初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第8讲由常量数学到变量数学

第8讲由常量数学到变量数学一、引言：从静止到运动的跨越同学们在初中阶段的数学学习，大多集中在算术、代数初步和平面几何等领域。这些内容，无论是求解一个固定的数值，还是证明一个既定的几何命题，我们所处理的量，在很多情况下是相对固定的，我们称之为“常量”。例如，已知三角形的两边及其夹角，求第三边的长度；或者计算一个固定半径的圆的面积。这类数学问题，我们可以概括为“常量数学”的范畴。常量数学以其严谨的逻辑和精确的计算，为我们描述了一个相对稳定和确定的世界。然而，当我们把目光投向更广阔的自然界和更复杂的现实问题时，会发现“变化”才是常态。行星的运行轨迹如何随时间变化？物体在重力作用下的下落距离与时间有何关系？某种商品的销售量如何随价格的调整而波动？这些问题中，涉及到的量不再是固定不变的，而是处于动态变化之中。为了刻画和研究这些“变化”的现象，数学需要从对“常量”的关注转向对“变量”的研究，这就标志着数学从“常量数学”向“变量数学”的跨越。这一跨越，是数学发展史上的一次重大飞跃，它不仅极大地拓展了数学的应用范围，也深刻地改变了人们认识世界的方式。本讲将引领大家初步认识这一转变，感受变量思想的魅力，并学习运用初步的变量观念解决一些简单的问题。二、常量与变量：数学中的“变”与“不变”2.1常量与变量的概念在一个具体的变化过程中，我们常常会遇到各种各样的量。有些量，在这个过程中其数值始终保持不变，我们称之为常量（constant）。而另一些量，其数值会发生变化，我们称之为变量（variable）。例如：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶的时间为t小时，行驶的路程为s千米。在这个过程中，“速度60千米/小时”是常量，而“时间t”和“路程s”是变量。一个长方体盒子的高为5cm，底面是正方形，边长为xcm，盒子的体积为Vcm³。这里，“高5cm”是常量，“底面边长x”和“体积V”是变量。需要注意的是，常量和变量的区分是相对的，依赖于具体的“变化过程”。同一个量，在某个过程中是常量，在另一个过程中可能就是变量。例如，上述例子中的汽车速度，如果汽车在行驶过程中加速或减速，那么速度也就成为了变量。2.2如何识别常量与变量识别常量与变量，关键在于明确所研究的“变化过程”是什么，以及在这个过程中，哪些量是固定的，哪些量是可以取不同数值的。通常，我们会先确定问题中描述的是哪个变化过程，然后分析其中涉及的各个量的特性。三、函数：变量间的依赖关系在研究变量时，我们往往发现，变量之间并非孤立存在，它们之间常常存在着某种确定的依赖关系。3.1函数的概念引入我们来看几个具体的例子：1.上述汽车行驶的例子中，路程s随着时间t的变化而变化。当时间t确定一个值时，路程s就有唯一确定的值与之对应。例如，t=1时，s=60；t=2时，s=120，等等。2.上述长方体盒子的例子中，体积V随着底面边长x的变化而变化。当x确定一个值时，V（通过公式V=5x²）就有唯一确定的值与之对应。3.商店里一支钢笔售价10元，购买钢笔的数量为n支，总价为m元。总价m随着数量n的变化而变化，当n确定时，m=10n也唯一确定。在这些例子中，都有两个变量，并且当其中一个变量（通常称为“自变量”）取一个确定的值时，另一个变量（通常称为“因变量”）按照某种规则总有唯一确定的值与之对应。这种两个变量之间的确定性依赖关系，就是我们要学习的函数关系。3.2函数的描述性定义一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independentvariable），y是x的函数（function），y是因变量（dependentvariable）。如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。例如，在路程公式s=60t中，对于t的每一个确定的值（t≥0），s都有唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数，t是自变量，s是因变量。当t=3时，函数值s=180。理解函数概念的核心在于“两个变量”、“x的每一个确定的值”、“y有唯一确定的值与之对应”。这个“对应规则”是函数的灵魂。四、函数的表示方法函数关系是客观存在的，我们如何将其清晰地表达出来，以便于研究呢？常用的函数表示方法有三种：4.1列表法通过列出自变量的值与对应的函数值的表格来表示函数关系的方法，叫做列表法。例如，某城市某一天的气温变化记录表（部分）：时间t（时）810121416:---------::---::---::---::---::---:气温T（℃）1518222523这里，表格清晰地展示了气温T随时间t变化的函数关系。优点：直观、具体，可直接查得某些自变量对应的函数值。缺点：只能列出部分自变量的值，难以反映函数的全貌和变化趋势。4.2解析法（关系式法）用数学式子（等式）来表示两个变量之间函数关系的方法，叫做解析法，也称为关系式法。例如：s=60t（路程与时间的函数关系）V=5x²（长方体体积与底面边长的函数关系）y=2x+3（一个简单的一次函数）优点：简洁、精确，便于进行理论分析、计算和推导。缺点：不够直观，有些实际问题中的函数关系难以用解析式表示。4.3图像法用平面直角坐标系中的图形来表示函数关系的方法，叫做图像法。图像是由满足函数关系的所有点（x,y）组成的集合。例如，我们可以在平面直角坐标系中，以时间t为横轴，气温T为纵轴，将上述气温记录表中的数据描点，再用平滑的曲线连接起来，就得到了气温随时间变化的图像。优点：形象、直观，能清晰地反映函数的变化趋势、增减性、最值等。缺点：所得函数值是近似的，不够精确。在解决实际问题时，我们常常需要根据具体情况选择合适的表示方法，有时甚至会综合运用多种方法。五、用函数的眼光看问题：初步应用函数思想是变量数学的核心思想。学会用函数的眼光看待问题，意味着我们要善于从变化中寻找规律，从变量间的相互依赖中把握本质。5.1利用函数关系解决实际问题例题1：一个游泳池有一个进水管和一个出水管。单独开进水管，10小时可将空池注满；单独开出水管，15小时可将满池水放空。若两管同时打开，多少小时可将空池注满？分析：这是一个工程问题，我们可以用函数的观点来分析。设游泳池的容积为V（常量），注水时间为t小时。进水管的注水速度为V/10（单位：容积/小时），出水管的放水速度为V/15（单位：容积/小时）。两管同时打开，每小时的净注水量为(V/10-V/15)=V/30。设t小时后水池的水量为y，则y=(V/30)*t。我们要求的是当y=V时，t的值。即(V/30)*t=V→t=30。答：30小时可将空池注满。（注：在这个问题中，我们关注的是水量y随时间t的变化关系，尽管V是常量，但它帮助我们建立了y与t之间的函数关系。）例题2：某商店销售一种成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=-10x+600（30≤x≤60）。（1）设每天的销售利润为w元，求w与x之间的函数关系式。（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？分析：（1）利润=（售价-成本）×销售量。已知成本为30元/件，售价为x元/件，销售量y=-10x+600。所以w=(x-30)*y=(x-30)(-10x+600)。展开化简：w=-10x²+600x+300x-____=-10x²+900x-____。所以，w与x之间的函数关系式为w=-10x²+900x-____（30≤x≤60）。（2）这是一个二次函数求最值的问题。对于二次函数w=ax²+bx+c，当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=-b/(2a)处取得最大值。这里a=-10，b=900。x=-900/(2*(-10))=45。因为30≤45≤60，所以当x=45时，w有最大值。w最大值=-10*(45)²+900*(45)-____=-10*2025+____-____=-____+____-____=2250。答：（1）w=-10x²+900x-____；（2）销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是2250元。5.2从图像中获取信息函数图像能够直观地展示函数的变化趋势。学会读图、识图、用图是非常重要的能力。例题3：如图是某物体在0到12秒内的速度v（单位：米/秒）随时间t（单位：秒）变化的图像。根据图像回答：（1）物体在第2秒时的速度是多少？（2）物体在哪个时间段内速度保持不变？速度是多少？（3）物体在哪个时间段内速度不断增加？（*此处应有图像，假设为一个折线图，大致描述：从t=0，v=0开始，斜向上到t=3，v=6；然后水平到t=7，v=6；然后斜向下到t=12，v=0。*）分析与解答：（1）找到t=2秒对应的图像上的点，其纵坐标即为速度。由图像可知，物体在第2秒时的速度是4米/秒。（2）图像中水平的线段表示速度保持不变。观察图像，在t=3秒到t=7秒这段时间内，图像是水平的，速度保持在6米/秒。（3）图像中呈上升趋势的线段表示速度不断增加。观察图像，在t=0秒到t=3秒这段时间内，图像是斜向上的（上升），速度不断增加。六、总结与展望本讲我们初步接触了变量数学的基本概念，从常量与变量的识别，到函数关系的建立与表示，再到运用函数思想解决简单问题。我们看到，从常量数学到变量数学，不仅仅是研究对象的扩展，更是一种思维方式的革新——它要求我们用运动、变化、联系的观点去分析和解决问题。函数是描述客观世界中变量关系的重要数学模型，是初中数学竞赛中的核心内容之一。后续我们还将深入学习一次函数、反比例函数、二次函数等具体函数的图像与性质，以及它们在更复杂问题中的应用。掌握好函数的概念和思想方法，将为我们打开一扇通往更广阔数学世界的大门，帮助我们更好地理解自然和社会现象。七、习题精练1.选择题：下列各选项中，两个变量之间是函数关系的是（）A.人的身高与体重B.正方形的边长与它的面积C.某同学的数学成绩与物理成绩D.汽车行驶的路程与驾驶员的年龄2.填空题：一个三角形的底边长为8cm，高为hcm，面积为Scm²。则S与h之间的函数关系式为_________，其中自变量是______，因变量是______。3.解答题：某通讯公司推出两种手机流量套餐：套餐A：月租费20元，包含100MB流量，超出部分按0.3元/MB计费。套餐B：月租费50元，包含500MB流量，超出部分按0.2元/MB计费。设每月使用流量为xMB，分别写出两种套餐的费用yA（元）、yB（元）与x之间的函数关系式（注明x的取值范围）。4.解答题：如图（假设为一个简单的一次函数图像，过点(0,2)和(3,0)），是某函数y=kx+b的图像。（1）求k和b的值；（2）当x=1时，求y的值；（3）当y=1时，求x的值。5.应用题：某工厂生产一种产品，每件产品的成本为20元，销售价为x元（x≥20）。根据市场调查，日销售量y（件）与销售价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-10x+500。（1）求日销售利润w（元）与销售价x（元）之间的函数关系式；（2）要使每日的销售利润不低于2000元，销售价x应控制在什么范围内？---习题解答提示：1.B（对于正方形边长的每一个确定值，面积都有唯一确定的值与之对应）。2.S=4h；自变量h；因变量S。3.套餐A：当0≤x≤100时，yA=20；当x>100时，yA=20+0.3(x-100)=0.3x-10。套餐B：当0≤x≤500时，yB=50；当x>500时，yB=50+0.2(x-500)=0.2x-50。4.（1）将(0,2)代入得b=2；将(3,0)代入0=3k+2，解得k=-2/3。所以y=-2/3x+2。（2）x=1时，y=-