《数列求和》课件

第四章

培优课❷数列的求和课程标准1.巩固等差数列、等比数列的前n项和公式.2.进一步熟练掌握错位相减法求和.3.理解并掌握数列求和的裂项相消法、分组求和法与并项转化法.重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一公式法求和【例1】

已知数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn.(1)求{bn}的通项公式;(2)求b2+b4+b6+…+b2n的值.规律方法

公式法求和主要是利用以下两个基本公式:(1)等差数列的前n

an=a2+(n-2)d=2n-1.故数列{an}的通项公式为an=2n-1.探究点二裂项相消法求和【例2】

已知Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=24,S10=120.(1)求Sn;(1)解

设等差数列{an}的公差为d.∵S4=24,S10=120,∴4a1+6d=24,10a1+45d=120,解得a1=3,d=2,∴Sn=2n+n2.规律方法

裂项相消法求和的实质是将数列中的通项分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的,其解题的关键就是准确裂项和消项.(1)裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项,直到发现被消去项的规律为止.(2)消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.变式训练2[陕西咸阳质检]已知等差数列{an}满足a2=7,a7+a9=38,数列{an}的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;解

(1)设等差数列{an}的公差为d,而a7+a9=2a8=38,则a8=19.于是得

探究点三分组求和法求和(1)记bn=a2n-1,求出b1的值,并证明数列{bn}为等比数列;(2)求数列{an}的前2n项和S2n.(2)由(1)知,bn=a2n-1=6n-1,a2n=a2n-1+1=2a2n-1=2×6n-1,∴S2n=a1+a3+a5+…+a2n-1+a2+a4+…+a2n=60+61+…+6n-1+2(60+61+…+6n-1)规律方法

分组求和法的解题策略当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列,但如果它的通项公式可以拆分为几项的和,而这些项又构成等差数列或等比数列时,就可以用分组求和法,即原数列的前n项和等于拆分成的每个数列前n项和的和.变式训练3设等差数列{an-bn}的公差为2,等比数列{an+bn}的公比为2,且a1=2,b1=1.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{2an+2n}的前n项和Sn.解

(1)因为a1=2,b1=1,所以a1-b1=1,a1+b1=3,依题意可得

(2)由(1)可知2an+2n=2n-1+5×2n-1,故Sn=(1+3+…+2n-1)+5×(1+2+…+2n-1)探究点四并项转化法求和【例4】

已知数列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n项和Sn.变式探究本例中,将条件改为“已知数列{an}的前n项和Sn=1-5+9-13+…+(-1)n-1·(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.所以S15=29,S22=-44,S31=61.故S15+S22-S31=-76.规律方法

并项转化法求和的解题策略(1)一般地,当数列中的各项正负交替,且各项的绝对值成等差数列时,可以采用并项转化法求和.(2)在利用并项转化法求和时,因为数列的各项是正负交替的,所以一般需要对项数n进行分类讨论,但最终的结果可以用分段形式来表示.探究点五倒序相加法求和【例5】

已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中心为(1010,2).数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=f(n),n∈N*,则S2019=

.

答案

4038解析

由条件得f(2×1

010-x)+f(x)=2×2,即f(2

020-x)+f(x)=4,于是有a2

020-n+an=4(n∈N*).又S2

019=a1+a2+a3+…+a2

018+a2

019,S2

019=a2

019+a2

018+…+a2+a1,两式相加得2S2

019=(a1+a2

019)+(a2+a2

018)+…+(a2

018+a2)+(a2

019+a1)=2

019(a1+a2

019)=2

019×4.故S2

019=2

019×2=4

038.规律方法

如果一个数列的前n项中,距首末两项“等距离”的两项之和都相等,则可使用倒序相加法求数列的前n项和.变式训练4在推导等差数列前n项和公式的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可以求得sin21°+sin22°+…+sin289°=

.

解析

令S=sin21°+sin22°+…+sin289°,则S=sin289°+sin288°+…+sin21°,两式相加可得2S=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin289°+sin21°)=89,探究点六错位相减法求和【例6】

已知各项均为正数的等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.(1)求{an}的通项公式及Sn;解

(1)设等差数列{an}的公差为d,则d>0,∵2a1,a2,a3+1成等比数列,规律方法

错位相减法求和的关注点(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出Sn-qSn的表达式.若公比是字母参数,则应先对参数加以讨论(一般情况下,分公比等于1和不等于1两种情况分别求和).解

∵Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,∴当n=1时,T1=1;当n≥2时,Tn=1+4×30+6×31+…+2n·3n-2,①3Tn=3+4×31+6×32+…+2n·3n-1,②本节要点归纳1.知识清单:(1)并项转化法求和.(2)分组求和法求和.(3)裂项相消法求和.(4)公式法求和.(5)错位相减法求和.(6)倒序相加法求和.2.方法归纳:公式法、分组求和法、裂项求和法、倒序相加法、错位相减法.3.常见误区:并项求和易忽略总项数的奇偶;错位相减法中要注意相减后的项数、符号及化简;裂项相消求和中要关注正项与负项的个数是否相同及相消后前后剩余的项数.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测123451.数列{an}的前n项和Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S27=(

)A.-13 B.13

C.14

D.-14C解析

S27=1-2+3-4+…+25-26+27=(1-2)+(3-4)+…+(25-26)+27=27-13=14.12345A.120 B.180

C.240

D.360C解析

由题意得S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)=(1+2+…+15)+(1+2+…+15)123453.[江苏苏州月考]已知等差数列{an}各项均为正数,首项与公差相A.9069 B.9079 C.9089 D.9099D12345解析

设等差数列{an}的公差为d,因为首项a1与公差d相等,所以an=a1+(n-1)d=nd.12345123455.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a5-a1=90,S4=90.(1)求数列{an}的通项公式;(2)已知数列{bn}中,满足bn=an+log2an,求数列{bn}的前n项和Tn.解

(1)设等比数列{an}的公比为q,由a5-a1≠0可知q≠1,由a5-a1=a1q4-a1=90,所以数列{an}的通项公式为an=6×2n-1=3×2n.12345类型1

公式法

B

【解析】

类型2

倒序相加法

DA.8

096

B.8

094

C.4

048

D.4

047

【解题技巧】将一个数列倒过来排列,当它与原数列相加时,若有规律可循,并且容易求和,则这样的数列求和时可用倒序相加法.

44.5

类型3

错位相减法

.

.

.

..

.

类型4

裂项相消法

D

【解题技巧】裂项相消法求和的关键是将数列的通项公式裂为两个结构相同的式子之差，求和时需要在前后多呈现几项，找出相消的规律（相邻项相消、隔项相消等），确保正确求和.

CA.30

B.31

C.40

D.41

【解题技巧】裂项