8.4 重积分的应用

18.4重积分的应用

在前面几节中我们已经介绍了利用重积分可以求空间立体体积以及空间物体的质量，本节再介绍重积分在几何和物理方面的几个应用。27.4.1微元法（元素法）如果要求的量U(2)在D内任取一直径很小的闭区域d

，相应的部分量可近似地表示为(1)U对于有界闭区域D具有可加性；量U的元素（微元）是较d

高阶的无穷小,(f(x,y)连续时成立)则34例1

求半径为a的球面与半顶角为

的内接锥面所围成的立体（如图）的体积。解设球面通过原点O，球心在z轴上，又内接锥面的顶点在原点O，其轴与z轴重合，立体所占有的空间闭区域

可用不等式表示:Oxyz球面方程为r=2acos

，锥面方程为

=

。5所以Oxyz67

8.4.2曲面的面积①曲面方程:z=f(x,y)(x,y)

Dxy

②曲面方程:x=g(y,z)(y,z)

Dyz计算公式8③曲面方程:y=h(z,x)(z,x)

Dzx9推导：

设曲面S：z=f(x,y),(x,y)∈D,f在D上一阶偏导连续。(1)S的面积A对于D具有可加性(2)在D内任取一直径很小的区域d

，在d

上任取一点P(x,y,0)对应于S上一点M(x,y,f(x,y))

。显然(3)过点M(x,y,f(x,y))，作S的切平面

。10(4)以d

的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，该柱面在曲面S上截下一小片曲面⊿A，在切平面

上截下来一小片平面dA。再看dA与d

之间的关系

由于d

直径很小,fx,fy连续，有

A≈dA。曲面S：z=f(x,y),(x,y)∈D11曲面S：z=f(x,y),(x,y)∈D曲面S的面积元素12Dxyyxoab1314yxoyaxoD15yxoDyaxo16zoy2178.4.3质心先讨论平面薄片的质心。

设在xoy平面有n个质点分别位于(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)处，质量分别为m1、m2、…、mn,由力学知道:My、Mx叫质点系对于坐标轴的静力距。

质心运动定理：质心的运动和一个位于质心的质点的运动相同，该质点的质量等于质点系的总质量，而该质点上的作用力则等于作用于质点系上的所有外力平移到这一点后的矢量和18DxOyyx

先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分d

，它的质量元素为

这个部分d

对于x轴以及对于y轴的静力距元素为19DxOyyx20

如果薄片是均匀的，即当

(x,y)为常量时，可得到如下的质心坐标：DxOyyx

这时薄片的质心完全由闭区域D的形状决定，这样求得的质心又称为平面薄片的形心。21例5求位于两圆r=2sin

和r=4sin

之间的均匀薄片的质心(如图)。

D

由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间，所以它的面积等于这两个圆的面积之差，即A=3

。4o2xy22

再利用极坐标计算积分D4o2xy2324例6求均匀半球体的重心。解取半球体的对称轴为z轴，原点取在球心上。

：x2+y2+z2

a2，z

0zxyoa25例

计算解：所以O12x

1y反过来，也可利用静力矩、形心概念求形如当然，这形心、面积要易知。类的积分。26先讨论平面薄片的转动惯量。

设在xoy平面有n个质点分别位于(x1,y1)、(x2,y2)、…、(xn,yn)处，质量分别为m1、m2、…、mn,由力学知道:Ix、Iy是该质点系对于坐标轴x轴以及y轴的转动惯量。

8.4.4转动惯量27

设有一平面薄片占有平面闭区域D,在点(x,y)处具有连续面密度

=

(x,y)，下面利用元素法求该平面薄片对两坐标轴的转动惯量。DxOyyx

先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分d

，它的质量元素为

这个部分d

对于x轴以及对于y轴的转动惯量元素为28DxOyyx

以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，可得2930例7求半径为a的均匀半圆薄片(面密度为常量

)对于其直径边的转动惯量。解取坐标系如图所示，则薄片所占闭区域D可表示为x2+y2

a2，y

0；yxa-ao

而所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量Ix。31xyzoa328.4.5引力

设有一平面薄片，占有xoy平面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为

(x,y)，假定

(x,y)在D上连续。

现在要计算该薄片对位于z轴上点M0(0,0,a)(a>0)处的单位质量的质点的引力。P(x,y,0)xyozxy(0,0,a)33xyozxy(0,0,a)P(x,y,0)3435例9求半径为R的匀质球：x2+y2+z2

R2对于位于点M0(0,0,a)(a>R)处的单位质量的质点的引力。zxyoa36zxyoa37由球体的对称性易知Fx=Fy=0zxyoa3839重积分的习题课二404142证明区域D如图所示。将所给二次积分写成二重积分，有

再将所给的二次积分中x、y对换xyD43xyDD

44

也可借用原函数证明：设F(x)是f(x)的一个原函数，则45解积分区域如图xyD46xyD47证明

选择积分区域如右Dxy48例5设f(x)是[0，1]上的正值连续函数，且单调减少，求证证明在题设条件下，xy49将上式中的x、y对换，有xy由于f(x)单调减且正值，知有所以I

0，即(1)式成立。50又因为D关于直线y=x对称，于是有5152其中Ω：x2+y2+z2≤2RzOxyz2RM解法一：利用球面坐标解：53解法二：用柱面坐标计算54解法三：“先二后一法”用竖坐标为z（0≤z≤2R）的平面截Ω。所得截面记为Dz，其面积为π(2Rz－z2)则解法四：利用质心概念、设体密度为1，球体质心为(0，0，R)55例8

利用对称性计算下列三重积分。

56例9

设f(t)连续，f(0)=0，f′(0)=1，求