10.4 将函数展开成幂级数

110.4.1泰勒级数10.4将函数展开成幂级数10.4.2将函数展开成幂级数210.4.1泰勒级数

反问题：给定一个函数,能否找到一个幂级数，它在某区间上收敛，而其和函数恰是.

若能找到这样的幂级数，则称函数f(x)在该区间上能展开成幂级数。

上一节主要讨论幂级数的收敛域及和函数。

在一元函数微分学中我们知道：10.4将函数展开成幂级数3

如果函数f(x)在含有x0的某开区间(a,b)内有直至(n+1)阶的导数，则对(a,b)内任一点x，有ξ是位于x0、x之间的某个值。4

误差为|Rn(x)|。

如果函数f(x)在含有x0的某开区间(a,b)内各阶导数都存在，则Pn(x)的项可无限增加而得一幂级数：幂级数（3）称为函数f(x)的泰勒级数。5问题：(1)此级数是否收敛？(2)若收敛，和函数是否为f(x)?设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有(3)若f(x)能展开幂级数是否还有其它形式?10.4.2将函数展开成幂级数定理10.4.1各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成幂级数的充要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n

时的极限为0，即:6证明先证必要性。

设函数f(x)在U(x0)上能展开成泰勒级数，即对一切x

U(x0)成立。我们把f(x)的n阶泰勒公式（1）写成：f(x)=sn+1(x)+Rn（x）7其中sn+1(x)是f(x)的泰勒级数（3）的前n+1项的和。因为f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数（4），所以再证充分性：由f(x)的n阶泰勒公式

有：sn+1(x)=f(x)

Rn（x）即函数f(x)的泰勒级数在U(x0)收敛，且收敛于f(x)。证毕。8级数（5）称为函数f(x)的麦克劳林级数。在（3）式中若取x0=0,得：定理10.4.2(唯一性)9逐项求导任意次,得泰勒系数证明10即f(x)的关于x的幂级数就是麦克劳林级数。111直接法：具体步骤如下：（i）求f(x)的各阶导数。（ii）求f(x)的各阶导数在x=0（x=x0)处的值。（iii）写出f(x)所对应的幂级数，即麦克劳林（泰勒级数）：并求出其收敛半径R。函数展开成幂级数的方法和步骤12（iv）在（

R,R）内考察：若为零，则在（

R,R）内有得f(x)的麦克劳林级数：它的收敛半径为R=+

例1解13对任何有限的x,ξ(ξ是位于0、x之间的某个值。得展开式：14得f(x)的麦克劳林级数：它的收敛半径为R=+

对任何有限的x,ξ(ξ是位于0、x之间的某个值）。例2解15得展开式：注（1）注意求f(x)的麦克劳林级数与将函数展开成x的幂级数的区别。（2）直接法的缺点：计算量大，余项的研究往往很困难。162间接法：（理论依据：展开式的唯一性）（i）利用一些已知函数的幂级数展开式。（ii）利用幂级数的运算（四则，逐项求导，逐项积分）。（iii）变量代换。上式对x求导（右端逐项求导）得例3解17将上式从0到x逐项积分：例4解18例5解注：逐项积分逐项微分可能改变区间端点的收敛情况。将上式从0到x逐项积分：19例6解2021注应熟记下列函数的幂级数展开式：22m为任意实数。23例7解2425例8解261内容及要求(1)

熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法

(2)会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数展开成幂级数。

(4)掌握傅立叶级数的收敛定理，能将[-,

]上的函数展为傅立叶级数，能将[0,]上的函数展为正弦级数或余弦级数。(5)能将[-l,l]上的函数展为傅立叶级数，能将[0,l]上的函数展为正弦级数或余弦级数。272典型例题例1填空[-2，2）绝对收敛R=428R2R绝对收敛29例2求下列幂级数的收敛域当x=±1时，级数发散，所以该幂级数的收敛域为(－1，1)303132例3求幂级数的和函数

解(1)易知该幂级数的收敛域为(－1，1)

设其和函数为s(x)，则3334(2)

故该幂级数的收敛域为

35(3)易知该幂级数的收敛域为[－1，1]，设其和函数为s(x)，则36于是

37(4)

易知幂级数的收敛域为（0，2）38(5)