公式法第1课时课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

第1课时一元二次方程根的判别式

25.2.2公式法第二十五章一元二次方程九年级数学上学期人教版（2024）学习目标1.理解通过配方得到的结论，认识只有当b2-4ac≥0时方程才有解，并且方程解的情况与Δ=b2-4ac有关，理解根的判别式Δ=b2-4ac的含义及其与方程根的情况之间的对应关系.2.根据Δ=b2-4ac的值可以判定一元二次方程解的情况，并能应用根的判别式解决相关问题.课堂引入利用直接开平方法只能解一些简单的一元二次方程，利用配方法虽然可以解任意一个一元二次方程，但配方法比较麻烦，下面学习一种既比较简单又能适用于任意一个一元二次方程的方法——公式法.一、一元二次方程根的判别式

>>不相等

=0相等

<没有知识梳理根据b2-4ac的符号，即可判定一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解的情况，所以把b2-4ac叫作一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用“Δ”表示，则：Δ=b2-4ac___0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=b2-4ac___0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2-4ac___0时，方程没有实数根.注意点：利用一元二次方程的根的判别式，不解方程，即可判定某个一元二次方程的解的情况.其步骤为：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a，b，c的值；③计算b2-4ac的值；④根据b2-4ac的符号判定方程根的情况.>=<例1

已知关于x的一元二次方程2x2+2kx+k-1=0.(1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若x=-1

是该方程的一个根，求k的值.(1)证明Δ=(2k)2-4×2(k-1)=4k2-8k+8=4(k-1)2+4，∵(k-1)2≥0，∴4(k-1)2≥0，则4(k-1)2+4>0.∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)解把x=-1代入2x2+2kx+k-1=0，得2×(-1)2+2k×(-1)+k-1=0，化简、变形，得-k+1=0，解得k=1.跟踪训练1

下列方程没有实数根的是A.x2-1=0 B.x2-x-3=0C.x2-4x+4=0 D.x2-x+2=0√解析∵对于x2-1=0，Δ=02-4×1×(-1)=0+4=4>0，∴方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；∵对于x2-x-3=0，Δ=(-1)2-4×1×(-3)=1+12=13>0，∴方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；∵对于x2-4x+4=0，Δ=(-4)2-4×1×4=0，∴方程有两个相等的实数根，故C选项不符合题意；∵对于x2-x+2=0，Δ=(-1)2-4×1×2=1-8=-7<0，∴方程没有实数根，故D选项符合题意.二、利用根的判别式求方程中的字母参数知识梳理一元二次方程根的判别式既可以正用也可以逆用，当一元二次方程中含有字母参数且已知方程的解的情况时，利用根的判别式即可列出关于字母参数的方程或不等式，解之即可求得字母参数的值或字母参数的取值范围.例2

已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-2mx+m-10=0，若该一元二次方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围.

反思感悟此类的问题中，容易忽略一元二次方程的概念，因此出现漏掉m-2≠0的限制条件，由此导致m的取值范围扩大.跟踪训练2

若关于x的方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值是A.-4

B.4

C.8

D.16√解析∵关于x的方程x2-4x+k=0有两个相等的实数根，∴Δ=0，即(-4)2-4×1×k=0，∴k=4.课堂小结1.下列方程中，有两个相等实数根的是A.x2-6x+9=0B.x2+1=0C.x2-2x-3=0D.x2-2x=0课堂练习√随堂演练解析∵Δ=b2-4ac=(-6)2-4×1×9=0，∴方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根，选项A符合题意；∵Δ=b2-4ac=02-4×1×1=-4<0，∴方程x2+1=0没有实数根，选项B不符合题意；∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-3)=16>0，∴方程x2-2x-3=0有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；∵Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，∴方程x2-2x=0有两个不相等的实数根，选项D不符合题意.2.若关于x的一元二次方程x2+2m=4有两个不相等的实数根，则m的取值范围是A.m<2 B.m≤2C.m≥0 D.m<0√解析∵关于x的一元二次方程x2+2m=4，即x2+2m-4=0有两个不相等的实数根，∴Δ=b2-4ac=02-4×1×(2m-4)=16-8m>0，解得m<2.课堂练习3.一元二次方程2x2-4x+3=0的根的情况是A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法判断√解析∵2x2-4x+3=0，∴Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0，故方程没有实数根.课堂练习4.关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是A.k>-1 B.k<-1C.k=-1 D.k>-1且k≠0√解析根据题意得k≠0且Δ=22-4