四川省字节精准教育联盟2026年普通高中学业水平选择性考试冲刺试题 数学+答案

四川字节精准教育联盟2026年普通高等学校招生全国统一考试冲刺数学试题一、单选题1．集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则（

）A． B． C． D．3．已知等差数列的前4项和，，等比数列满足，，则（

）A．81 B．243 C．27 D．7294．某地区发现一种传染病，初期感染人数增长符合指数函数模型（其中y为感染人数，为初始感染人数，k为传播系数，t为发现疫情后的天数，e为自然对数的底数）．已知发现疫情第1天感染人数为120人，第3天感染人数为270人．若感染人数达到1000人时需要启动紧急防控预案，则最迟应在发现疫情后第（

）天启动．（参考数据：，，）A．6 B．7 C．8 D．95．的展开式中，的系数为（

）A．80 B．60 C． D．6．已知是定义在上的偶函数，且对任意，总有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．7．设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（

）A． B． C． D．8．已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（

）A．该样本的70%分位数为7分 B．该样本的极差为5分C．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.810．将函数的图象向左平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（

）A．函数的图象的一条对称轴为直线B．函数的图象的一个对称中心为C．函数的周期为D．不等式的解集为11．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，E为边AB的中点，沿DE将△ADE折起，点A折至A1处（A1∉平面ABCD），若M为线段A1C的中点，平面A1DE与平面DEBC所成锐二面角α，直线A1E与平面DEBC所成角为β，则在△ADE折起过程中，下列说法正确的是（）A．存在某个位置，使得BM⊥A1DB．△A1EC面积的最大值为C．sinαsinβD．三棱锥A1﹣EDC体积最大时，三棱锥A1﹣EDC的外接球的表面积16π三、填空题12．若，且，则ab的最小值是______．13．已知圆：，圆：，，分别是圆，上的动点，为轴上的动点，则点到，两点的距离之和的最小值为______．14．有5个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望_________.四、解答题15．人教A版选择性必修二第8页中提到：欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数且与互素的正整数的个数，例如：，，，，，，．正偶数与不互素，所有正奇数与互素，比小的正奇数有个，所以；(1)求，，的值；(2)已知数列满足，求的前项和；(3)若数列的前项和为，对任意，均有恒成立，求实数的取值范围．注：两个整数互素是指这两个整数的最大公因数为1．16．甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了局后比赛结束．(1)求甲获得这次比赛胜利的概率；(2)求的分布列及期望．17．已知函数，．(1)令，求在点处的切线方程：(2)讨论在上的单调性；(3)证明：（i）当时，（ii）．18．已知双曲线E的方程为，是一个定点．(1)若点M在双曲线E的渐近线上，求E的离心率；(2)若点M在双曲线E上，P，Q是双曲线E上的另外两个动点，O是坐标原点．（i）当M是的重心且直线PQ的斜率为2时，求双曲线E的方程；（ii）当时，求证：存在一个定圆与直线PQ相切．19．如图①，在中，，点D是边AB上一点，且，．(1)若DC平分时，求的大小；(2)如图②，将沿DC翻折至，使平面平面BDC．（i）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积；（ii）求直线与平面所成角的正弦值的最大值．

参考答案1．C【详解】由题意得，，则.2．A【详解】因为所以所以.3．B【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，在等差数列中，，，所以有，故，所以，，则，故.故选：B4．B【详解】由题意可得，所以，所以.由，得，两边取自然对数得，所以，所以，所以，所以，所以，即.所以最迟应在发现疫情后第7天启动．5．D【详解】，则其展开式通项为，令，则的展开式中含的项为，所以的系数为，故选：D．6．A【详解】因对任意，总有，可知在上单调递减，又因是定义在上的偶函数，故在上单调递增，故，两边取平方得，即，解得或，故不等式的解集为.7．B【详解】因为①，，即②，联立①②，解得：，而，所以，即.故选：B8．B【详解】因对任意恒成立，即在上恒成立变形得在上恒成立，即在上恒成立，设，则有，由，可知函数在上单调递增，故得，即在上恒成立，设，则，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，故在时取得极大值，也是最大值为，故得，即实数a的最小值为.9．BCD【详解】将样本数据从小到大排序：5,6,6,6,7,7,7,8,8,10,选项A，分位数位置：，因为为整数，所以70%分位数是第7项和第8项数据的平均值，即分位数是，A错误选项B，极差=最大值-最小值=10-5=5，B正确；选项C，样本均值，用样本均值估计总体均值，C正确；选项D，样本方差，D正确.10．BD【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到函数，选项A：的对称轴为，​不是它的对称轴，A错误；选项B：的对称中心为，当时，对称中心为，B正确；选项C：的周期为，不是​，C错误；选项D：解不等式，得：，所以不等式的解集为，D正确.11．BCD【详解】对于A选项，设是的中点，连接，由于是的中点，所以，由于，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以是直线与直线所成角（或其补角）.在三角形中，，所以，所以A选项错误.对于B选项，由于，所以，设分别是的中点，连接，则是三角形的中位线，所以，则，而，所以是平面与平面所成二面角，即.当时，平面平面，此时，由于平面平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，，所以平面，由于平面，所以，所以面积的最大值为，B选项正确.对于C选项，过作，垂足为，连接，由上述分析可知：，而平面，，所以平面，由于平面，所以，由于平面，，所以平面，所以，由于，而，所以，所以C选项正确.对于D选项，三棱锥体积最大时，平面平面，由于平面平面，平面，，所以平面，由于是的外心，是的外心，所以是三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径，表面积为，所以D选项正确..12．4【详解】因，则，整理得，解得，即，当且仅当时取等，故当时，ab取得最小值为4.13．/【详解】依题意可知的圆心坐标为，半径，的圆心坐标为，半径，如图所示，对于轴上的任意一点，由图象可知，求的最小值，可转化为求的最小值．由平面几何的知识易知关于轴对称的点的坐标为，，当，，共线时，取得最小值，即取得最小值，最小值为，所以的最小值为．故答案为：．14．/【详解】法一：依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为，其中：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故，：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次），选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种，故，：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情有况种，故，所以.故答案为：.法二：依题意，假设随机变量，其中：其中，则，由于球的对称性，易知所有相等，则由期望的线性性质，得，由题意可知，球在单次抽取中未被取出的概率为，由于抽取独立，三次均未取出球的概率为，因此球至少被取出一次的概率为：，故，所以.故答案为：.15．(1)，，(2)(3)【详解】（1）因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1，5，所以，因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1，3，7，9，所以，所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个，所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即；（2），，两式相减得，；（3）由（2）可知，得恒成立，令，则，可得；当时，，当时，，所以的最大值为，故.16．(1)(2)分布列详见解析，数学期望为【详解】（1）情况1：在接下来的比赛中，甲连赢局，则甲获胜，概率为；情况2：在接下来的比赛中，甲赢局，乙赢局，概率为.所以甲获得这次比赛胜利的概率为.（2）的可能取值为，时，在接下来的比赛中，乙连赢局，所以，则，所以的分布列为：数学期望.17．(1)(2)在单调递增．(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【详解】（1），则，，，所以在点处的切线方程为，即．（2），则，记，故设，则当时，，单调递减，所以，即，所以单调递减，所以，故在单调递增．（3）证明：（i）令，则，所以在上单调递增，所以，即当时，所以当时，；（ii）由（i）可知当时，，故，由于,则，故，由（2）可知在单调递增，在单调递减，故在单调递减，即在单调递减，故，所以．18．(1)(2)（i）；（ii）证明见解析【详解】（1）双曲线E的渐近线方程为，若点M在双曲线E的渐近线上，则，所以；（2）设P，Q的坐标分别为，，因为点M在双曲线E上，所以，（i）因为P，Q在双曲线E上，所以，作差可得，即，因为M是的重心，所以，即，，又因为直线PQ的斜率为2，所以，即，代入解得，所以双曲线E的方程为；（ii）因为，直线PQ不可能垂直于y轴，所以设直线PQ的方程为，代入，化简得，所以，因为，所以，即，即，化简得，所以原点到直线PQ的距离，存在定圆与直线PQ相切.19．(1)(2)（i）；（ii）．【详解】（1）因为，所以，即，若DC平分，则，所以.设，则，因为，，所以.由，得，解得，即.所以，又，所以；（2）（i）设，作，垂足为O，所以，因为平面平面