五年级上册数学植树问题综合训练（一）

五年级上册数学植树问题综合训练（一）一、植树问题的核心概念与基本类型植树问题是研究“树的棵数”“间隔数”“总长度”“间隔距离”之间关系的数学问题，其本质是“点”与“段”的对应关系。在实际解题中，最关键的是先判断植树类型，再套用对应公式。（一）三大基本类型根据“树是否在端点种植”，可分为以下三类：类型核心特征棵数与间隔数的关系公式（总长度=间隔距离×间隔数）两端都栽起点和终点都种树棵数=间隔数+1间隔数=棵数-1一端栽一端不栽仅起点或仅终点种树（如道路一端有建筑）棵数=间隔数间隔数=棵数两端都不栽起点和终点都不种树（如两栋楼之间种树）棵数=间隔数-1间隔数=棵数+1（二）易错点提醒区分“间隔数”与“棵数”：间隔数是指树与树之间的“段数”，棵数是“点数”。例如，2棵树之间有1个间隔，3棵树之间有2个间隔（两端都栽时）。注意“隐藏的端点限制”：如“在围墙边种树”通常是“一端栽一端不栽”，“在两栋楼之间种树”是“两端都不栽”，需结合生活场景判断。二、基础题型训练：单一类型应用（一）两端都栽的情况例1：在一条长200米的小路一侧植树，每隔5米栽一棵（两端都栽），一共要栽多少棵树？分析：先求间隔数，再用“棵数=间隔数+1”计算。解答：间隔数=总长度÷间隔距离=200÷5=40（个）棵数=40+1=41（棵）答案：41棵变式1：一条公路长360米，在公路两旁每隔6米栽一棵梧桐树（两端都栽），共栽多少棵？注意：“两旁”需先算一侧棵数，再乘2。解答：一侧间隔数=360÷6=60（个）一侧棵数=60+1=61（棵）两侧总棵数=61×2=122（棵）答案：122棵（二）一端栽一端不栽的情况例2：在一个周长为150米的圆形花坛周围摆盆栽，每隔3米摆一盆（一端摆一端不摆，实际圆形属于“封闭图形”，等同于一端栽一端不栽），共需多少盆？分析：封闭图形的“棵数=间隔数”（可理解为起点与终点重合，相当于“一端栽一端不栽”）。解答：间隔数=150÷3=50（个）盆数=间隔数=50（盆）答案：50盆变式2：学校有一个椭圆形跑道，长400米，现在要在跑道边每隔8米插一面彩旗，共需多少面彩旗？提示：椭圆形是封闭图形，棵数=间隔数。解答：400÷8=50（面）答案：50面（三）两端都不栽的情况例3：两栋教学楼之间相距120米，在两栋楼之间每隔8米种一棵樟树（两端都不栽），一共要种多少棵？分析：两栋楼是“端点限制”，树不能栽在楼边，所以用“棵数=间隔数-1”。解答：间隔数=120÷8=15（个）棵数=15-1=14（棵）答案：14棵变式3：一根木头长10米，要把它锯成2米长的小段，每锯一次需要3分钟，一共要锯多少分钟？隐藏对应：锯木头时，“锯的次数”相当于“棵数”，“段数”相当于“间隔数”，且“两端都不锯”（木头两端不需要锯），因此锯的次数=段数-1。解答：段数=10÷2=5（段）锯的次数=5-1=4（次）总时间=4×3=12（分钟）答案：12分钟三、进阶题型训练：复杂场景应用（一）“锯木头”与“爬楼梯”问题这类问题是植树问题的“变形”，核心是找到“点”与“段”的对应关系：问题类型对应植树类型关键关系锯木头两端都不栽锯的次数=段数-1爬楼梯两端都栽爬的层数=楼层数-1例4：小明从1楼走到3楼用了6分钟，照这样计算，他从1楼走到6楼需要多少分钟？分析：从1楼到3楼，实际爬了“3-1=2层”（楼层数是“点”，层数是“段”），属于“两端都栽”（1楼是起点，3楼是终点）。解答：爬1层时间=6÷(3-1)=3（分钟）从1楼到6楼爬的层数=6-1=5（层）总时间=5×3=15（分钟）答案：15分钟（二）“方阵”与“环形”问题1.封闭环形（如圆形、正方形）封闭环形的植树问题，棵数=间隔数，但若涉及“方阵外围”，需注意“四个角重复计算”的问题。例5：一个正方形操场，边长为80米，现在要在操场四周每隔10米插一面红旗（四个角都插），共需多少面红旗？方法一：每边间隔数=80÷10=8（个），每边红旗数=8+1=9（面），但四个角的红旗被重复计算了1次，因此总棵数=9×4-4=32（面）。方法二：封闭图形直接算总周长，周长=80×4=320（米），间隔数=320÷10=32（个），棵数=间隔数=32（面）。答案：32面2.方阵内部植树若在方阵内部（如正方形草地）均匀植树，需先算每边棵数，再用“总棵数=每边棵数×每边棵数”（不考虑间隔，直接数点数）。例6：一个正方形花园，每边种9棵月季（四个角都种），一共种了多少棵月季？解答：9×9=81（棵）答案：81棵（三）“间隔变化”问题例7：一条公路长360米，原来每隔6米栽一棵树，现在要改成每隔9米栽一棵树，有多少棵树不需要移动？分析：“不需要移动的树”是同时满足“6米间隔”和“9米间隔”的树，即位于“6和9的公倍数”位置的树，且起点的树（0米处）也不需要移动。解答步骤：求6和9的最小公倍数：18（即每隔18米有一棵树不需要移动）。计算总共有多少个这样的位置：360÷18=20（个）。加上起点的1棵树：20+1=21（棵）。答案：21棵（四）“多人植树”问题例8：甲、乙两人在一条长120米的小路两侧植树（两端都栽），甲每隔4米栽一棵，乙每隔6米栽一棵，两人共同栽了多少棵树？分析：先分别算甲、乙各自栽的棵数，再减去“重复栽的棵数”（即公倍数位置的树）。解答：甲单侧棵数：120÷4+1=31（棵），两侧=31×2=62（棵）。乙单侧棵数：120÷6+1=21（棵），两侧=21×2=42（棵）。4和6的最小公倍数是12，单侧重复棵数：120÷12+1=11（棵），两侧=11×2=22（棵）。共同栽的棵数：62+42-22=82（棵）。答案：82棵四、综合训练题（附答案）（一）选择题一条长180米的街道两侧安装路灯，每隔6米装一盏（两端都装），共需（）盏路灯。A.30B.31C.60D.62一根钢管长24米，要锯成3米长的小段，每锯一次需5分钟，共需（）分钟。A.35B.40C.45D.50一个圆形池塘周长150米，在池塘周围每隔5米种一棵柳树，共种（）棵。A.29B.30C.31D.32（二）填空题小明爬楼梯，从1楼到4楼用了9分钟，从1楼到7楼需（）分钟。两栋楼之间相距80米，每隔4米种一棵花（两端都不种），共种（）棵。60米长的道路，原来每隔5米栽一棵树，现在改成每隔6米栽一棵，有（）棵树不需要移动。（三）解答题学校运动会上，在400米环形跑道上插彩旗，每隔8米插一面红旗，每两面红旗之间插一面黄旗，共需多少面黄旗？一条公路长480米，两侧都栽树，两端都栽，每隔12米栽一棵杉树，两棵杉树之间栽3棵柏树，公路两侧共栽多少棵柏树？一根木头长18米，要把它锯成3段，每锯一次用8分钟，锯完需多少分钟？若要锯成5段呢？五、综合训练题答案（一）选择题D（单侧：180÷6+1=31，两侧：31×2=62）A（段数：24÷3=8，锯的次数：8-1=7，时间：7×5=35）B（封闭图形，150÷5=30）（二）填空题18（1到4楼爬3层，每层3分钟；1到7楼爬6层，6×3=18）19（间隔数：80÷4=20，棵数：20-1=19）3（最小公倍数30，60÷30+1=3）（三）解答题黄旗数=红旗数=间隔数（封闭图形）：400÷8=50（面）。单侧杉树棵数：480÷12+1=41（棵），单侧间隔数：41-1=40（个），单侧柏树棵数：40×3=120（棵），两侧柏树：120×2=240（棵）。锯成3段需锯2次：2×8=16（分钟）；锯成5段需锯4次：4×8=32（分钟）。六、解题技巧总结“三步法”解题：第一步：判断类型（两端栽/一端栽/两端不栽）；第二步：找关键量（总长度、间隔距离、间隔数、棵数）；第三步：套公式计算（根