小学数学第八章　周末练8　范围：§8.4~§8.6

周末练8范围：§8.4~§8.6分值：90分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.若l是平面α与平面β的交线，直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，则下列命题正确的是A.l至少与l1，l2中的一条相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l与l1，l2都不相交2.平面α与平面β平行的条件可以是A.α内有无数多条直线都与β平行B.直线a∥α，a∥β，b∥α，b∥βC.平面α内不共线的三点到β的距离相等D.一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则A.若m∥α，m⊥n，则n⊥αB.若m∥α，β⊥α，则m∥βC.若m∥α，n⊥α，则m⊥nD.若m∥α，m∥β，则α∥β4.下列命题中错误的是A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥γ5.如图，在三棱台A1B1C1-ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内(除点D)的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C1CA，则动点M的轨迹是A.平面 B.直线C.线段，但只含1个端点 D.圆6.★★已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BB1，DD1上的动点，且BE=D1F=λ0<λ≤12，设直线EF与AB所成的角为α，与BC所成的角为β，则A.不存在 B.等于60°C.等于90° D.等于120°二、多项选择题(每小题6分，共18分)7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列直线或平面与平面ACD1平行的是A.直线A1B B.直线BB1C.平面A1DC1 D.平面A1BC18.(2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，则A.AD⊥A1C B.B1C1⊥平面AA1DC.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D9.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论正确的是A.直线D1D与直线AF垂直B.直线A1G与平面AEF平行C.平面AEF截正方体所得的截面面积为9D.点C与点G到平面AEF的距离相等三、填空题(每小题5分，共15分)10.在四面体A-BCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A-CD-B的平面角的余弦值为.

11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB=BC=2，BB1=1，AC=22，则异面直线BD与AC所成的角为.

12.底面ABCD为菱形且侧棱AE⊥底面ABCD的四棱柱被一平面截取后得到如图所示的几何体.若DA=DH=DB=4，AE=CG=3.则三棱锥F-BEG的体积为.

四、解答题(共27分)13.(13分)如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(6分)(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由.(7分)14.★★(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中点.(1)求证：AM⊥平面PCD；(6分)(2)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值.(8分)答案精析1.A2.D3.C4.A5.C[若平面BDM∥平面A1C1CA，且平面BDM∩平面A1B1C1=DM，平面A1C1CA∩平面A1B1C1=A1C1，则A1C1∥DM，故在△A1B1C1内满足平面BDM∥平面A1C1CA的动点M的轨迹是一条线段，但只含一个端点.]6.C[在AA1上取一点M，使EM∥AB，连接ME，MF，则∠MEF=α，AM=BE=λ，同理可判断β=α.由题意可得AB⊥平面ADD1A1，则EM⊥平面ADD1A1，又MF⊂平面ADD1A1，所以EM⊥MF，在Rt△MEF中，ME=1，MF=12EF=ME2+0<λ≤12所以cosα=MEEF=12+(1-2λ)2所以α的最小值为45°，此时λ=12因此α+β的最小值等于90°.]7.AD8.BD[如图，设D1为B1C1的中点，由题意得AA1⊥平面ABC，因为AD⊂平面ABC，则AD⊥AA1，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C=A1，AA1，A1C⊂平面AA1C，则AD⊥平面AA1C，因为AC⊂平面AA1C，则AD⊥AC，矛盾，故A错误；由题意知AD⊥BC，AA1⊥BC，又AA1∩AD=A，AA1，AD⊂平面AA1D，则BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；由题意得AD∥A1D1，假设AD∥A1B1，则A1D1∥A1B1，与A1B1∩A1D1=A1矛盾，则AD∥A1B1不成立，故C错误；由题意得CC1∥AA1，又CC1⊄平面AA1D，AA1⊂平面AA1D，故CC1∥平面AA1D，故D正确.]9.BC[连接AD1，D1F(图略)，∵AD1∥EF，∴平面AEF即平面AEFD1，又D1D∥C1C，显然D1D不垂直于平面AEFD1，∴D1D不垂直于直线AF，故A错误；∵A1G∥D1F，A1G⊄平面AEFD1，D1F⊂平面AEFD1，∴A1G∥平面AEFD1，即A1G∥平面AEF，故B正确；平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1，易知EF=22，AD1=2梯形的高为522-∴梯形面积为98，故C假设点C与点G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于点H(图略)，而H不是CG的中点，则假设不成立，故D错误.]10.311.60°解析取B1C1的中点E，连接DE，BE，如图所示.∵DE∥A1C1，A1C1∥AC，∴DE∥AC，∴异面直线BD与AC所成的角为∠BDE或其补角，在△BDE中，BD=2，BE=2，DE=2，∴△BDE为等边三角形，∴∠BDE=60°.即异面直线BD与AC所成的角为60°.12.8解析如图，连接AC交BD于点O，连接HF交EG于点P，连接OP，由已知可得，平面ADHE∥平面BCGF，因为平面ADHE∩平面EFGH=EH，平面BCGF∩平面EFGH=FG，所以EH∥FG，同理可得EF∥HG，所以四边形EFGH为平行四边形，所以P为EG的中点，O为AC的中点，所以OP∥AE，所以OP=3，又DH=4，所以BF=2.所以S△BFG=12=12×2×4=4因为EA∥FB，FB⊂平面BCGF，EA⊄平面BCGF，所以EA∥平面BCGF，所以点A到平面BCGF的距离等于点E到平面BCGF的距离，为23.所以VF-BEG=VE-BGF=VA-BGF=13S△BFG×23=813.(1)证明由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，平面CMD∩平面ABCD=CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD.又DM⊂平面CMD，故BC⊥DM.因为M为CD上异于C，D的点，且DC为CD所在圆的直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM=C，BC，CM⊂平面BMC，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(2)解当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接AC与BD交于点O，连接OP，PD，PB，如图所示.因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点.因为P为AM的中点，所以MC∥OP.又因为MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.14.(1)证明∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又四边形ABCD是矩形，∴CD⊥DA，∵DA∩PA=A，DA，PA⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∵AM⊂平面PAD，∴CD⊥AM，又M是PD的中点，PA=AD=4，∴AM⊥PD，∵CD∩PD=D，CD，PD⊂平面PCD，∴AM⊥平面PCD.(2)解如图，取AD中点为N，连接MN，在△PAD中，M，N分别为线段PD，AD的中点，故MN∥PA，MN=12PA=2∵PA⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴VM-ACD=13×MN×12=83由(1