小学数学第八章　8.6.2　第2课时　直线与平面垂直的性质定理

第2课时直线与平面垂直的性质定理学习目标1.通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面的关系，掌握直线与平面垂直的性质定理，并加以证明.2.会用直线与平面垂直的性质定理证明相关问题.3.会求直线与平面、平面与平面的距离.一、直线与平面垂直的性质定理及应用问题1如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，棱AA'，BB'，CC'，DD'所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间具有什么位置关系？问题2如图，已知直线a，b和平面α，如果a⊥α，b⊥α，那么直线a，b一定平行吗？问题3请证明问题2所得结论.知识梳理文字语言垂直于同一个平面的两条直线________符号语言a⊥α,b图形语言例1如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1D上的点，F是AC上的点，且EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.跟踪训练1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD=AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.求证：AE∥MN.二、直线与平面垂直关系的综合应用例2如图，PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，E，F分别为BC，CD上的点，且EF⊥AC.求证：CFCD=CE反思感悟要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题的有效方法.跟踪训练2如图，已知α∩β=AB，PQ⊥α于点Q，PO⊥β于点O，OR⊥α于点R，求证：QR⊥AB.三、空间中的距离问题问题4若直线l∥平面α，则直线l上各点到平面α的距离相等吗？问题5请证明问题4.问题6若一条直线上的两点A，B在平面α的同侧，且它们与α的距离相等，判断AB与平面α有什么样的位置关系，并证明.问题7若平面α∥平面β，则平面α上各点到平面β的距离相等吗？知识梳理1.直线与平面的距离一条直线与一个平面时，这条直线上到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.

2.平面与平面的距离如果两个平面，那么其中一个平面内的到另一个平面的距离都，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

例3如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.反思感悟求空间中点到平面的距离的常用方法(1)直接法：直接作出垂线段，通过解直角三角形求解.(2)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义转化为平行直线或平行平面上的其他点到平面的距离，这时经常利用中点构造中位线等方式证明线面平行或面面平行.(3)利用等体积法转化求解：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分割)，以方便求底面积和高.跟踪训练3如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点.(1)求证：AE⊥平面PAD；(2)若AB=AP=2，求点P到平面AMC的距离.1.知识清单：(1)直线与平面垂直的性质定理及应用.(2)直线与平面垂直关系的综合应用.(3)直线与平面、平面与平面的距离.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：距离转化不当导致错误.1.线段AB的端点A，B到平面α的距离分别是30cm和50cm，则线段AB的中点M到平面α的距离为()A.40cm B.10cmC.80cm D.40cm或10cm2.如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD所成角的大小为60°，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.33C.2 D.33.(多选)下列命题正确的是()A.a∥b,a⊥α⇒b⊥αC.α∥β,a⊥α⇒a⊥β4.(多选)直线a和b在正方体ABCD-A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是()A.a和b垂直于正方体的同一个面B.a和b在正方体两个相对的面内，且共面C.a和b平行于同一条棱D.a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直答案精析问题1平行.问题2一定平行.问题3如图，假设b与a不平行且b∩α=O，显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可确定一个平面，在该平面内过点O作直线b'∥a，则直线b与b'是相交于点O的两条不同直线，所以直线b与b'可确定平面β，设α∩β=c，则O∈c.因为a⊥α，b⊥α，所以a⊥c，b⊥c.又因为b'∥a，所以b'⊥c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b，b'与c垂直，显然不可能.因此b∥a.知识梳理平行例1证明如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，BD∩DD1=D，BD，DD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1.又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C=C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，又A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，AC∩B1C=C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.跟踪训练1证明因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD=AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD=C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.例2证明∵PA⊥平面ABD，PC⊥平面BCD，BD⊂平面ABD，BD⊂平面BCD，∴PA⊥BD，PC⊥BD，又PA∩PC=P，PA，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC.又PC⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，∴PC⊥EF.又EF⊥AC，PC∩AC=C，PC，AC⊂平面PAC，∴EF⊥平面PAC，∴EF∥BD，∴CFCD=CE跟踪训练2证明∵α∩β=AB，∴AB⊂α，AB⊂β，∵PO⊥β，∴PO⊥AB.∵PQ⊥α，∴PQ⊥AB.∵PO∩PQ=P，PO，PQ⊂平面PQO，∴AB⊥平面PQO.∵OR⊥α，∴PQ∥OR.∴PQ与OR确定平面PQRO.又QR⊂平面PQRO，∴QR⊥AB.问题4相等.问题5如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA1，BB1，垂足分别为A1，B1.∵AA1⊥α，BB1⊥α，∴AA1∥BB1，设直线AA1，BB1确定的平面为β，β∩α=A1B1，∵l∥α，∴l∥A1B1.∴四边形AA1B1B是矩形.∴AA1=BB1.由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等.问题6直线AB∥α.证明如下：如图，作AA'⊥α，BB'⊥α，垂足分别为A'B'，则AA'∥BB'，又AA'=BB'，∴四边形ABB'A'为平行四边形，∴AB∥A'B'.又AB⊄平面α，A'B'⊂平面α.∴AB∥α.问题7相等.知识梳理1.平行任意一点2.平行任意一点相等例3解由长方体ABCD-A1B1C1D1，可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，所以B1C1⊥BE，因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，所以BE⊥平面EB1C1，因为EB1⊂平面EB1C1，所以BE⊥EB1，所以∠BEB1=90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，所以点E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，且AB=3，所以四棱锥E-BB1C1C的体积V=13AB·=13×3×6×3=18跟踪训练3(1)证明因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，因为AD∥BC，所以AE⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，PA，AD⊂平面PAD，所以AE⊥平面PAD.(2)解因为AB=AP=2，则AD=2，AE=3，所以VP-AMC=VC-PAM=13S△PAM=13×