浙江省北斗联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省北斗联盟2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确选项.1.已知全集，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为全集，，故.故选：C.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】命题“，”为全称量词命题，该命题的否定为：，.故选：D.3.设，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在上单调递增，.在上单调递减，．故选：A．4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由或，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】令，则，所以，即.故选：B.6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为函数的定义域为，函数的定义域为，函数与的定义域均为.由图知的定义域为，排除选项A、D，对于，当时，，不符合图象，所以排除选项C.故选：B.7.已知函数图象恒过定点，且点在函数图象上，则的最小值为（）A.4 B.1 C.2 D.【答案】C【解析】由得，又，所以定点为，从而，，当且仅当时等号成立.故选：C.8.已知定义在上的函数满足，，当时，都有，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题设，即在上为奇函数，令，在上，，所以，故在上单调递减，且，又，即在上为奇函数，综上，在上单调递减，由，则，所以，所以不等式的解集为.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对但不全的得部分分.9.对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（）A.若，，则B.若，则C.若，则D.若，，则【答案】BD【解析】A选项：，，但是，A不正确；B选项：因为成立，则，那么，B正确；C选项：，但是，C不正确；D选项：因为，则，又，所以，D正确.故选：BD.10.下列说法正确的是（）A.函数与是同一个函数B.若函数的定义域为，则函数的定义域为C.若集合，，则D.函数的单调递增区间为【答案】BD【解析】A：由的定义域为，的定义域为，不是同一函数，错，B：由的定义域为，对于有，则定义域为，对，C：由，则，由，则，显然，错，D：由，在上单调递减，在上单调递增，而在定义域上单调递增，故的单调递增区间为，对.故选：BD.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，，则下列叙述中正确的是（）A.是奇函数 B.是偶函数C.的值域是 D.在上是增函数【答案】ACD【解析】由，又在上为增函数且，在上单调递增，所以在为增函数，D对，，且的定义域为，即为奇函数，A对，由，则，C对，B错.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则______．【答案】【解析】由已知，则，故答案为：.13.求值：______.【答案】0【解析】由.故答案为：0.14.已知，，且，则的最小值为_____.【答案】【解析】由题设，且，则，由，当且仅当时取等号，则，令，则，整理得，所以（舍）或，即，当且仅当时取等号，故的最小值为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合，或.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，，而或，所以或；（2）因为或，所以，若，当时，此时有，解得，当时，要使，只需，解得，综上：，则，要使得，则，即实数的取值范围.16.函数是定义在上的奇函数，且.（1）确定的解析式；（2）证明在上的单调性；（3）解关于t的不等式.解：（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，则，解得；又由，则有，解得；函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以函数为奇函数，所以.（2）由（1）的结论，，设，则.又由，则，，，，则，即，则函数在上为增函数.（3）由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.，解得：，即不等式的解集为.17.某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理.（1）设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式（2）哪种方案较为合理？并说明理由.解：（1）根据题意可得，则方案一中与的函数关系式为：；（2）方案一：，当时，总盈利额取得最大值90万元，此时处理掉设备，则总利润为万元；方案二：由（1）可得年平均利润额为，当且仅当即时等号成立，即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元，此时处理掉设备，则总利润为万元；综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年，故方案二合理.18.已知函数.（1）当时，求的值域；（2）若的最小值为，求的值；（3）在（2）的条件下，若不等式有实数解，求实数的取值范围.解：（1）当时，，而，所以的值域为.（2）令，函数，当，即时，在上递增，此时无最值，不满足题意；当，即时，在上递减，在上递增，所以，而，解得，所以的最小值为时，.（3）由（2）知，，不等式，设，依题意，有实数解，而，则，当且仅当，即时取等号，因此，解得，所以实数的取值范围为.19.对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数，②函数在的值域是，则称区间为函数的“保值”区间.（1）求函数的所有“保值”区间；（2）判断函数是否存在“保值”区间，并说明理由；（3）已知函数有“保值”区间，当取得最大值时求的值.解：（1）函数在上的值域为，令在的值域为，则，函数在上单调递增，因此，而，解得，所以函数的所有“保值