安徽省合肥市2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省合肥市2025-2026学年高二上学期期末模拟数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线，则“”是“”的（）A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则，解得或，当时，，两直线平行，当时，，两直线重合，则当时，，故“”是“”的充分必要条件.故选：A.2.已知焦点在轴上的椭圆方程为，则的范围为A.（4,7） B.（5.5,7） C. D.【答案】B3.过点的直线与圆：交于，两点，当最小时，直线的方程为（

）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆：的圆心为，当最小时，和垂直，所以直线的斜率等于，则直线的斜率，用点斜式写出直线的方程为，即，故选：A．4.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形的边长为4，P是正八边形边上任意一点，则以下结论正确的个数是（）①的最大值为②在方向上的投影向量为③④若函数，则函数的最小值为A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【答案】B【解析】易知正八边形的每条边所对的圆心角都是，所以，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如下图所示：设，在中，由余弦定理，,可得，且.对于①，取的中点为，则,且；则；由正八边形对称性可知当点与点或点重合时，取得最大值，不妨取，则，则,所以，因此，即①正确；对于②，易知，所以在方向上的投影向量为，因此②错误；对于③，易知，而，因此，即③错误；对于④，易知由可得：，由二次函数性质可知当时，取得最小值，所以函数的最小值为，因此④错误.因此只有①正确.故选：B.5.已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（）A.10 B.15 C.20 D.40【答案】C【解析】因为数列是等差数列，为数列的前项和，根据等差数列的性质得到：仍成等差数列，记，设，，，解得，所以，故选：C.6.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，是的中点，是的中点，过，，三点的平面与相交于点，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】设，则，且两两夹角为，因此，因为是的中点，所以，同理，又，因为点在上，所以设，所以，又，，，四点共面，所以存在唯一的实数对，使得，故，所以，解得，所以，所以，故选：D.7.已知双曲线C：的左､右焦点分别为，，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形为矩形，且，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为四边形为矩形，所以，（矩形的对角线相等），所以以MN为直径的圆的方程为.直线MN为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为，由，解得或，所以，或，.不妨设，，又，所以，.在△AMN中，，由余弦定理得，即，则，所以，则，所以.故选：D8.如果函数f(x)＝x4－8x2＋c在[－1，3]上的最小值是－14，那么c＝（）A.1 B.2C.－1 D.－2【答案】B【解析】令f′(x)＝4x3－16x＝0，解得x＝0或x＝－2或x＝2，当或时，，当或时，，所以函数在单调递增，在上单调递减，所以函数的最小值为的较小者，由f(－1)＝c－7，f（2）＝c－16得最小值为f（2）＝c－16＝－14．∴c＝2．故选：B.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，点在正方形内部（含边界）运动，则下列结论正确的是（）A.若为线段的中点，则直线平面B.三棱锥的体积为C.在线段上存在点，使得D.若，则点的轨迹长为【答案】ABD【解析】以原点，方向为轴建立空间坐标系，棱长为，,,,,,,,,，分别是，的中点,,,点在正方形上，设，其中，对于A选项：为线段的中点，则,,又是正方体，则是平面的法向量，，即，又平行平面，所以直线平行平面，A选项正确；对于B，三棱锥体积与相同，的顶点，，，点到的距离恒为，于是，B选项正确对于C，在线段上：，设，，垂直条件即，，但，所以不存在这样的点,C选项错误；对于D，即，，，，，点限制在，且平面上，因此在这个范围内对应一条线段：当时，得；当时，得，线段长度：，所以轨迹长为，D选项正确.故选：ABD10.为椭圆上一点，为的左、右焦点，延长，交于A，B两点、在中，记，，若，则下列说法中正确的是（）A.面积的最大值为B.的离心率为C.若与的内切圆半径之比为3：1，则的斜率为D.【答案】ACD【解析】如图，在中，由正弦定理，，则，即，所以，由所以，则，则最大值为，故A正确，B错误；由题意可得，的斜率不为0，设，联立方程得，恒成立，，，设与的内切圆半径分别为，，因为，，所以，即，，，，所以，即，，所以，C正确；作椭圆的左准线，D，E，G分别为P，A，在左准线上的投影，设，，，所以，，则，得，同理可得，所以，故D正确，故选：ACD．11.已知数列的前n项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（）A.数列为等差数列 B.数列为等比数列C. D.【答案】BCD【解析】因为，所以，则是首项为，公比为3的等比数列，故A错误；根据题意得，，所以数列为首项为2，公比为1的等比数列，故B正确；所以，故C正确；，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知曲线，则曲线在点处的切线方程为______．【答案】【解析】的导数为，曲线在点处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为，即为．故答案为：．13.在平面直角坐标系中，设直线和圆相切，其中，，若函数的零点，则______．【答案】0【解析】∵直线和圆相切，∴圆心到直线的距离是半径，∴，即，∵，，故或，则或，故或，当时，，当时，，当时，，因此无实数根，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故，，∴函数，令，即，∴，∴，∴，∵，∴，∴故答案为：14.在长方体中，对角线与平面交于点.记四棱锥的体积为，长方体的体积为，则的值是______.【答案】【解析】根据题意画出图象，如图连接交于点，平面平面，平面，平面，，连接，是的中点，是中线，又根据平行且等于，，点是的重心，那么点到平面的距离是的，，而，.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知圆的圆心在坐标原点，且与直线相切．（1）过点作直线与圆相交，相交弦长为，求此直线的方程；（2）若与直线垂直的直线与圆交于不同的两点，，若为钝角，求直线的纵截距的取值范围．解：（1）由题意得，圆心到直线：的距离为圆的半径长，所以所以圆的方程为．①当直线斜率不存在时，过点的直线为，代入圆方程可解得，所以弦长为，满足题意；②当直线斜率存在时，设直线方程为，即由弦长公式可得，圆心到直线的距离为.圆心到直线的距离，解得，此时，即.所以所求直线方程为或；（2）因为直线的斜率为1且，所以直线的斜率为，设直线的方程为.与圆的方程联立，整理得．设，，则，是方程的两个不同的根，所以，即，解得.所以，，，，因为为钝角，所以，又，，所以，解得．当时，与反向共线，直线经过，此时，不符合题意，应舍去综上，直线的纵截距的取值范围是且．16.已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求；（2）设数列的前n项和为，求证：．（1）解：设公差为d，由题解得，．所以．（2）证明：由（1），，则有．则．所以．17.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，，，，分别是，的中点．（1）证明：直线平面；（2）求平面与底面所成的锐二面角的余弦值．（1）证明：取中点，连接，，∵为的中点，∴，且又，，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴，又平面，平面，∴直线平面.（2）解：∵平面，平面，∴，∵，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴，∴即为平面与底面所成的锐二面角的平面角，在中，，则，则，故平面与底面所成的锐二面角的余弦值．18.已知椭圆的焦距为4，为椭圆上一点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为椭圆的左焦点，直线，为椭圆上任意一点，点到的距离为，点到的距离为，若为定值，求此定值及的值.解：（1）由椭圆的焦距为4，可得，解得，所以①，又椭圆经过点，所以②，由①②解得，所以椭圆的标准方程为；（2）设，所以，所以，因为为椭圆的左焦点，所以其坐标为，直线，点到的距离为，点到的距离为，若为定值，则为定值对恒成立，即为定值对恒成立，所以为定值对恒成立，即为定值对恒成立，所以，解得，所以为定值，此时的值为.19.已