全品高考备战2027年数学一轮学生用书05第40讲数列的综合问题【答案】听课手册

第40讲数列的综合问题●课堂考点探究例1解:(1)设等比数列{bn}的公比为q.由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.因为q>0,所以可得q=2,故bn=2n-1.所以Tn=1-2n1设等差数列{an}的公差为d.由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n,所以Sn=n((2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=2×(1-2n)1-2由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,可得n(n+1)2+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4变式题解:(1)因为a2=3,所以依题意得b则b2=6-d2,b1由b22=b1b3得d2-2解得d=0或d=2.因为d≠0,所以d=2,所以a1=3-2=1,所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.因为b2=6-d2=2,b1所以{bn}的公比q=12所以bn=4·12(2)因为an+bn=2n-1+4·12n-1,所以Sn=a1+b1+a2+b2+…+an+bn=1+3+…+2n-1+4+2+…+4·12n-1=n(3)因为cn=anbn=2n-12n-3,cn+1=an+1bn+1=2n+12n-2,所以当n=1时,c2-c1>0,当n≥2时,cn+1-cn<0,所以c2>c1,当n≥2时,cn+1<cn.例2[思路点拨](1)由等差数列的定义可得数列{an}为等差数列,再结合等差数列公式求得a1和公差d,即可得数列{an}的通项公式,结合等差数列性质计算即可得数列{bn}的通项公式;(2)借助等差数列求和公式可表示Cn,再利用裂项相消法可求得An,再结合数列单调性计算即可得解.解:(1)由2an+1=an+2+an,得an+2-an+1=an+1-an,所以数列{an}为等差数列,设其公差为d,则2a1所以an=n.设等比数列{bn}的公比为q,因为b1,b2+1,b3+1成等差数列,所以2(b2+1)=b1+b3+1,即2(q+1)=1+1+q2,则q2-2q=0,解得q=2或q=0(舍去),所以bn=2n-1.(2)由(1)可知,Sn=n(则Cn=n+2n(n+1)·2n=1n·2n-1-1(n因为An≥2λ即1-1(n+1所以(n+1)-12n≥2易知(n+1)-12n为递增数列,所以(n+1)-所以2λ≤32,即λ≤34,所以实数λ的最大值为变式题解:(1)由题意可得11可得a1=2,d=1,∴(2)∵1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,∴Tn=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2=n2(n+2).∵存在n∈N∵n2(n+2)2=12n+4n+4∴实数λ的取值范围是-∞,1例3[思路点拨](1)直接利用数列的递推关系式求出数列{an}的通项公式;(2)利用(1)的结论,进一步利用裂项相消法求出数列1an解:(1)因为S1=a1=1,所以S1所以数列Snan是首项为1,公差为13的等差数列,所以Snan=1+(n-1)·13=n当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1,所以(n-1)an=(n+1)an-1,即则an=anan-1×an-1an-2×…×a3a2×a2a1×a1=n+1n(2)证明:1a1+1a2+…+1an=2×1变式题证明:(1)若{an}为调和数列,则an+1an-1=an+1-anan-an-1(n≥2,且n∈N*),所以an+1(an-an-1)=an-1(an+1-an),即an+1an-an+1an-1=an-1an+1-an-1an,所以an(a12所以2an=1a所以数列1an(2)由(1)可得1an是等差数列,且1a1=1,公差为1,所以1an=n,所以an=1n,所以要证Sn=1+12+…+1n>ln(n+1),当n=1时,上式可化为1>ln2,不等式成立,当n>1时,即证Sn-1=1+12+…+1n-1>lnn,即证Sn=Sn-1+1n>lnn+1n>ln(n+1),即证令f(x)=x-ln(1+x),x∈(0,1),则f'(x)=1-11+x=所以f(x)在(0,1)上单调递增,所以f(x)>f(0)=0,即x>ln(1+x)对x∈(0,1)恒成立,所以1n>ln(n+1)-lnn恒成立,所以Sn=1+12+…+1n>ln2+(ln3-ln2)+…+[ln(n+1)-lnn]=ln(例4[思路点拨]各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列,依据公比和前5项和可求得首项,进而可求最中间一层的灯笼数.B[解析]由题意知,各层楼的灯笼数从上至下成等比数列,记为数列{an},第5层楼所挂灯笼数为a1,公比q=2,由S5=a1(1-q5)1-q=186,解得a1=6,所以a变式题B[解析]设至少共需要n台抽水机,记一台抽水机20min完成的任务为单位1,这n台抽水机完成的任务依次为a1,a2,…,an,1≤n≤72.依题意知a1=24×6020=72,a2=71,{an}是