9.4 高斯公式通量与散度

1解

把

分为上下两部分根据对称性

思考

下述解法是否正确:例3

计算曲面积分其中

为球面外侧在第一和第八卦限部分.23说明对坐标的曲面积分由于有的取向在内，所以具有和定积分，重积分，第一类曲线积分，第一类曲面积分在对称性问题上相反的结论。即若关于xoy面对称，则4例4设S是球面的外侧,计算解

利用轮换对称性,有59.3.3两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的如下关系：其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面Σ上点（x，y，z）处的法向量的方向余弦。6令向量形式(A在n上的投影)有向曲面元7例5

把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，其中Σ是z=8－(x2+y2)在xOy面上方部分的上侧解N={-zx，-zy，1}={2x，2y，1}n={cosα，cosβ，cosγ}8例6

计算曲面积分其中

解

利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2

之间部分的下侧.9原式

=109.42.通量与散度1.高斯公式Green公式推广Gauss公式高斯公式通量与散度11一、高斯Gauss公式

定理1

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P(x，y，z)、Q(x，y，z)、R(x，y，z)在Ω上具有一阶连续偏导数，则有或（1′）这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。公式（1）或（1′）叫做高斯公式。12（2）关于Ω的边界曲面的正向：Ω是单连通区域时取外侧；Ω是复连通区域时外层取外侧，内层取内侧。关于高斯公式的说明:（1）如穿过Ω内部且平行于坐标轴的直线与Σ的交点多于两个时，采用分块的方法…13（3）高斯公式成立的条件：Σ光滑或分片光滑，P、Q、R在Ω上一阶偏导连续。（4）Σ不闭合时，采取“补面”的方法：Σ+Σ1封闭，所围区域Ω。设方向为正向，则

注意：右端需易于计算，否则不用此法。14例1

用Gauss公式计算其中

为柱面闭域

的整个边界曲面的外侧.解这里利用Gauss公式,得原式=及平面z=0,z=3所围空间思考

若

改为内侧,结果有何变化?若

为圆柱侧面(取外侧),如何计算?15例2利用Gauss公式计算积分其中

为锥面解

作辅助面取上侧介于z=0及z=h之间部分的下侧.所围区域为

,则16利用重心公式,注意17例3

计算其中（1）的外侧；（2）的内侧；

解

(1)(2)18例4

计算，Σ为平面x+y+z=1与三坐标面所围成的表面，取外侧。

解比用第二类曲面积分的方法简单得多。

19例5设

为曲面取上侧,求解

作取下侧的辅助面用柱坐标用极坐标20在闭区域

上具有一阶和二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式例6设函数其中

是整个

边界面的外侧.分析高斯公式21证令由高斯公式得移项即得所证公式.22二、通量与散度引例

设稳定流动的不可压缩流体的密度为1,速度场为理意义可知,设

为场中任一有向曲面,单位时间通过曲面

的流量为则由对坐标的曲面积分的物由两类曲面积分的关系,流量还可表示为23若

为方向向外的闭曲面,

当

>0时,说明流入

的流体质量少于当

<0时,说明流入

的流体质量多于流出的,则单位时间通过

的流量为当

=0时,说明流入与流出

的流体质量相等.流出的,表明

内有泉;表明

内有洞;根据高斯公式,流量也可表为③24如果Σ是高斯公式(1)中闭区域的边界曲面的外侧，那末高斯公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的总质量。由于我们假定流体是不可压缩的，且流动是稳定的，因此在流体离开Ω的同时，Ω内部必须有产生流体的“源头”产生出同样多的流体来进行补充。所以高斯公式左端可解释为分布在Ω内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量。设Ω的体积为V，式（1）两端同除以V，有上式左端表示Ω内的源头在单位时间单位体积内所产生的流体质量的平均值。25方向向外的任一闭曲面

,

记

所围域为

,设

是包含点M且为了揭示场内任意点M处的特性,在③式两边同除以

的体积V,并令

以任意方式缩小至点M则有此式反应了流速场在点M的特点:其值为正,负或0,分别反映在该点有流体涌出,吸入,或没有任何变化.26定义设有向量场其中P,Q,R

具有连续一阶偏导数,

是场内的一片有向则称曲面,其单位法向量n,为向量场通过有向曲面

的通量(流量)。在场中点M(x,y,z)

处

称为向量场A

在点M

的散度。记作27表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值的大小反映了源的强度.若向量场A

处处有,则称A

为无源场。

例如,

匀速场故它是无源场.说明:由引例可知,散度是通量对体积的变化率,且28*例7.置于原点,电量为q

的点电荷产生的场强为解:

计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.29例8

已知向量，Σ为圆柱的全表面，求A穿过曲面Σ而流向其外侧的通量解：30内容小结1.高斯公式及其应用公式:应用:(1)计算曲面积分(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2)推出闭曲面积分为零的充要条件:312.通量与散度设向量场P,Q,R,在域G内有一阶连续偏导数,则向量场通过有向曲面

的通量为G内任意点处的散度为32n思考与练习所围立体,判断下列演算是否正确?(1)(2)

为

33

备用题设

是一光滑闭曲面,所围立体

的体

是

外法线向量与点(x,y,z)的向径试证证:

设

的单位外法向量为则的夹角,积为V,34高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列的伟大数学家,他的数学成就遍及各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献,他还十分重视数学的应用,地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分谨慎,原则:代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这样的“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.35曲线积分习题课一、内容提要及教学要求

1会计算两类曲线积分

(α<β)这里下限α对应于L的起点，上限β对应于L的终点。

36cosα、cosβ的求法：起点A

、终点B分别对应参数α、β。

(当α<β时取正号，

α>β时取负号)2两类曲线积分的关系373格林公式2）D的面积3）注意格林公式应用的条件：P,Q具有一阶连续偏导，L为封闭曲线。若不满足，则应(i)挖洞。(ii)添线成为封闭曲线。38（1）条件（2）应用5全微分求积64个等价条件39与路径无关的四个等价命题条件等价命题40

(1)已知二、典型例题

例1填空L的长度为a414243例5计算顺时针方向

L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

44例8计算Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。

45

(1)已知解：又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以

于是I=12a。

L的长度为a，求即3x2+4y2=12，所以464748OA4950取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则51解：L：例5计算顺时针方向

注：

应充分利用L的方程简化被积函数。

52L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

解：所以

53

取l为x2+y2=2上从点A(，0)经上半圆到点B(，0)的有向曲线，则或2OxyAB5455解56解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终点为B的光滑曲线C1、C2。

再补充一条光滑曲线C3使C1+C3和C2+C3成为包围原点的正向曲线（如图所示）

C2C3OC1ABxy则由题设知

所以有

57由C1、C2的任意性知，在不含原点的单连通域内，该曲线积分与路径无关。

（2）由（1）知，在(x，y)≠(0，0)时，应恒有即

即

取L：x2+2y2=1，取逆时针方向。则58起点对应θ=0，终点处θ=2π

例8计算θOxy所以

解：

Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。59

Γ是用y=z去