上时，∵四边形是平行四边形∴∵∴∴∴如图所示，当时，直线与平行四边形没有交点（不含顶点），如图所示，当时，直线与平行四边形有交点（不含顶点），∵点关于轴对称得到点，∴当时，平行四边形不存在，综上所述，当直线与平行四边形有交点（不含顶点）时，的取值范围为且；（4）解：如图所示，当直线经过中点A时，延长交直线于点B∴∵∴，∴∴直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，∵点A是中点，，∴，即∴∴；如图所示，当直线经过中点时，延长交直线于点同理可证，∴直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，∵点是中点，，∴，即∴∴综上所述，当直线将平行四边形分成的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，或．3．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是．(1)若在第一象限内有一点，使得四边形是平行四边形，则点的坐标为______________．(2)若在直线上有一点，平面内有一点，使得以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形且面积为10，求点的坐标；(3)在（1）的前提下，若直线与平行四边形的边交于一点，与边交于一点，且平行四边形四个顶点到直线的距离和是，求这条直线的解析式．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）分三种情况：为对角线，为对角线，为对角线，设出点D的坐标，根据平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同列式求解即可；（2）根据平行四边形的性质得到的面积等于以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形的面积的一半，即为5；求出直线的解析式为；可求出，且轴，则；再分两种情况：当点E在点A下方时，，当点E在点A上方时，，据此分别求出点E的纵坐标即可得到答案；（3）过点A、B、C、D分别作直线l的垂线，垂足分别为点H，点G，点E，点F，连接，由平行四边形的性质得到，则可证明，进而可证明，根据平行四边形的性质得到，轴，则可证明，进而可求出；求出，则，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：设点D的坐标为，当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同可得，∴（舍去）；当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同可得，∴（舍去）；当为对角线时，由平行四边形的两条对角线的中点的坐标相同可得，∴，∴点D的坐标为；综上所述，点D的坐标为；（2）解：∵以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形且面积为10，∴的面积等于以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形的面积的一半，即为5；设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为；∵点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，∴，且轴，∴；如图所示，当点E在点A下方时，则，∴，∴，∴，在中，当时，，∴点E的坐标为；如图所示，当点E在点A上方时，则，∴，∴，∴，在中，当时，，∴点E的坐标为；综上所述，点E的坐标为或；（3）解：如图所示，过点A、B、C、D分别作直线l的垂线，垂足分别为点H，点G，点E，点F，连接，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴，由（2）得，轴，∴，轴，∴，∴∵平行四边形四个顶点到直线的距离和是，∴，∴；在中，当时，，解得，当时，，解得，∴，∴，∴，∴；当时，，即，此时点N的横坐标大于7，不满足点N在上，不符合题意；当时，，即，此时满足点N在上，点M在上；综上所述，，∴直线l的解析式为．题型二、一次函数与矩形的综合问题4．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系第一象限内有矩形，，，轴，点的坐标答案为，作直线．(1)点的坐标为___________，点的坐标为___________，点的坐标为___________．(2)若直线与直线平行，将直线沿轴上下平移，请直接写出当直线与矩形有且只有一个公共点时，直线对应的函数表达式．(3)在（2）中直线的平移过程中，设直线与轴、轴的交点分别为，，则直线是否会平分矩形的面积？若会，画出此时的直线（不需证明）并求出的面积；若不会，请说明理由．【答案】(1)；；(2)或(3)见解析，【分析】（1）由题意根据矩形的性质与坐标特征分别分析即可得出A、B、C的坐标；（2）由题意可知当直线与A、C两点相交时，其与矩形有且只有一个公共点时，以此利用平移规律进行分析即可；（3）根据题意设直线交于点E，交于点F，延长交x轴于点P，利用即可求出答案．【详解】（1）解：由题意得，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，设此时直线的解析式为，故答案为：；；；（2）设直线的解析式为，将代入，得，解得，直线的解析式为，设直线的解析式为，将代入，得，解得，直线的解析式为，将代入，得，解得，直线的解析式为，当直线与矩形有且只有一个公共点时，直线的函数表达式为或；（3）画出符合题意的出，设直线交于点E，交于点F，延长交x轴于点P，如图所示，直线平分矩形的面积，，设此时直线的解析式为，则点E的坐标为，点F的坐标为，，，，，此时直线的解析式为，当时，，解得，点M的坐标为，当时，，点N的坐标为，设直线的解析式为，将代入，得，解得，直线的解析式为，当时，，解得，点P的坐标为，．【点睛】本题考查了一次函数与几何图形的综合问题，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式和平移的规律以及矩形的性质，利用数形结合思维分析是解题的关键．5．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，已知直线与直线相交于点C，分别交x轴于A、B两点．矩形的顶点D、E分别在直线上，顶点F、G都在x轴上，且点G与点B重合．(1)方程组的解是______；(2)求的面积；(3)求点E的坐标；(4)若矩形从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，写出此时矩形与重叠部分的面积S的值．【答案】(1)(2)36(3)(4)20【分析】本题考查一次函数的交点问题，解二元一次方程组，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式，掌握相关知识点是解题的关键．（1）解方程组即可；（2）根据（1）中方程组的解求得交点C的坐标，分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，再结合点C的坐标利用三角形的面积公式即可求出的面积；（3）把代入直线的解析式即可求得D点的坐标为，然后把代入直线的解析式即可求得点E的坐标；（4）利用，根据三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：，得：，解得：，把代入②得：，解得：，所以方程组的解是；故答案为：；（2）解：由（1）可知交点C的坐标为．令直线中，，则，解得，∴；令直线中，，则，解得，∴．∴．（3）解：∵点G与点B重合，∴，∵四边形是矩形，把代入直线得，∴，把代入得，解得，∴；（4）解：∵，∴，矩形从B点出发，沿x轴的反方向平移2个单位长度，此时矩形与重叠部分为五边形，如图，∵，∴，当时，，当时，，∴，∴．6．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，连接与y轴相交于点已知矩形的边的长是一元二次方程的两个根，且．(1)求直线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M是直线上的动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在；或或或【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，翻折变换，菱形性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．（1）由一元二次方程，求出，，再用待定系数法可得直线解析式为；（2）根据把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，可证明，设，则，有，解得，即得，直线解析式为，设，可得，即可解得；（3）设，，分三种情况：当为对角线时，的中点即为的中点，且，即得，当，为对角线时，的中点即为的中点，且，，当为对角线时，的中点重合，且，，分别解方程组可得答案．【详解】（1）解：由一元二次方程，得或，，，设直线解析式为，把，代入得：，解得，直线解析式为；（2）解：把矩形沿对角线所在的直线折叠，点B落在点D处，，在矩形中，与平行，，，，设，则，在中，，，解得，，，由，，同（1）得：直线解析式为，设，由折叠可知，，解得（不符合题意，舍去）或，；（3）解：在坐标平面内存在点P，使以点E，C，M，P为顶点的四边形是菱形，理由如下：设，，而，，当为对角线时，的中点即为的中点，且，，解得，；当，为对角线时，的中点即为的中点，且，，解得或，或（此时M和C重合，舍去）；当为对角线时，的中点重合，且，，解得或，或；综上所述，P的坐标为或或或．题型三、一次函数与菱形的综合问题7．（24-25九年级上·四川成都·月考）已知菱形的边长为，其顶点都在坐标轴上，且点坐标为．(1)求点的坐标及菱形的面积；(2)点是菱形边上一动点，沿运动（到达点时停止）①如图1，当点关于轴对称的点恰好落在直线上时，求点的坐标．②探究：如图2，当运动到，边时，作关于直线的对称图形为，是否存在这样的点，使点正好在直线上？若存在，求出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，菱形的面积为；(2)①点坐标为或；②满足条件的点坐标为或．【分析】（1）根据菱形的性质可得，，，，由，可得，再根据勾股定理求出，可求出点的坐标，得到，，最后根据菱形的面积公式求出其面积即可；（2）①有两种情形：求出图中点坐标，根据对称性可得点坐标，当点与重合时，也满足条件；②分两种情形：当平分时，当时，分别求解即可解决问题．【详解】（1）解：如图1中，菱形的边长为，，，，，，，在中，，，，，，；（2）解：①如图2中，菱形的顶点都在坐标轴上，点关于轴对称的点也在直线，由题意知，，，设直线的解析式为，将，代入得：，解得：，直线的解析式为，联立得：，解得：，，当点坐标为时，点关于轴对称的点恰好落在直线上，当点与重合时，点关于轴对称的点恰好落在直线上，此时，综上所述，满足条件的点坐标为或；②如图3中，当平分时，满足条件，由题意知，，，，，，，，，，当时，在直线上，此时直线的解析式为，直线的解析式为，由，解得：，，综上所述，满足条件的点坐标为或．【点睛】本题考查一次函数综合题、菱形的性质、翻折变换、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．8．（25-26九年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，对于直线和直线，在上取一点A，在上取一点B，若，以，为邻边作菱形，则菱形为【，】的m相关菱形，称为【，】的m相关菱角，的对边称为【，】的m相关菱边．特别地，当时，直线，即直线，代表x轴．例如：如图，，，，则菱形为的5相关菱形，为的5相关菱角，的对边为的5相关菱边．(1)若菱形是的2相关菱形，则的2相关菱角的度数是______；(2)若菱形是【0，】的4相关菱形，当点在【0，】的4相关菱边上时，求的值；(3)当【，】的m相关菱边与【，】（其中）的m相关菱边都经过点时，直接写出m的取值范围．【答案】(1)45或135(2)的值为(3)m的取值范围为【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了正比例函数与菱形的性质，勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质．（1）根据题意得出两条直线为，，则或；（2）先得出点是菱形的一个顶点，根据题意画出图形，即可求解；（3）根据新定义，设，勾股定理求得，进而分为边求得m的值，即可求解．【详解】（1）解：菱形是的2相关菱形，如图1，∴两条直线为，，或，故答案为：45或135；（2）解：到原点距离为，∵菱形是【0，】的4相关菱形，∴点是菱形的一个顶点，如图2，点在直线上，即，解得：；如图3，点E的坐标，则点在直线上，即，解得：，的值为；（3）解：设【，】的m相关菱形为，【，】（其中）的m相关菱形为，则，，均过，，连接，如图：要使，同时存在，则和之间的距离，∵直线恒过点O，直线QR恒过点M，∴直线与直线之间的距离，∴当时，一定存在与，使得直线过点M．9．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，且B点坐标是，，延长，与x轴相交于点D．(1)求直线的函数表达式；(2)将菱形沿x轴向右平移得菱形，设，菱形与重叠部分的面积为S．①如图2，当点在y轴上时，求S的值；②当时，请直接写出t的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）连接交轴于点，根据菱形的性质求出，再由待定系数法求解函数解析式；（2）①先证明为等边三角形，则，那么，，则，故，过点作于点，可得，故，证明四边形为平行四边形，则；②当重叠部分为五边形时，过点作于点，表示出，，则，证明为等边三角形，则，故，则，然后表示，则，过点作于点，同理可得，，然后计算，而，最后由建立方程求解；当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为，故不符合题意．【详解】（1）解：连接交轴于点，∵四边形是菱形，∴，，∵∴，∴，∴，∴，设直线，∴，∴，∴直线；（2）解：①在图1中，∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵四边形是菱形，且平移后的为菱形∴,，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，过点作于点∴，∴，∴，∵菱形中，，∴四边形为平行四边形，∴；②当重叠部分为五边形时，如图：过点作于点由①可得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴为等边三角形，∴∴∴，∵在中，，∴，∴，过点作于点，同理可得：，，∴，∵，∴，解得；当重叠部分为平行四边形时，由①可得平行四边形的最大面积为，故不符合题意，综上：当时，．题型四、一次函数与正方形的综合问题10．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点为轴正半轴上一点，且，过点的直线与直线交于点，动点，都在线段上（，不与、重合，与不重合），且，以为边在轴下方作正方形，设，正方形的周长为．

(1)求直线的函数解析式；(2)当时，正方形的面积为_______；(3)求与之间的函数关系式；【答案】(1)；(2)16(3)【分析】本题考查一次函数的综合及正方形的性质．（1）利用待定系数法求解即可；（2）求得正方形的边长，即可求得正方形的面积；（3）分当和时，两种情况讨论，用分别表示出的长，利用正方形的周长公式即可求解．【详解】（1）解：∵，∴点，设直线的函数解析式为，∴，解得，∴直线的函数解析式为；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴正方形的面积为，故答案为：16；（3）解：当时，如图，

∵，∴，∴正方形的周长为；当时，如图，

∵，∴，∴，∴正方形的面积为；综上，．11．（2024·广东·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限，的顶点，．(1)如图1，求点B，C的坐标；(2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点A，O，B，C的对应点分别为，，，．设，正方形与重合部分的面积为S．①如图2，当时，正方形与重合部分为五边形，直线分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示S；②若平移后重合部分的面积为，则t的值是．（请直接写出结果即可）．【答案】(1)，(2)①；②或6【分析】（1）根据正方形的性质以及坐标与图形即可解答；（2）①求得是等腰直角三角形，得到，再利用即可求解；②分当和时两种情况讨论，分别求解即可．【详解】（1）解：由，得，∵四边形是正方形，∴，∴，．（2）解：①∵，，，∴，，由平移知，