北京市顺义区第九中学2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测高一年级数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市顺义区第九中学2025-2026学年度第二学期期中学业质量监测高一年级数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知M(2,3),N(3,1)，则NM⇀的坐标是(

)．A.2,−1 B.−1,2 C.−2,1 D.1,−22.已知向量a=1,2，b=3,−4，则A.−4 B.−2 C.0 D.43.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(−1,2)，则下列结论正确的是(

)A.z⋅i=2−i B.复数z的共轭复数是1−2i

C.z2的实部为−3 D.4.已知向量a=(2,1)，b=(x,−2)，且a//b，则xA.4 B.−4 C.2 D.−25.已知不重合的直线a，b，c与两个平面α，β，则下列四个命题中错误的是(

)A.若a//b，b⊥c，则a⊥c B.若a⊥α，b⊥α，则a//b

C.若α//β，c⊥α，则c⊥β D.若a⊥α，a⊥b，则b//α6.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，则AA.π6 B.π4 C.π37.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF=(

)

A.34AB+14AD B.18.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1被一个平面截成两个几何体，其中EF//B1C1//BC，AB=2，BC=1，A.12 B.1 C.32 9.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BC1A.33 B.22 C.10.如图，在▵ABC中，AB⋅AD=0，AD=2，BD=23A.4 B.6 C.42 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.若复数z满足z=1+2i2−i(i为虚数单位)，则复数z的虚部为

12.在▵ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:3，则cos13.已知a，b均是单位向量，a+b=2，则a⋅b14.已知一轴截面为正方形的圆柱体和一个小球的表面积相同，则此圆柱体与小球的体积之比为

．15.四边形ABCD是边长为2的正方形，若点P为边AB的中点，则|PC+PD|=

；若点P在边AB(包含端点)上运动，则PC⋅PD三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)如图，正方体ABCD−A1B1C

(1)证明：A1C1(2)证明：BD1//(3)证明：AC⊥平面BDD117.(本小题12分)已知向量a=3,1，b=1,2，(1)求向量a，b的夹角；(2)求实数m的值．18.(本小题12分)如图，在正三棱柱ABC−A1B1C(1)求证：A1B1(2)求证：BE⊥AC(3)若AB=A1A=2，求三棱锥19.(本小题12分)在△ABC中，a=7，b=8，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．(1)求∠A；(2)求▵ABC的面积．条件①：c=3；条件②：cosB=−注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．20.(本小题14分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，△ABC的面积为S，且S=a(1)求角C；(2)若c−b=2bcosA，试判断△ABC21.(本小题15分)如图，四边形ABCD是矩形，AD=2，DC=1，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，EC=1.点F为线段BE的中点．(1)求证：CE⊥平面ABE;(2)求证：DE//平面ACF;(3)求AC和平面ABE所成角的正弦值．

参考答案1.B

2.C

3.C

4.B

5.D

6.C

7.C

8.C

9.A

10.B

11.1

12.1313.1

14.615.44

16.解：(1)连接AC，A1在正方体ABCD−A则AA1//CC1，A又因为AC⊂平面AEC，所以A1C1(2)

连接BD交AC于O，连接OE，BD因为四边形ABCD是正方形，所以O为BD的中点，在▵BDD1中，因为E为DD1的中点，O为又因为OE⊂平面AEC，所以BD1//(3)在正方体ABCD−A1B1C因为AC⊂平面ABCD，所以DD因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC，又因为DD1∩BD=D，DD1⊂平面所以AC⊥平面BDD

17.解：(1)因为a=3,1，b=1,2，所以所以a,b=π4(2)因为c⊥所以c⋅解得：m=4．

18.解：(1)证明：因为D、E分别为BC、AC的中点，则DE//AB，又AB//A所以DE//A又平面DEC1，DE⊂平面DE所以A1B1(2)证明：在正三棱柱ABC−A1B1C1中，因为BE⊂平面ABC，所以AA1⊥BE，又E为AC又AA1∩AC=A，A所以BE⊥平面AA又AC1⊂平面A(3)解：在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=BC=2，AA1=2则EC=CD=1，∠ACB=60所以S▵CDE故三棱锥C1−CDE的体积为

19.解：(1)选条件①：c=3．在△ABC中，因为a=7，b=8，c=3，由余弦定理，得cosA=因为A∈0,π所以∠A=π选条件②：cos由余弦定理得：cosB=a2+c2−b2因为A∈0,π所以∠A=π(2)选条件①：c=3由(1)可得sinA=所以▵ABC的面积S=1选条件②：cosB=−

由(1)可得cosA=因为sin====3所以▵ABC的面积S=12

20.解：(1)在▵ABC中，因为S=a2+整理得tanC=1，且C∈0,π(2)由正弦定理得sinC−∵sin∴sin∴sin于是sinA−B又A,B∈0,π，故−π<A−B<π，所以B=π−A−B或B=A−B，因此A=π(舍去)或A=2B，所以∵C=▵ABC是等腰直角三角形．

21.(1)证明：如图，

由AB⊥平面BCE，CE⊂平面BCE，可得AB⊥CE，

又由BE⊥EC，而AB∩BE=B，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，

故CE⊥平面ABE；

(2)证明：连结BD交AC于M，连结FM，

因为四边形ABCD为矩形，故M为BD中点，

又点F为线段BE的中