中考数学总复习《特殊四边形（二次函数综合）》专项测试卷及答案

第页答案第=page11页，共=sectionpages22页中考数学总复习《特殊四边形（二次函数综合）》专项测试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点为抛物线顶点，已知，连接，抛物线对称轴与交于点．(1)求的值及顶点的坐标；(2)点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为边，且以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知：平面坐标系内点和点，点到点的距离始终等于点到轴的距离．(1)请你求出点满足的函数关系式；(2)如果（）中求出的函数图象记为，是沿着水平方向平移得到的，若点在上，点是平移后点的对应点，点是轴上的点．是否存在这样的点，使得以为顶点的四边形是有一个内角为且的菱形？若存在请你求出点坐标若不存在请说明理由．3．已知抛物线过点和点点和点是抛物线上的两个不重合的点点的横坐标为点的横坐标为记抛物线在点和点之间的部分图象为（包含两点）．(1)求出抛物线的解析式并写出顶点坐标(2)当时求图象的最高点与最低点的纵坐标的差(3)当时求出的值(4)以为对角线构造矩形且矩形的边轴当轴平分矩形的面积时直接写出的值．4．【定义感知】把函数和称为一对“绞合函数”设抛物线的顶点为P抛物线的顶点为Q两抛物线的公共点为AB（点A在点B的左侧）．(1)写出函数的“绞合函数”的函数解析式．【性质探究】(2)当时这对“绞合函数”的图象一定会经过同样的两个定点请通过运算求出这两个点的坐标．(3)当时．假设．①写出这对“绞合函数”的解析式并把它们的图象在坐标系中画出来②直接写出直线与该对“绞合函数”图象有4个交点时m的取值范围．【拓展应用】(4)对于任意一对“绞合函数”若四边形是正方形则ac满足的关系式为________．5．综合与探究如图抛物线与轴相交于点与轴正半轴相交于点负半轴相交于点．(1)求此抛物线的解析式(2)如图1是第一象限抛物线上的一个动点过点作轴垂足是点与的交点为设．①用含m的式子表示：直接用①的结论求解②③②若请直接写出点P的坐标③若求点P的坐标(3)如图2若点F在抛物线上点G在x轴上当以点BCFG为顶点的四边形是平行四边形时求点F的坐标．6．定义：在平面直角坐标系中当点在图形的内部或在图形上且点的横坐标和纵坐标相等时则称点为图形的“梦之点”．(1)如图①矩形的顶点坐标分别是在点中是矩形“梦之点”的是(2)如图②已知点是抛物线上的“梦之点”点是抛物线的顶点．连接求的面积(3)在（2）的条件下点为抛物线上一点点为平面内一点是否存在点使得以为对角线以为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点坐标若不存在请说明理由．7．如图抛物线与轴交于点与轴交于点．(1)求抛物线的对称轴(2)点是抛物线上一个动点连接交轴交于点作轴于点．①若点是的中点求的面积②若以点为顶点的四边形为平行四边形求的值．8．如图在平面直角坐标系中抛物线（bc为常数）的顶点坐标为与x轴交于AB两点（点A在点B左侧）与y轴交于点C点C点D关于x轴对称连结作直线．(1)求bc的值(2)求点AB的坐标(3)求证：(4)点P在抛物线上点Q在直线上当以点CDPQ为顶点的四边形为平行四边形时直接写出点Q的坐标．9．如图抛物线过点与轴交于点抛物线顶点坐标为矩形的边在线段上（点在点的左侧）点在抛物线上．(1)求抛物线的函数表达式(2)求证：直线与该抛物线没有交点(3)设矩形的周长为写出与的函数关系式并求的最大值10．如图抛物线的顶点为且经过点以坐标原点O为圆心的圆的半径于点C．

(1)求抛物线的函数解析式．(2)求证：直线与相切．(3)已知P为抛物线上一动点线段交于点M当以MOAC为顶点的四边形是平行四边形时求的长．11．如图抛物线的对称轴l与x轴交于点A与y轴交于点B．(1)求点AB的坐标(2)C为该抛物线上的一个动点点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧）点M在坐标平面内请问是否存在这样的点C使得四边形是正方形？若存在请求出点C的坐标若不存在请说明理由．12．抛物线与轴交于两点与轴交于点．已知点．(1)求的坐标(2)若对任意的实数且当取其范围中的最小值时代数式的值都不大于．求出抛物线的解析式点是抛物线上的任意一点（不与点重合）过点做轴于点在轴上以为邻边作矩形当在矩形内的抛物线所对应的函数值随增大而减小时直接写出的取值范围．13．如图已知抛物线的对称轴为直线且与y轴的交点坐标为直线l与x轴相交于点C．

(1)求该抛物线的表达式(2)如图点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点过点P作轴垂足分别为AB．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时求m的值．参考答案1．(1)(2)点P的横坐标为或或．【分析】本题主要考查二次函数的性质和平行四边形的性质（1）利用待定系数法求得二次函数解析式即可得知及顶点的坐标（2）结合第一问求得直线解析式可求得的长．根据题意设和分类讨论即可求得答案．【详解】（1）解：将代入得：解得：∴∴∴．（2）存在．当时解得：∴当时∴设直线解析式为将代入得：解得：∴直线解析式为当时∴则．设分类讨论：①当点P在点Q下方时解得：②当点P在点Q上方时解得：（舍去）综上所述点P的坐标为或或．2．(1)(2)存在坐标为．【分析】（）由题意得轴轴利用勾股定理得再计算即可（）过作轴由菱形性质得由直角三角形中度角所对直角边是斜边的一半得求出代入函数解析式计算即可．【详解】（1）如图轴轴．

在中∴∴∴点满足的函数关系式为（2）如图：过作轴

设∴∴∴∴∴∴或根据对称性得或综上所述坐标为．【点睛】本题考查了二次函数的动点问题图象及性质和度角所对直角边是斜边的一半菱形的性质和勾股定理熟练掌握以上知识点的应用画出函数图象再分类讨论是解题的关键．3．(1)抛物线的解析式为顶点坐标为(2)(3)或(4)【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式将一般式化为顶点式求出抛物线的顶点坐标即可（2）先求出再结合图象得出最大值和最小值即可得出答案（3）根据得出分两种情况：当时与时分别求出结果即可（4）根据矩形以为对角线且轴可确定矩形各边平行于坐标轴再结合“y轴平分矩形面积当且仅当它过矩形中心”这一结论得出代入后即可求得m的值．【详解】（1）已知抛物线过点和点．代入点得解得∴抛物线解析式为顶点横坐标代入得纵坐标∴顶点坐标为．（2）解：点P的横坐标为代入抛物线解析式得到点P的纵坐标为故点Q的横坐标为代入抛物线解析式得到点Q的纵坐标为0故．图像W为抛物线上从到的部分（含端点）如图．抛物线开口向下顶点在范围内故最高点为顶点纵坐标为4最低点为端点纵坐标为．故图象W的最高点与最低点的纵坐标的差为．（3）解：点在x轴上线段长为．由三角形的面积公式可得：当时可得其中．以下分与两种情况讨论：情况一：时即解得：或其中时P与Q横坐标相同点重合故舍去．∴时两点不重合满足题意．情况二：时即解得：经检验此时点P与点Q均不重合满足题意．综上或．（4）解：点其中矩形以为对角线且轴故矩形边平行于坐标轴．设则矩形顶点为．对角线的中点为．y轴平分矩形面积当且仅当它过矩形中心（即对角线中点）故即代入坐标：解得：．（满足条件的矩形见下图）【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解顶点坐标确定函数图象上点的坐标特征三角形面积计算矩形的性质以及图形与坐标的综合应用．解题的关键是熟练运用待定系数法求二次函数解析式深刻理解二次函数图象的性质以分析函数值的变化结合坐标关系和几何图形的性质（如三角形面积相等的条件矩形对角线的性质及面积平分线的特点）建立方程进行求解同时需要注意对不同情况的分类讨论以确保答案的完整性．4．(1)(2)或(3)①见解析②或(4)【分析】（1）直接根据新定义进行求解即可（2）联立两个函数求出交点坐标即可（3）①根据新定义写出函数解析式进行画出函数图象即可②直接利用图象法进行求解即可（4）根据四边形为正方形推出即可得出结果．【详解】（1）解：由题意函数的“绞合函数”的函数解析式为（2）解：∵∴一对“绞合函数”的解析式为和令解得∴定点坐标为和（3）解：当时①列表如下：023551画出图象如下：②由图象可知当直线与该对“绞合函数”图象有4个交点时或（4）解：∵和的顶点坐标分别为∴点均在轴上且在原点的两侧令解得∴∴两个函数的交点在轴上且在原点的两侧∴当四边形为正方形时为正方形的中心∴∴．5．(1)(2)①②点P的坐标为③点P的坐标为(3)点的坐标为：或或．【分析】本题考查的是二次函数综合运用涉及到平行四边形的性质函数的图象和性质正确确定线段的长度是解题的关键．（1）由待定系数法即可求解（2）①根据点的坐标即可求解②若则即可求解③若则即可求解（3）当为对角线时由中点坐标公式得：即可求解当或为对角线时同理可解．【详解】（1）解：由题意得：解得：则抛物线的表达式为：（2）解：设点由点的坐标得直线的表达式为：则点则①则故答案为：②若则解得：（舍去）或即点③若则解得：（舍去）或即点（3）解：设点点当为对角线时由中点坐标公式得：解得：（舍去）或即点当或为对角线时同理可得：或解得：（舍去）或或故点的坐标为：或或．综上点的坐标为：或或．6．(1)(2)(3)存在或【分析】本题是二次函数的综合题考查了一次函数和二次函数的图象和性质菱形的性质理解坐标与图形性质熟练掌握两点间的距离公式理解新定义是解题的关键．（1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或边上（2）根据“梦之点”的定义和二次函数的解析式求得的坐标根据二次函数的顶点式求出抛物线的顶点点的坐标抛物线的对称轴根据即可求得答案（3）设由以为对角线以为顶点的四边形是菱形可得利用两点间距离公式建立方程求解即可求得答案．【详解】（1）∵矩形的顶点坐标分别是∴设矩形的“梦之点”为满足∴点中是矩形“梦之点”为点．故答案为：．（2）∵是抛物线上的“梦之点”∴点是直线上的点∴∴∴∵∴二次函数的顶点二次函数的对称轴为设抛物线的对称轴交于∴∴∴．（3）存在理由如下：设∵以为对角线以为顶点的四边形是菱形∴∴解得：当∴点当∴点综上所述点的坐标为：或者．7．(1)抛物线的对称轴为直线(2)①②的值为或．【分析】（1）根据题意求得再根据抛物线的对称性质求解即可（2）①先利用待定系数法求得抛物线的解析式求得点再求得直线的解析式求得再利用三角形的面积公式求解即可②分当点在原点上方和下方两种情况讨论根据列式计算即可求解．【详解】（1）解：令则∴∴∵∴∴抛物线的对称轴为直线（2）解：①将代入得解得∴抛物线的解析式为∵点是的中点∴点当时则点设直线的解析式为则解得∴直线的解析式为令则∴∴②∵点是抛物线上一个动点∴则当点在原点上方时∴∵∴∴即∴∴∵以点为顶点的四边形为平行四边形∴即解得∴当点在原点下方时∴∵∴∴即∴∴∵以点为顶点的四边形为平行四边形∴即解得∴综上的值为或．【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式二次函数图象上点的坐标特征待定系数法求一次函数解析式一次函数图象上点的坐标特征相似三角形的判定和性质两点之间的距离公式和平行四边形的性质是一道综合性较强的题解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论．8．(1)(2)的坐标分别为(3)详见解析(4)点的坐标为：或或或【分析】（1）用待定系数法即可求解（2）令解得或即可求解（3）由即可求解（4）当为平行四边形的对角线时由中点坐标公式列出方程组进而求解当是平行四边形的对角线时同理可解．【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：则即（2）解：令解得：或故点的坐标分别为（3）证明：由抛物线的表达式知：点则点则（4）解：设点点当为平行四边形的对角线时由中点坐标公式得：整理得：解得：舍去或则即点当是平行四边形的对角线时可得：解得：即点当是平行四边形的对角线时可得：解得：即点的坐标为或综上点的坐标为：或或或．【点睛】本题是二次函数的综合题主要考查了利用待定系数法求抛物线的解析式解直角三角形平行四边形的性质综合性较强难度适中．运用数形结合分类讨论及方程思想是解题的关键．9．(1)(2)见解析(3)的最大值是20【分析】本题主要考查了二次函数综合矩形的性质二次函数与一元二次方程之间的关系熟知二次函数的相关知识是解题的关键．（1）把解析式设为顶点式再利用待定系数法求解即可（2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程利用判别式求解即可（3）根据题意可得可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称则可得到进而求出根据据此周长计算公式可得据此利用二次函数的性质求出最大值即可．【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为将点代入解析式可得解得抛物线的函数表达式为（2）证明：将直线与抛物线联立可得整理得∴直线与抛物线没有交点（3）解：由题意得则∵四边形是矩形∴∴点G和点D关于抛物线对称轴对称∴点E和点F关于抛物线对称轴对称由（1）可得抛物线对称轴为直线．即与的函数关系式是当时的值最大的最大值是20．10．(1)(2)见解析(3)或【分析】（1）根据题意可设抛物线的解析式为：把点的坐标代入即可求出的值即可得出抛物线解析式（2）根据切线的判定证明是的半径即可（3）由题意知是以为顶点的平行四边形的边利用平行四边形对边平行的性质可得出直线的解析式直线与抛物线的交点为即可求出的长．【详解】（1）解：抛物线的顶点为可设抛物线的解析式为：抛物线经过点解得：抛物线的解析式为：（2）证明：解得：的半径是的半径直线与相切（3）解：点在抛物线上可设以为顶点的四边形是平行四边形时可得：点是的中点设直线的解析式为将点代入得：直线的解析式为点在上解得：如图

当点位于位置时当点位于位置时同理可得：综上所述的长是或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式三角形面积平行四边形性质圆的切线的判定二次函数与几何图形的综合运用等知识熟练掌握待定系数法二次函数图象和性质等相关知识灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键．11．(1)(2)存在这样的点C使得四边形是正方形点C的坐标为或【分析】（1）将二次函数化为顶点式然后求出点A的坐标把代入抛物线的解析式求出得出点B的坐标即可（2）分两种情况进行讨论当在x轴下方时当M在x轴上方时分别画出图形求出结果即可．【详解】（1）解：当时．（2）解：存在理由如下：由题意四边形是正方形则是以点A为直角顶点的等婹直角三角形．设①当在x轴下方时如图1过点C作轴于E此时是等腰直角三角形（舍去