2025年河南数学（理科）高起专考试真题及参考答案

2025年河南数学（理科）高起专考试练习题及参考答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.设集合A={x|x≤2}，B={x|x>3}，则A∩B等于（）

A.∅

B.{x|x>3}

C.{x|x≤2}

D.{x|x≤3}

答案：A

解析：集合A包含所有小于等于2的实数，集合B包含所有大于3的实数。由于没有任何一个实数同时小于等于2且大于3，因此A与B的交集为空集。

2.已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)的最小值。（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：A

解析：f(x)可以写成完全平方形式，即f(x)=(x1)²。由于平方项总是非负的，所以f(x)的最小值为0，当x=1时取到。

3.设a、b为实数，且a+b=3，a²+b²=17，求ab的值。（）

A.6

B.4

C.2

D.1

答案：A

解析：根据平方差公式，(a+b)²=a²+b²+2ab。将a+b=3和a²+b²=17代入，得到9=17+2ab，解得ab=6。

4.已知等差数列{an}的首项为3，公差为2，求第10项的值。（）

A.21

B.20

C.19

D.18

答案：A

解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d。代入a1=3，d=2，n=10，得到a10=3+(101)×2=21。

5.设函数f(x)=2x3，求f(2)的值。（）

A.1

B.1

C.0

D.4

答案：D

解析：将x=2代入函数f(x)，得到f(2)=2×23=43=1。这里有一个错误，正确答案应该是D，即f(2)=2×23=43=1。

6.若函数g(x)=x²+2x+1在区间(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）

A.a≥0

B.a>0

C.a≤0

D.a<0

答案：A

解析：函数g(x)可以写成完全平方形式，即g(x)=(x+1)²。由于平方项总是非负的，且当x>0时，g(x)随着x的增大而增大，因此a的取值范围是a≥0。

7.已知函数h(x)=x³3x，求h'(x)。（）

A.3x²3

B.3x²+3

C.x²3

D.x²+3

答案：A

解析：函数h(x)的导数h'(x)可以通过求导公式得到，即h'(x)=3x²3。

8.设向量a=(2,3)，向量b=(4,1)，求a×b。（）

A.14

B.10

C.6

D.6

答案：A

解析：向量的叉积可以通过公式a×b=adbc计算，其中a、b分别是向量a和b的第二个分量。代入a=(2,3)，b=(4,1)，得到a×b=2×(1)3×4=212=14。

9.设平面直角坐标系中，点P(a,b)关于y轴对称的点是P'，则P'的坐标是（）

A.(a,b)

B.(a,b)

C.(a,b)

D.(a,b)

答案：A

解析：在平面直角坐标系中，点P(a,b)关于y轴对称的点P'的横坐标是P横坐标的相反数，纵坐标不变，因此P'的坐标是(a,b)。

10.已知三角形ABC中，角A的度数是60°，边a的长度是6，边b的长度是5，求边c的长度。（）

A.7

B.8

C.9

D.10

答案：A

解析：根据余弦定理，边c的长度可以通过公式c²=a²+b²2abcos(A)计算。代入a=6，b=5，A=60°，得到c²=6²+5²2×6×5×cos(60°)=36+2560×0.5=6130=31，所以c=√31≈7。

二、填空题（每题4分，共40分）

11.若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则第5项是______。

答案：162

解析：等比数列的通项公式为an=a1q^(n1)。代入a1=2，q=3，n=5，得到a5=23^(51)=23^4=281=162。

12.已知函数f(x)=x²4x+c，若f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，则c的取值范围是______。

答案：c≤4

解析：f(x)的导数为f'(x)=2x4。由于f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，所以f'(x)在区间(2,+∞)上大于0。即2x4>0，解得x>2。因此，c的取值范围不受限制，只要保证f(x)在x=2时非负即可，即f(2)=2²42+c≥0，解得c≤4。

13.若函数g(x)=x²+2x+k在区间(∞,0)上单调递减，则k的取值范围是______。

答案：k≥0

解析：g(x)的导数为g'(x)=2x+2。由于g(x)在区间(∞,0)上单调递减，所以g'(x)在区间(∞,0)上小于0。即2x+2<0，解得x<1。因此，k的取值范围不受限制，只要保证g(x)在x=1时非正即可，即g(1)=(1)²+2(1)+k≤0，解得k≥0。

14.已知向量a=(3,4)，向量b=(5,2)，则a·b=______。

答案：11

解析：向量的点积可以通过公式a·b=ad+bc计算，其中a、b分别是向量a和b的第二个分量。代入a=(3,4)，b=(5,2)，得到a·b=3×5+4×(2)=158=7。

15.若函数h(x)=x³6x²+k在x=2时取得极值，则k=______。

答案：8

解析：h(x)的导数为h'(x)=3x²12x。由于h(x)在x=2时取得极值，所以h'(2)=0。代入x=2，得到3×2²12×2=0，解得k=8。

三、解答题（共20分）

16.（10分）已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的单调区间。

解答：

首先，求f(x)的导数f'(x)=2x4。令f'(x)=0，解得x=2。当x<2时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x>2时，f'(x)<0，f(x)单调递减。因此，f(x)的单调递增区间为(∞,2)，单调递减区间为(